矢量分析與場論第四版 謝樹藝習(xí)題答案

1、習(xí)題1 解答1寫出下列曲線的矢量方程，并說明它們是何種曲線。解： ，其圖形是平面上之橢圓。 ，其圖形是平面與圓柱面之交線，為一橢圓。2設(shè)有定圓與動(dòng)圓，半徑均為，動(dòng)圓在定圓外相切而滾動(dòng)，求動(dòng)圓上一定點(diǎn)所描曲線的矢量方程。解：設(shè)點(diǎn)的矢徑為，與軸的夾角為；因有則故4求曲線的一個(gè)切向單位矢量。解：曲線的矢量方程為則其切向矢量為 模為 于是切向單位矢量為6求曲線在處的一個(gè)切向矢量。解：曲線矢量方程為 切向矢量為在處， 7.求曲線 在對應(yīng)于 的點(diǎn)M處的切線方程和法平面方程。 解：由題意得曲線矢量方程為在的點(diǎn)M處，切向矢量于是切線方程為于是法平面方程為，即8求曲線上的這樣的點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于平面。解：曲

2、線切向矢量為， 平面的法矢量為，由題知得。將此依次代入式，得故所求點(diǎn)為 習(xí)題2 解答1說出下列數(shù)量場所在的空間區(qū)域，并求出其等值面。解：場所在的空間區(qū)域是除外的空間。等值面為，這是與平面平行的空間。場所在的空間區(qū)域是除原點(diǎn)以外的的點(diǎn)所組成的空間部分。等值面為，當(dāng)時(shí)，是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的一族圓錐面（除頂點(diǎn)外）；當(dāng)時(shí)，是除原點(diǎn)外的平面。2求數(shù)量場經(jīng)過點(diǎn)的等值面方程。解：經(jīng)過點(diǎn)等值面方程為，即，是除去原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)拋物面。3已知數(shù)量場，求場中與直線相切的等值線方程。 解：設(shè)切點(diǎn)為，等值面方程為，因相切，則斜率為 ，即點(diǎn)在所給直線上，有解之得故4求矢量的矢量線方程。解 矢量線滿足的微分方程為， 或 有解之得

3、5.求矢量場通過點(diǎn)的矢量線方程。解 矢量線滿足的微分方程為由，按等比定理有即解得故矢量線方程為又求得故所求矢量線方程為習(xí)題3 解答1求數(shù)量場在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)。解：因，其方向余弦為在點(diǎn)處有所以2求數(shù)量場在點(diǎn)處沿曲線朝增大一方的方向?qū)?shù)。解：所求方向?qū)?shù)，等于函數(shù)在該點(diǎn)處沿曲線上同一方向的切線方向?qū)?shù)。曲線上點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為,從而在點(diǎn)M處沿所取方向，曲線的切向方向?qū)?shù)為，其方向余弦為又。于是所求方向?qū)?shù)為3求數(shù)量場在點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？解： 因， 當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)最大。即函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大最大值為。4.畫出平面場中的等值線，并畫出場在與點(diǎn)處的梯度矢量，看其是否符合下面事實(shí)：（

4、1）梯度在等值線較密處的模較大，在較稀處的模較??；（2）在每一點(diǎn)處，梯度垂直于該點(diǎn)的等值線，并指向增大的方向。解：所述等值線的方程為：其中第一個(gè)又可以寫為為二直線，其余的都是以軸為實(shí)軸的等軸雙曲線（如下圖,圖中）由于故由圖可見，其圖形都符合所論之事實(shí)。5用以下二法求數(shù)量場在點(diǎn)處沿其矢徑方向的方向?qū)?shù)。 直接應(yīng)用方向?qū)?shù)公式； 作為梯度在該方向上的投影。解：點(diǎn)P的矢徑其模其方向余弦為又所以故 6，求數(shù)量場在點(diǎn)與點(diǎn)處梯度的大小和方向余弦。又問在哪些點(diǎn)上梯度為0？解：其模依次為：于是的方向余弦為的方向余弦為求使之點(diǎn)，即求坐標(biāo)滿足之點(diǎn)，由此解得故所求之點(diǎn)為7通過梯度求曲面上一點(diǎn)處的法線方程。解：所給曲

5、面可視為數(shù)量場的一張等值面，因此，場在點(diǎn)處的梯度，就是曲面在該點(diǎn)的法矢量，即故所求的法線方程為8求數(shù)量場在點(diǎn)處等值面朝軸正向一方的法線方向?qū)?shù)。 解：因梯度與夾角為鈍角，所以沿等值面朝軸正向一方的法線方向?qū)?shù)為 習(xí)題 41.設(shè)S為上半球面求矢量場向上穿過S的通量?！咎崾荆鹤⒁釹的法矢量n與r同指向】解：2.設(shè)S為曲面求流速場在單位時(shí)間內(nèi)下側(cè)穿S的流量Q。解： 其中D為S在xOy面上的投影區(qū)域：用極坐標(biāo)計(jì)算，有3.設(shè)S是錐面在平面的下方部分，求矢量場向下穿出S的通量。解：略4.求下面矢量場A的散度。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）5.求在給定點(diǎn)處的值：（1）（2）（3）解：（1）（2）（

6、3）， 故。6.已知求。解：故7求矢量場A從內(nèi)穿出所給閉曲面S的通量：（1）（2）解：（1）其中為S所圍之球域今用極坐標(biāo)計(jì)算，有（2）。 習(xí)題五1 求一質(zhì)點(diǎn)在力場的作用下沿閉曲線從運(yùn)動(dòng)一周時(shí)所做的功。解：功2.求矢量場沿下列曲線的環(huán)量：（1）圓周；（2）圓周。解：（1）令，則圓周的方程成為，于是環(huán)量（2）令，則圓周的方程成為，于是環(huán)量3.用以下兩種方法求矢量場在點(diǎn)M（1,2,3）處沿方向的環(huán)量面密度。（1）直接應(yīng)用環(huán)量面密度的計(jì)算公式；（2）作為旋度在該方向上的投影。解：（1）故的方向余弦為又根據(jù)公式，環(huán)量面密度(2)于是4用雅可比矩陣求下列矢量場的散度和旋度。（1）（2）（3）解：（1）故有

7、（2）故有（3）故有。5.已知求解：,有6.已知求解：故有 習(xí)題 六1.證明下列矢量場為有勢場，并用公式法和不定積分法求其勢函數(shù)。（1）（2）解：（1）記則所以A為有勢場。下面用兩種方法求勢函數(shù)：公式法：不定積分法：因勢函數(shù)滿足，即有將第一個(gè)方程對積分，得對求導(dǎo)，得，與第二個(gè)方程比較，知于是從而再對求導(dǎo)，得與第三個(gè)方程比較，知，故所以（2）記則所以A為有勢場。下面用兩種方法求勢函數(shù)：公式法：不定積分法：因勢函數(shù)滿足，即有將第一個(gè)方程對積分，得對求導(dǎo)，得，與第二個(gè)方程比較，知于是從而再對求導(dǎo)，得與第三個(gè)方程比較，知，故所以2.下列矢量場A是否保守場？若是，計(jì)算曲線積分：（1），的起點(diǎn)為終點(diǎn)為（2

8、），的起點(diǎn)為終點(diǎn)為解：（1）有故為保守場。因此，存在。按公式于是。（2）有故為保守場。因此，存在。按公式于是。3.求下列全微分的原函數(shù)：（1）（2）解：由公式（1） ；（2）。9.證明矢量場為調(diào)和場，并求其調(diào)和函數(shù)。解：，有故A為調(diào)和場。其調(diào)和函數(shù)由公式10.已知【提示：】解：則13.試證矢量場為平面調(diào)和場，并且：（1）求出場的力函數(shù)和勢函數(shù)；（2）畫出場的力線和等勢線的示意圖。證：記則有故為平面調(diào)和場。（1）由公式，并取其中，則勢函數(shù) 力函數(shù) （2）分別令與等于常數(shù)，就得到力線方程： ，等勢線方程： 二者均為雙曲線族，但對稱軸相差角。如上圖所示。 14.已知平面調(diào)和場的力函數(shù) ，求場的勢函數(shù)及場矢量.解：力函數(shù)與勢函數(shù)之間滿足以下關(guān)系：由有由此，又與前式相比可知所以故勢函數(shù)于是。場矢量 習(xí)題 八2 計(jì)算下列