立體幾何中的軌跡問題(詳細版)

1、立體幾何中的軌跡問題高考數(shù)學(xué)有一類學(xué)科內(nèi)的綜合題，它們的新穎性、綜合性，值得我們重視，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點處設(shè)計試題是高考命題改革的一個方向，以空間問題為為背景的軌跡問題作為解析幾何與立體幾何的交匯點，由于知識點多，數(shù)學(xué)思想和方法考查充分， 求解比較困難。通常要求學(xué)生有較強的空間想象能力，以及能夠把空間問題轉(zhuǎn)化到平面上，再結(jié)合解析幾何方法求解，以下精 選幾個問題來對這一問題進行探討，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法。一、用空間運動的觀點來得到點的軌跡。例1直線PA是平面M的一條斜線，斜足為 A，動直線PB過點P且與直線PB垂直，且交平面 M于點B，求動點B的 軌跡。解：先探討直線PB的運動軌跡，由于

2、直線 PB始終與PA垂直，可知PB的運動軌跡應(yīng)是直線 PA的垂直平面N。再結(jié)合 點B 一定在平面M內(nèi)，所以點B的軌跡應(yīng)該是兩個平面的交線，所以點 B的軌跡是一條直線。針對以上解法，我們對這一問題作一深層次的探討：若直線PA與平面M成a角，直線PB始終與直線PA成B角，再來求點B的軌跡。由上述解法可知，我們只要得到直線 PB的空間軌跡，再來考察該軌跡與平面 M的交線即可。由簡單的模型模擬即可知， 直線PB的軌跡是一個圓錐面，再用一個平面截圓錐面，這一知識在平面解析幾何中圓錐曲線的來歷中有提到，即所得曲線可能 是圓、橢圓、拋物線、雙曲線。因此，我們在以下命題：直線PA是平面M的一條斜線，且與平面

3、M成a角，斜足為A，動直線PB過點P且與直線PB成B角，交平面M于點 B,求動點B的軌跡。結(jié)論：(1)若a=90°，B =90°，則動點B的軌跡是一個圓;(2)若a工 90° :，B =90 °，動點B的軌跡是一條直線;(3)若a工 90° :，L 90°，則 若90° > a> B，則軌跡是橢圓； 若a = B，則軌跡是拋物線； 若a < B，則軌跡是雙曲線。用上面的觀點我們來看下一例：例2:已知平面a 平面B，直線L二a，點P L，平面a、B間的距離為8,則在B內(nèi)到點P的距離為10且到直線L 的距離為9

4、的點的軌跡是 （）（A ） 一個圓（B）兩條直線（C）四個點（D ）兩個點解：空間中到直線的距離為定值的點的軌跡是一個圓柱，平面與圓柱的交線是兩條直線。空間中到一點的距離為定值的點的軌跡是一個球，平面與球的交線是一個圓。在平面內(nèi)兩條直線與一個圓的公共點是四個點或兩個點，再結(jié)合具體數(shù)據(jù)，可知， 軌跡是四個點。上面兩例都是一個動點在運動，結(jié)合解析幾何中經(jīng)常出現(xiàn)的中點軌跡，在立體幾何中也有類似的問題：解：由于有二個動點，因此在考慮問題時，可先把其中一個點P固定，使另一個點Q運動，由圖可知，中點 R的軌跡是一條直線，再讓點P再運動，可知中點R的軌跡可以看作是直線 R1R2的運動軌跡，結(jié)合直線 R1R2

5、與直線m、n等距離的性質(zhì)，可知動點R的軌跡是與直線m、n都平行且與直線m、n等距離的一個平面。若在上例中加強條件：使 PQ為定長，再求中點 R的軌跡，可知R點應(yīng)是在上例的平面中的一個軌跡，因此，在空間中 的軌跡軌跡問題的第二種策略是空間問題平面化，幾何問題代數(shù)化。、用解析的方法來求軌跡。空間解析幾何雖然不是高考要求，但空間向量的應(yīng)用以及空間坐標系的使用對于立體幾何問題的解決也引入了解析的方法，但對于軌跡的處理，學(xué)生還是熟悉平面內(nèi)的問題。因此把空間問題平面化，正是空間解析法中的重要應(yīng)用。例4：空間兩條成60°角，且距離為6的異面直線m、n，動點P在直線m上運動，動點 Q在直線n上運動，

6、且PQ=10, 求PQ中點的軌跡。解：由圖可知，R即為PiQi的中點，且PQ2=PiQi2+AB2,所以問題已經(jīng)由空間的軌跡轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)的問題。：'3:'3在平面ORQt內(nèi)建立平面直角坐標系，使得直線OP、OQi的方程分別為yX，再由P（Xi， Xi ）、Q （X2,33R （x，y），2x=xi +X2， 2y=Xi3PiQi = I Xi - X?+f3MX2 卜4得中點的軌跡方程為x2+9y2=48，軌跡形狀為橢圓。一條是空間問題平面化，要把題中的條件想辦法轉(zhuǎn)化到平用平面解析幾何的方法來處理空間中的軌跡問題的關(guān)鍵有二條, 面上來，另一個關(guān)鍵是把平面內(nèi)的問題盡可能地解析化

7、，用數(shù)量關(guān)系來研究幾何關(guān)系，來得到軌跡，當然在解析幾何中也有很 多數(shù)與形相結(jié)合的題型。因此以空間圖形為背景，考查幾何軌跡的典型例題很多時候是這個方面的問題。下面二例就是往這個 方向設(shè)計的。例5:空間四面體ABCD中，在側(cè)面ABC上有一動點P，滿足P到直線AB的距離與P到平面BCD的距離相等，試求 P 點的軌跡的大致圖形。簡解：點P到平面的距離與點 P到直線BC的距離的比例關(guān)系正是二面角的 A-BC-D的平面角的正弦值。因此，在平面ABC內(nèi)，點P滿足的條件是P到直線AB的距離與P到直線BC的距離成比例。因此點 P的軌跡是一條過B點的直線。例6：正方體ABCD-A 181心。1中，側(cè)面ABB 1A1內(nèi)有一點P滿足：點P到直線AB的距離與點P到直線AD的距離相等, 求點P的軌跡。解：如圖，在平面 ABB1A1內(nèi)建立平面直角坐標系，有PR2=PQ2+QR2, PM=PR,1用坐標代入得x2+ y2=y2。2D1所以軌跡是兩條直線。以上二種題型只是空間背影下的動點軌跡的