安徽蚌埠2018-2019學年高二下學期期末考試數學理試題版含解析

1、安徽省蚌埠市2018-2019學年高二下學期期末考試數學（理）試題第I卷（選擇題，共 60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的A, B , C , D的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案的字母代號涂到答題卡上1 .已知為虛數單位，復數滿足 （1+2）7 = 4+31,則復數對應的點位于復平面內的（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】分析：先求出復數 z,再得到復數z對應的點所在的象限詳解：由題得4fl 31)(1 21)1 + 2i (1 +2i)(l-2i)吃豈=2-i,所以復數z對應的點為（2, -1 ）,故答

2、案為：D.點睛：（1）本題主要考查復數的除法運算和復數的幾何意義，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本運算能力.（2）復數二="十bi-bER）對應的點是（a,b）,點（a,b）所在的象限就是復數 L/bi對應的點所在的象限.復數工=u十日（3工E R）和點（a,b ）是一一對應的關系.2 . “指數函數是增函數，函數 f（x）=2*是指數函數，所以函數是增函數”，以上推理（）A.大前提不正確B.小前提不正確C.結論不正確D. 正確【答案】A【解析】分析：利用三段論和指數函數的單調性分析判斷詳解：由三段論可知"指數函數是增函數”是大前提，但是指數函數不一定是增函數，對于指

3、數函數¥ =3>0且至1,當a>1時，指數函數是增函數，當 0vav1時，指數函數是減函數.所以大前 提不正確，故答案為：A.點睛：本題主要考查三段論和指數函數的單調性，意在考查學生對這些知識的掌握水平3 .曲線Rx） = 2x-在點Qf處的切線方程是（）A. '】- B. ,.： C.；,一D. "1.一?！敬鸢浮緽【解析】分析：先求出切點，再利用導數求切線的斜率，再寫出切線的方程詳解：由題得=-1,所以切點為（0,-1 ）,由題得 . .所以切線方程為故答案為：B.(2) 函數點睛：（1）本題主要考查導數的幾何意義和求切線的方程，意在考查學生對這些知

4、識的掌握水平y(tǒng) = f（x）在點、處的導數是曲線在式乂渣立）處的切線的斜率，相應的切線方程是4 .已知回歸方程y = 2x-l ,則該方程在樣本（3,41處的殘差為（）A. 5 B. 2 C. 1 D. -1【解析】分析：先求當 x=3時，歹的值5,再用4-5=-1即得方程在樣本（3總處的殘差.詳解：當x=3時，y=2>3-1=5, 4-5=-1 ,所以方程在樣本（3,4）處的殘差為-1.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查殘差的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平.（2）殘差=實際值-預報值，不要減反了 .5 .用數學歸納法證明不等式13,-> (:n> 2)的過程中，歸

5、納遞推由n = k至g=k+I時, 2n 24不等式的左邊（）A.B.增加了一項增加了兩項12(k+ 1)I 12k + 1 2(k-F 1)I 11C.增加了兩項+-T-又減少了一項 2k + 1 2（k -H I）11 1D.增加了一項 又減少了一項 2（k+ 1）k+ 【解析】分析：先求出n=k時左邊的式子，再求出 n=k+1時左邊的式子，再比較兩個式子得解.詳解：當 n=k 時，左邊=1 4- - - - 4- - , (1)k+ J k + 22k當 n=k+1 時，左邊= ,(2)k 十 2 k 十 32k 十 1 2k-2所以增加了兩項 !+,又減少了一項 ,故答案為：c. 2k

6、+1 2(k-nl)k+ 1點睛：本題主要考查數學歸納法，意在考查學生對該知識的掌握水平6.從1, 2, 3, 4, 5中不放回地依次選取 2個數，記事件A= "第一次取到的是奇數”，事件"第二次 取到的是奇數”，則P(B|A)=()1231A. B. C. D.25105【答案】A【解析】分析：利用條件概率公式求 P(B|A).詳解：由條件概率得咱向總一；故答案為：A.n(AB)點睛：(1)本題主要考查條件概率的求法，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2) 條件概率的公jP(AB)式：.二金：P(A)7.已知，b,均為正實數，則的值()b cA.都大于1 B. 都小于1C

7、.至多有一個不小于 1 D.至少有一個不小于1【答案】D【解析】分析：對每一個選項逐一判斷得解.詳解：對于選項 A,如果a=1,b=2,則1所以選項 A是錯誤的.對于選項B,如果a=2,b=1,則aa 4 b 2- = 2>l,所以選項B是錯誤的.對于選項C,如果a=4,b=2,c=1,貝卜-=- =2>1,所以選項C是錯誤的.對于選項D,假設;二,則 b c aa b ca b c ,la b c-+- + -O/-+- + ->33-=3,顯然二者矛盾，所以假設不成立，所以選項D是正確的.故答b c ab c a qbca案為：D.點睛：(1)本題主要考查反證法，意在考查

8、學生對該知識的掌握水平.(2)三個數至少有一個不小于1的否定是8 .某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布M300J0G）,則用電量在320度以上的居民戶數估計約為（）【參考數據：若隨機變量服從正態(tài)分布內,則Kr-c y M B十七0,6827,+09545 ,P(R-3o +。.為 73.A. 17 B. 23 C. 34 D. 46【答案】B【解析】分析：先求用電量在320度以上的概率，再求用電量在 320度以上的居民戶數詳解：由題得 、,所以P300-2。MgE300十20) = PQ80M自M320) =。.954S,所以1-0.9545工 0.0”，所以求用電量在

9、320度以上的居民戶數為1000X 0.023=23.故答案為：B.點睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合的思想方 法.（2）對于正態(tài)分布曲線的概率的計算，不要死記硬背，要結合其圖像分析求解9 .設是函數f（x）的導函數，y = P（k）的圖象如圖所示，則y=fg的圖象可能是（）【答案】C【解析】由導函數的圖象可知，函數在SQ超）2 Rx）單調遞增；在（0,2）f（x）c。，f（x）單調遞減，在a > o, f的單調遞增，故選 c.10.下列等式中，錯誤的是（）n!n(n-1)=SRA1c. ：_2_2 d. -，.”： n nin-m【答

10、案】C【解析】分析：計算每一選項的左右兩邊，檢查它們是否相等詳解：通過計算得到選項 A,B,D的左右兩邊都是相等的對于選項C,4"3廣Ji,所以選項 mlC是錯誤的.故答案為:C.點睛：本題主要考查排列組合數的計算，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本計算能力.11 .將3顆相同的紅色小球和 2顆相同的黑色小球裝入四個不同盒子，每個盒子至少1顆，不同的分裝方案種數為（）A. 40 B. 28 C. 24 D. 16【答案】B【解析】分析：分兩類討論，其中一類是兩個黑球放在一個盒子中的，其中一類是兩個黑球不在一個盒子中的，最后把兩種情況的結果相加即得不同的分裝方案種數詳解：分兩種

11、情況討論，一類是兩個黑球放在一個盒子中的有C： x 1 = 4種，一類是兩個黑球不放在一個盒子中的：如果一個黑球和一個白球在一起，則有£ = 4x3= 2種方法;如果兩個黑球不在一個盒子里，兩個白球在一個盒子里，則有 溫=4乂3 = 12種方法.故不同的分裝方案種數為 4+12+12=28.故答案為：B.點睛：（1）本題主要考查排列組合綜合應用題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本題時，要注意審題，黑球是一樣的，紅球是一樣的，否則容易出錯 12 .若存在入耳*,使得不等式2xlnx I xJmx+3"成立，則實數m的最大值為（）1 3,A. : 1

12、. e ; B. 二-已： C. 4 D. I ee【答案】A【解析】3二 m < 21nx + x + - x3 ，23 (x+3)(x-l)設h(x) = 21nx i-k 斗一，貝Uh(x) = _ +I _工=;xxX2X-當1W工士1時，h&)vo, h(x)單調遞減 e當IbxWe時，h"(K)3 0, M制單調遞增一1 1.3 ,存在 x E - e , m < 21nx x + 一成乂 nx,-V h(航.，v h- = - 2 + -+ 3e, h(e) = - 2 e + -e/ ee二沖h(e)1m < - 3e - 2 e故選點睛：本

13、題利用導數求解不等式問題，在解答此類問題時的方法可以分離參量，轉化為最值問題，借助導數，求出新函數的單調性，從而求出函數的最值，解出參量的取值范圍，本題較為基礎。第n卷(非選擇題，共 90分)二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.請將答案直接填在答題卡上.L13.計算：J(小十 x)dx=. o【答案】A1【解析】試題分析： "十x)dx =十. 0考點：定積分.14. 2018年春季，世界各地相繼出現流感疫情，這已經成為全球性的公共衛(wèi)生問題.為了考察某種流感疫苗的效果，某實驗室隨機抽取100只健康小鼠進行試驗，得到如下列聯(lián)表：感染未感染總計注射104050未注射203

14、050總計3070100參照附表，在犯錯誤的概率最多不超過 的前提下，可認為“注射疫苗”與“感染流感”有關系.【參考公式：K2 =儀*向一(a + b)(c + d)(a + c)(b -+ d)0.100.050.0250.0100.0050.001國2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】0.05【解析】分析：直接利用獨立性檢驗爐公式計算即得解.* 100(10 X 30-20 X 40)：洋解：由題得，30 x 70 x 50 x 50所以犯錯誤的概率最多不超過0.05的前提下，可認為“注射疫苗”與“感染流感”有關系.故答案為：0.05.點睛：本題主要考查獨

15、立性檢驗和 小的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和解決實際問題的能力.15 .已知多項式Qx 3廣的展開式中二項式系數之和為 64,則展開式中/的系數為 (用數字作答).【答案】4860【解析】分析：先根據多項式 Qx-3)”的展開式中二項式系數之和為64得到2” = 64求出n的值，再利用二項式定理的通項求展開式中的系數.詳解：因為多項式 Qx-3的展開式中二項式系數之和為64, 曠=64,n=6.所以二項式展開式的通項為 T_ =產(-3)r = 4戶令6-r=2得r=4,所以展開式中小的系數為。合19=15工4 乂= 4860故答案為：4860.點睛：(1)本題主要考查二項式定理和

16、二項式展開式指定項的系數的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)展開式中小的系數為、力,不是匚；是展開式的第5項的二項式系數，某一項的系數和某一項的二項式系數是兩個不同的概念，不要混淆16 .已知從2開始的連續(xù)偶數蛇形排列成寶塔形的數表，第一行為2,第二行為4, 6,第三行為12, 10, 8,第四行為14, 16, 18, 20,，如圖所示，在該數表中位于第行、第行的數記為為，如2=1°, %4 =陰.若%=201g ,貝h+j =.46121081416182030282624 22【答案】72【解析】分析：先求出 2018排在第幾行，再找出它在這一行的第

17、幾列，即得i + j的值.詳解：第1行有1個偶數，第2行有2個偶數，第n行有n個偶數，則前n行共有I 1-2 3-i n =”個偶數,2018在從2開始的偶數中排在第1009位，2什尸（門1 1）所以,“44（44 十 1），當n=44時，第44個偶數為x 2 = 1980,所以第44行結束時最右邊的偶數為 1980,2由題得2018排在第45行的第27位，所以i + j = 45+27=72.故答案為：72.點睛：（1）本題主要考查歸納推理和等差數列的性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本題的關鍵是通過解不等式-210®找到2018所在的行.2三、解答題

18、：共 70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必做題，每個試題考生都必須作答.第22, 23題為選做題，考生根據要求作答（一）必做題：每小題 12分，共60分.17.已知，b均為正實數，求證:【答案】證明見解析【解析】分析：直接利用作差法比較b a r r b - a a - b11 r r r - Jb詳解:丁+ % -也-也=-i=- 4= (a - bX元-f) = (Va *+ 向一點睛：（1）本題主要考查不等式的證明，意在考查學生對該知識的掌握水平.（2）不等式的證明常用的有比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法等，本題運用的是比較法，也可以利用綜合法18.如圖

19、1,已知APAB中，PA，PH,點P在斜邊AB上的射影為點H.圖I圖21 1 1（I）求證：一：=一；PH PAPB（II）如圖2,已知三棱錐P-ABC中，側棱PA, PB, PC兩兩互相垂直，點P在底面ABC內的射影為點H.類比（I）中的結論，猜想三棱錐 P-AEC中PH與PA, PB, PC的關系，并證明.【答案】（I ）證明見解析；（II ）答案見解析.PA - PB- r PA' ' PB"【解析】分析：（I）先分析得到.包,再由勾股定理得到pa2 + pb2 =,再化簡即得PHPH2 I 1 LPH2 PA2 PB I 1.（n）先類比猜想得到猜想： ；=；

20、1+ 再利用（I）的結論證明PH PA，PH- PC=1= + .PH PA“ PK PC，、-_ 】 PAPB詳解：(I)由條件得，-PA,PB = =AB-PH,所以AB =,2 2PHPA" ' PB"由勾股定理，PA2-PB：=.4B2,所以 P3d + FBi =-PH2P A* + PB所以PH2 PA2 - PB2 PA2 PB2 I 1 L(n)猜想： -=-+ -PH PA- PK PC證明如下:連接AH延長交B于，點，連接PA】，因為 PA1PB, PA1PC,PBCPC=P點，所以PA_L平面PBC,又PM匚平面PEC,得PA_LPMPH，平面

21、 ABC, AM 匚平面 ABC,則 PH 1AM.在直角三角形APM中，由（I）中結論, I 1,=,IPH2 PA3 PM2PA 1 平面 PBC,則 PA 1 BC ,又PH L 平面 ABC ,所以 PH 1 BC ,而PHPiPA = P點，PH 匚平面PAM,所以 BC1 平面APM, BC ±PM.又PR 1 PC,由（I ）中結論，得11 I=1- PMZ PC2 PB2所以1PH21 1 1十PA2 PB2 PC2點睛：（1）本題主要考查幾何證明和類比推理及其證明，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）解答第2問的關鍵有兩個，其一是連接 AH延長交B

22、C于M點，連接PM,證明一；二一；+-其 pir pa- pm211 I是證明, =都用到第1問的結論.PMa PC PB19.小王每天自己開車上班，他在路上所用的時間X （分鐘）與道路的擁堵情況有關 .小王在一年中隨機記錄了 200次上班在路上所用的時間，其頻數統(tǒng)計如下表，用頻率近似代替概率k （分鐘）15202530頻數（次）50506040（I ）求小王上班在路上所用時間的數學期望Eg ；（n）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨立，設一周內上班在路上所用時間不超過的天數為Y,求Y的分布列及數學期望.【答案】（I ）二；（n ）答案見解析. 4【解析】分析：（I）先由題得到x=1

23、5,20,25,30，再求出其對應的概率， 最后得到X的分布列和期望.（II）利用二項分布求Y的分布列及數學期望、 11 、 1詳解：（I） P（X=15） = r P（X = 20） =二，P（X = 25） = 77；, P（X = 30）=：,44105X的分布列為國15202530回1511 89(H)由(I)可知，每天上班在路上所用時間不超過89 口1 1EOQ =一的概率為44 4所以k = 0,1234,5 ,依題意，Y012345013255165132分布列為點睛：(1)本題主要考查隨機變量的分布列和數學期望，考查二項分布，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2

24、)若Bgp).則比=叩.利用該公式可以提高計算效率.20.我市物價監(jiān)督部門為調研某公司新開發(fā)上市的一種產品銷售價格的合理性，對該公司的產品的銷售與價格進行了統(tǒng)計分析，得到如下數據和散點圖：定價x (元/姐)102030405060年銷售y(kg)115064342426216586|z - 21ny14.112.912.111.110.28.9圖圖(2)圖（1）為x-y散點圖，圖（2）為x-z散點圖.（I）根據散點圖判斷y與x,與x哪一對具有較強的線性相關性（不必證明）；（II）根據（I）的判斷結果和參考數據，建立 y關于x的回歸方程（線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數字）；（出）定價

25、為多少時，年銷售額的預報值最大？（注：年銷售額=定價乂年銷售）6參考數據：x = 35, y = 455 , z=lL55,= 750 ,i 16i.= 16i-y)2 = 776840, 工區(qū)和田產-34580 ,i. 16句義中力=34652i. - 1.6WaV）佻臼）參考公式：，.I - 1【答案】（i）答案見解析；（n）答案見解析；（出）定價為20元/姐時，年銷售額的預報值最大【解析】分析：（I）由于圖（2）的點更集中在一條直線附近，所以與X具有的線性相關性較強.（n）利rCUtk+U-G.lOx-h 15用最小二乘法求y關于X的回歸方程為“ j .（出）先得到"2, xE

26、（0,十E）,再利y = e= xy = xe用導數求定價為多少時年銷售額的預報值最大詳解：（I）由散點圖知，與x具有的線性相關性較強6£(乂Kg - Z)'| -JF - q(n)由條件，得 6 = =胃-0 10,61750»洱-x)2& = z.俵=I 1.55-( - 0.W) x35 = 15.05- 15,所以 z = - 0. (Jx + 15,又l ,得 21ny = - 0 1Ox + 15 ,-O.lOjt 15故丁關于x的回歸方程為-A.y(出)設年銷售額為p元，令口尸、.P = f(x) = xy-0L1OK4-15f(x)=(l -

27、0,05x)e2'-0 IOx 1 15一j, x G (0, + co),令得0fx<20；令F（x）h。，得ka2。，則f(x)在iQ20)單調遞增，在+ 單調遞減，在x= 20取得最大值，因此，定價為20元/姐時，年銷售額的預報值最大.點睛：(1)本題主要考查兩個變量的相關性和最小二乘法求回歸直線方程，考查利用導數求函數的最值 .(2)本題的難點在第 3問，這里要用到導數的知識先求函數的單調區(qū)間，再求最大值21.函數 Rx)=匕“一乂一1 , g(x) =I).(I )求函數的極值；(n)若 c-i,證明：當 x£(ai)時，g(x)> i.【答案】(I)f

28、1x)有極小值f(0) = 0,無極大值.(n)證明見解析.【解析】試題分析：(1)求出f(k),分別令式K)>0求得X的范圍，可得函數f(K)增區(qū)間，f(K)式。求得X的范圍， 一一I .可得函數f(x)的減區(qū)間，根據單倜性可得函數f(x)的極值；(2)不等式以x)A |等價于ax-KCCi*十1 A4,由(1) e1 1I11得；父一”，可得(HX lygSX+D-qAKg+g% 4-設帆，利用導數研究函數的單調i X +/K + IX- J1性，根據單調性可得h(x) > h(l) = a + -+ cos),進而可得結果.試題解析：(1)函數= eK - x - 1的定義域

29、為(-甩.十吟,i'(x) = ex - 1 ,由f(K>0得x>0,所以函數 心)在-40)單調遞減，在十間上單調遞增，所以函數f(x)只有極小值f(0) = 0.1(2)不等式 g(K> I等價于 ax 1X83*+ 1 由(1)得：.11I1X所以三吠-TT，xEl),所以(ax 1飛8*4 1)=二*維，？；83乂-1 1)-7 =ax + xcosxi-e x + 1exix+ 11=一.二二sc :.X十I1 . . 1 r令h(x) = 83X + a 4,則 h(x) = - &inx - 二,當 x E )時，h(x) v 0 ,X- 1(x

30、 I 1)1所以hOo在8，D上為減函數，因此，h(x)> h(l) = a - i- cos),一加 1”, ,， c 一”，r，,因為831 >cos-=-,所以，當 a)-1時，a I - -I msl >0,所以 h(x)0,而xE(。)，所以g(x)能 I .3 22(二)選做題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分r廠22 .在直角坐標系犬5一中，曲線孰的參數方程為：(口為參數)，以坐標原點。為極點，工軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線5的極坐標方程為e = -(p(=R).(I)求g的極坐標方程和 Q的直角坐標方程;TT(n)若直線 q的極坐標方程為g = jpER),設G與5的交點為o, m, Q與G的交點為o, n,求aomn的 面積.【答案】(I)G的極坐標方程為p = 4cos。十Ssdn6.直線Q的直角坐標方程為丫=由*.( )8卜5'耳.【解析】分析：(1)利用恒等式消參法得到 g的普通方程，再把極坐標公式代入求其極坐標方程，可以直接寫出q的直角坐標方程.(2)設M(p出)，Wp1%),再求得P = 2十4,Pz=4十沂 再利用面積公式 IpiP例)求得3OMN的面積.詳解：(I )消去參數