例談法向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、例談法向量在立體幾何中的應(yīng)用對(duì)立體幾何研究的一種重要思路是代數(shù)化，即用向量代數(shù)的方法來解決立體幾何中的邏輯推理問題。相對(duì)于傳統(tǒng)的求解立體幾何的方法幾何法，向量法在求解立體幾何問題時(shí)有著方便、快捷，不容易陷入思維障礙的優(yōu)點(diǎn)。其中，法向量在解題時(shí)又起著舉足輕重的作用。本文精選典型例題，對(duì)法向量在立體幾何中的應(yīng)用進(jìn)行歸納、整理，以揭示解題規(guī)律、方法，供讀者參考。1 利用法向量證線面、面面的平行與垂直已知直線的方向向量為, 平面的法向量為。（1）若證明線面平行，即證 ；（2）若證明線面垂直，即證；（3）若證明面面平行，即證； （4）若證明面面垂直，即證明。 例1 如圖1，ABC是一個(gè)正三角形，EC平面

2、ABC， zBDCE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點(diǎn)。 E求證：平面DEA平面ECA M D解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz,不妨設(shè) C B yCA=2，則CE=2，BD=1，C（0，0，0）， x A 圖1A（，1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1）， ， ， ，設(shè)面CEA與面DEA的法向量是、，則有 . 0 .0 . 0 . 0 不妨取、，平面DEA平面ECA.AA1DCBB1C1D1圖2練習(xí)1：如圖2，正方體棱長(zhǎng)為 . 求證：平面AB1C平面； 點(diǎn)評(píng)：注意平面法向量的求法。練習(xí)1用向量法證明也許不如用幾何法簡(jiǎn)潔，但它將邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算，降低了對(duì)

3、空間想象能力要求的難度，是研究立體幾何的一種有力工具。2 利用法向量求角（1）求線面角如圖3，已知AB為平面a的一條斜線，為平面a的一個(gè)法 A向量，過A作平面a的垂線AO，連結(jié)OB則ÐABO為斜線AB和平面a所成的角，易知： sinÐABO O B特殊情況：當(dāng)，則直線AB與平面垂直 。 圖3例2 已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1所成的角。解：如圖4，建立空間直角坐標(biāo)系，EzxD1yAC1B1A1BDC （0，1，0），（1，0，1），（0，1）設(shè)平面ABC1D1的法向量為（x，y，1）,由 可解得（1，0，1）

4、 圖4 設(shè)直線AE與平面ABC1D1所成的角為，則，故直線AE與平面 ABC1D1所成的角為arcsin。練習(xí)2：（06浙江高考）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)，()求證：PBDM; ()求CD與平面ADMN所成的角 圖5點(diǎn)評(píng)：求直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為求直線的方向向量與平面的法向量夾角的余角。注意：線面角的范圍：0，而向量夾角的范圍：0，p。(2)求二面角 圖6 圖7在二面角中，分別是和的法向量，設(shè)二面角的大小為。如圖6，則coscos<>；如圖7，則cos(p)cos

5、<>。例3 在三棱錐SABC中，ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn).求二面角NCMB的余弦值。解：取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB.SA=SC，BA=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO面ABC，如圖8所示建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0，0，0)， A（2，0，0），C（2，0，0），S（0，0，2），M（1，0） ，設(shè)=（x，y，1）為平面CMN的一個(gè)法向量， 圖8則 可取=(1， 1)， 又=(0，0，2)為平面ABC的一個(gè)法向量， cos(，)=易知二面角NCMB的平面角是

6、銳角，二面角NCMB的余弦值為練習(xí)3：（06年陜西高考）如圖9,=l , A, B,點(diǎn)A在直線l 上的射影為A1, 點(diǎn)B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求：二面角A1ABB1的大小。ABA1B1l圖9點(diǎn)評(píng)：用法向量的夾角求二面角時(shí)應(yīng)注意：平面的法向量所取的方向不同，所求出來的角度也不同，因此，最后所求角是<>還是它的補(bǔ)角，應(yīng)根據(jù)所求二面角的實(shí)際圖形來確定。3 利用法向量求點(diǎn)面距離AaBh如圖10，A是平面a外一點(diǎn)，AB是a的一條斜線，交平面于點(diǎn)B，而是平面a的法向量，那么向量在方向上的正射影長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面的距離h， 則 圖10 例4 （06年福建高考）如

7、圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大??；（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。解：（I）略（II）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖11，建立空間直角坐標(biāo)系，則 異面直線AB與CD所成角的大小為（III）設(shè)平面ACD的法向量為則 圖11 令得，又點(diǎn)E到平面ACD的距離 練習(xí)4：練習(xí)1再加上一問：求平面AB1C與平面的距離。AB CA1VB1C1 圖練習(xí)5：（06年山東高考）如圖12，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊所在的平面與底面ABC垂直，且ACB=90°，設(shè).（1）求點(diǎn)A到平面VBC的距離；（2）求二面角的大小。 圖12另外，如圖13設(shè)AC是異面直線AB與CD的公垂線，則AB與CD間的距離，就是向量在公垂線方向向量上的射影長(zhǎng)度，即 C D E A a B 圖13 點(diǎn)評(píng)：線面距離、面面距離的實(shí)質(zhì)就是求點(diǎn)面距離，求異面直線間的距離也可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離，因此掌握點(diǎn)面距離的求法也就可以解決立體幾何中的距離問題了。附：本文練習(xí)參考答案：1.略，2. ()略