解析幾何第四版呂林根課后習(xí)題答案

1、第三章 平面與空間直線§ 3.1平面的方程1.求下列各平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程和一般方程：（1）通過點(diǎn)和點(diǎn)且平行于矢量的平面（2）通過點(diǎn)和且垂直于坐標(biāo)面的平面；（3）已知四點(diǎn)，。求通過直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過直線AB且與平面垂直的平面。解： （1） ，又矢量平行于所求平面，故所求的平面方程為：一般方程為：（2）由于平面垂直于面，所以它平行于軸，即與所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的參數(shù)方程為：一般方程為：，即。（3）（）設(shè)平面通過直線AB，且平行于直線CD： ，從而的參數(shù)方程為：一般方程為：。（）設(shè)平面通過直線AB，且垂直于所在的平面， 均與平行，所以

2、的參數(shù)式方程為：一般方程為：.2.化一般方程為截距式與參數(shù)式： .解： 與三個坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為：，所以，它的截距式方程為：.又與所給平面方程平行的矢量為：， 所求平面的參數(shù)式方程為：3.證明矢量平行與平面的充要條件為：.證明： 不妨設(shè)，則平面的參數(shù)式方程為：故其方位矢量為：，從而平行于平面的充要條件為：，共面.4. 已知連接兩點(diǎn)的線段平行于平面，求點(diǎn)的坐標(biāo).解： 而平行于由題3知：從而.5. 求下列平面的一般方程.通過點(diǎn)和且分別平行于三坐標(biāo)軸的三個平面;過點(diǎn)且在軸和軸上截距分別為和的平面;與平面垂直且分別通過三個坐標(biāo)軸的三個平面;已知兩點(diǎn),求通過且垂直于的平面;原點(diǎn)在所求平面上的正射影為;求過點(diǎn)

3、和且垂直于平面的平面.解:平行于軸的平面方程為.即.同理可知平行于軸,軸的平面的方程分別為.設(shè)該平面的截距式方程為,把點(diǎn)代入得故一般方程為.若所求平面經(jīng)過軸，則為平面內(nèi)一個點(diǎn),和為所求平面的方位矢量,點(diǎn)法式方程為一般方程為.同理經(jīng)過軸,軸的平面的一般方程分別為.垂直于平面,該平面的法向量,平面通過點(diǎn),因此平面的點(diǎn)位式方程為.化簡得.(5) 則該平面的法式方程為:既 （6）平面的法向量為，點(diǎn)從 寫出平面的點(diǎn)位式方程為，則，則一般方程即：6將下列平面的一般方程化為法式方程。解：將已知的一般方程乘上得法式方程將已知的一般方程乘上得法式方程將已知的一般方程乘上得法式方程即或?qū)⒁阎囊话惴匠坛松匣虻梅ㄊ?/p>

4、方程為或7求自坐標(biāo)原點(diǎn)自以下各平面所引垂線的長和指向平面的單位法矢量的方向余弦。解：化為法式方程為原點(diǎn)指向平面的單位法矢量為它的方向余弦為原點(diǎn)到平面的距離為化為法式方程為-原點(diǎn)指向平面的單位法矢量為它的方向余弦為原點(diǎn)到平面的距離 第20頁8已知三角形頂點(diǎn)求平行于所在的平面且與她相距為2各單位的平面方程。解：設(shè)點(diǎn)則寫出平面的點(diǎn)位式方程設(shè)一般方程則相距為2個單位。則當(dāng)時當(dāng)時所求平面為和9求與原點(diǎn)距離為6個單位，且在三坐標(biāo)軸與上的截距之比為的平面。解：設(shè)設(shè)平面的截距方程為即又原點(diǎn)到此平面的距離所求方程為10平面分別與三個坐標(biāo)軸交于點(diǎn)求的面積。解 , ,. ;.=11設(shè)從坐標(biāo)原點(diǎn)到平面的距離為。求證證

5、明：由題知：從而有§ 3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置1.計算下列點(diǎn)和平面間的離差和距離：（1）， ；（2）， .解： 將的方程法式化，得： ，故離差為：，到的距離（2）類似（1），可求得，到的距離2.求下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：（1）在軸上且到平面的距離等于4個單位的點(diǎn)；（2）在軸上且到點(diǎn)與到平面距離相等的點(diǎn)；（3）在x軸上且到平面和距離相等的點(diǎn)。解：（1）設(shè)要求的點(diǎn)為則由題意 或7.即所求的點(diǎn)為（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）設(shè)所求的點(diǎn)為則由題意知：由此，或-82/13。故，要求的點(diǎn)為及。（3）設(shè)所求的點(diǎn)為，由題意知：由此解得：或11/43。所求點(diǎn)即（2，0，0）及（11/43，0，0）

6、。3.已知四面體的四個頂點(diǎn)為，計算從頂點(diǎn)向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程為：所以，高。4.求中心在且與平面相切的球面方程。解：球面的半徑為C到平面：的距離，它為：，所以，要求的球面的方程為：.即：.5求通過軸其與點(diǎn)相距8個單位的平面方程。解：設(shè)通過軸的平面為它與點(diǎn)相距8個單位，從而因此從而得或于是有或所求平面為或6. 求與下列各對平面距離相等的點(diǎn)的軌跡.;.解: 令化簡整理可得:與.對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相同,可求,從而直接寫出所求的方程:.9 判別點(diǎn)M（2 -1 1）和N （1 2 -3）在由下列相交平面所構(gòu)成的同一個二面角內(nèi)，還是在相鄰二面角內(nèi)，或是在對頂?shù)亩娼莾?nèi)？（1）與（2）與 解：（

7、1）將M（2 -1 1），N（1 2 -3）代入，得： 則M，N在的異側(cè) 再代入，得： MN在的同側(cè) MN在相鄰二面角內(nèi) （2）將M（2 -1 1）N（1 2 -3）代入，得： 則MN在的異側(cè)。 再代入，得：則MN在的異側(cè)MN 在對頂?shù)亩娼莾?nèi)10 試求由平面：與：所成的二面角的角平分方程，在此二面角內(nèi)有點(diǎn)（1， 2， -3）解：設(shè)p（x y z）為二面角的角平分面上的點(diǎn)，點(diǎn)p到的距離相等化簡得把點(diǎn)p代入到上， 在（1）上取點(diǎn)（ 0 0）代入，。在（2）上取點(diǎn)（0 0 -6）代入，（2）為所求，解平面的方程為： 3.3 兩平面的相關(guān)位置1.判別下列各對直線的相關(guān)位置：（1）與；（2）與；（3）

8、與。解：（1） ， （1）中的兩平面平行（不重合）；（2） ， （2）中兩平面相交；（3） ， （3）中兩平面平行（不重合）。2.分別在下列條件下確定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使與表示二平行平面；（3）使與表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：即：從而：，。（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：所以：，。（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：所以： 。3.求下列兩平行平面間的距離：（1），；（2），。解：（1）將所給的方程化為：所以兩平面間的距離為：2-1=1。（2）同（1）可求得兩平行平面間的距離為1+2=3。4.求下列各組平面所成的角：（1），

9、；（2），。解：（1）設(shè)：，： 或。（2）設(shè)：，：或。5. 求下列平面的方程:(1) 通過點(diǎn)和且與坐標(biāo)面成角的平面;(2) 過軸且與平面成角的平面.解 設(shè)所求平面的方程為又xoy面的方程為z=0,所以解得,所求平面的方程為,即設(shè)所求平面的方程為;則或所求平面的方程為或.§ 3.4空間直線的方程1.求下列各直線的方程：（1）通過點(diǎn)和點(diǎn)的直線；（2）通過點(diǎn)且平行于兩相交平面：的直線；（3）通過點(diǎn)且與三軸分別成的直線；（4）通過點(diǎn)且與兩直線和垂直的直線；（5）通過點(diǎn)且與平面垂直的直線。解：（1）由本節(jié)（3.46）式，得所求的直線方程為：即：，亦即。（2）欲求直線的方向矢量為：所以，直線方程

10、為：。（3）欲求的直線的方向矢量為：，故直線方程為：。（）欲求直線的方向矢量為：，所以，直線方程為：。（）欲求的直線的方向矢量為：，所以直線方程為：。.求以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：（）在直線上與原點(diǎn)相距個單位的點(diǎn)；（）關(guān)于直線與點(diǎn)對稱的點(diǎn)。解：（）設(shè)所求的點(diǎn)為，則：又即：，解得：或所以要求的點(diǎn)的坐標(biāo)為：。（）已知直線的方向矢量為：，或?yàn)?，過垂直與已知直線的平面為：，即，該平面與已知直線的交點(diǎn)為，所以若令為P的對稱點(diǎn)，則：，即。.求下列各平面的方程：（）通過點(diǎn)，且又通過直線的平面；（）通過直線且與直線平行的平面；（）通過直線且與平面垂直的平面；（）通過直線向三坐標(biāo)面所引的三個射影平面。解：（）因?yàn)樗蟮钠?/p>

11、面過點(diǎn)和，且它平行于矢量，所以要求的平面方程為：即。（）已知直線的方向矢量為，平面方程為：即（）要求平面的法矢量為，平面的方程為：，即。（4）由已知方程分別消去，得到：，此即為三個射影平面的方程。4.化下列直線的一般方程為射影式方程與標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出直線的方向余弦：（1） （2）（3）解：（1）直線的方向數(shù)為：射影式方程為： ，即，標(biāo)準(zhǔn)方程為：，方向余弦為：，。（2）已知直線的方向數(shù)為：，射影式方程為：，即標(biāo)準(zhǔn)方程為：，方向余弦為：，。（3）已知直線的方向數(shù)為：，射影式方程為： ，標(biāo)準(zhǔn)式方程為：，方向余弦為：，。5. 一線與三坐標(biāo)軸間的角分別為.證明 證 , ,即 § 3.5直線與平

12、面的相關(guān)位置1.判別下列直線與平面的相關(guān)位置：（1）與；（2）與；（3）與；（4）與。解：（1），而，所以，直線與平面平行。（2）所以，直線與平面相交，且因?yàn)?，直線與平面垂直。（3）直線的方向矢量為：，而點(diǎn)在直線上，又，所以，直線在平面上。（4）直線的方向矢量為，直線與平面相交。2.試驗(yàn)證直線：與平面：相交，并求出它的交點(diǎn)和交角。解： 直線與平面相交。又直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為： 設(shè)交點(diǎn)處對應(yīng)的參數(shù)為，從而交點(diǎn)為（1，0，-1）。又設(shè)直線與平面的交角為，則：，。3.確定的值，使：（1）直線與平面平行；（2）直線與平面垂直。解：（1）欲使所給直線與平面平行，則須：即。（2）欲使所給直線與平面垂直，

13、則須：所以：。4.決定直線和平面的相互位置。解：在直線上任取，有：這表明在平面上，所以已給的直線處在已給的平面上。5.設(shè)直線與三坐標(biāo)平面的交角分別為證明證明 設(shè)直線與X,Y,Z軸的交角分別為而直線與yoz,zox,xoy面的交角依次為那么,.而從而有6.求下列球面的方程(1)與平面x+2y+3=0相切于點(diǎn)且半徑r=3的球面;(2) 與兩平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于點(diǎn)的球面.解: 為過切點(diǎn)且垂直與已知平面的直線,顯見是這條直線的方向余弦.取,則得;取,則得.故所求球面有兩個:,與.為過點(diǎn)且垂直于兩平面的直線,將其代入第二個平面方程,得,反

14、代回參數(shù)方程,得.設(shè)球之中心為,半徑為,則.故所求球面方程為. 3.7空間直線的相關(guān)位置1.直線方程的系數(shù)滿足什么條件才能使：（1）直線與軸相交； （2）直線與軸平行； （3）直線與軸重合。解：（1）所給直線與軸相交 使且 且 ，不全為零。（2）軸與平面平行又軸與平面平行，所以即，但直線不與軸重合， 不全為零。（3）參照（2）有，且。2.確定值使下列兩直線相交：（1）與軸；（2）與。解：（1）若所給直線相交，則有（類似題1）：從而 。（2）若所給二直線相交，則從而：。3.判別下列各對直線的相互位置，如果是相交的或平行的直線求出它們所在的平面；如果是異面直線，求出它們之間的距離。（1）與；（2）

15、與；（3）與。解：（1）將所給的直線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，為：（-2）：3：4=2：（-3）：（-4）二直線平行。又點(diǎn)與點(diǎn)（7，2，0）在二直線上，矢量平行于二直線所確定的平面，該平面的法矢量為：，從而平面方程為：，即 。（2）因?yàn)?，二直線是異面的。二直線的距離：。（3）因?yàn)?，但是?：2：（-1）4：7：（-5）所以，兩直線相交，二直線所決定的平面的法矢量為，平面的方程為：。4.給定兩異面直線：與，試求它們的公垂線方程。解：因?yàn)?，公垂線方程為：即，亦即。5.求下列各對直線間的角(1) (2)解 (1) (2) 直線 6. 設(shè)和分別是坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)和的距離,證明當(dāng)時,直線通過原點(diǎn). 證 ,而當(dāng),時,必

16、有,當(dāng)時, 直線通過原點(diǎn).7.求通過點(diǎn)且與平面平行,又與直線相交的直線方程.解 設(shè)過點(diǎn)的所求直線為 它與已知平面平行,所以有 （1）又 直線與已知直線相交,那么必共面. 又有即 7x+|8y-12z=0 (2)由(1),(2)得 而 所求直線的方程為 8. 求通過點(diǎn)且與兩直線都相交的直線方程.解 設(shè)所求直線的方向矢量為,則所求直線可寫為 直線平行于矢量矢量為直線的方向矢量.由于因此令y=o解方程組得x=1,z=o 點(diǎn)(1,o,o) 為直線上的一點(diǎn). 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 有即 X+3Y+3Z=0.即 X-13Y-3Z=0.得 X:Y:Z=30:6:-16又 即 ,即 所求直線方程為:9. 求與直

17、線平行且和下列兩直線相交的直線.解 在兩直線上分別取兩點(diǎn)第一條直線的方向矢量為，第二條直線的方向矢量為，作兩平面：即 將其聯(lián)立即為所求直線的方程 （1） （2）(1)(2)聯(lián)立: 這就是所要求的直線方程.10. .求過點(diǎn)且與直線相交的直線方程.解 設(shè)所求直線的方向矢量為則所求直線可寫為 3X+2Y-2Z=0 (1) 即 50X-69Y+6Z=0 (2) 由(1),(2)得 所求直線為:§ 3.6空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置1.直線通過原點(diǎn)的條件是什么？解：已知直線通過原點(diǎn)故條件為。2.求點(diǎn)到直線的距離。解：直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以，p到直線的距離為：。§ 3.8 平面束1.求通過平

18、面和的交線且滿足下列條件之一的平面：（1）通過原點(diǎn)； （2）與軸平行；（3）與平面垂直。解：（1）設(shè)所求的平面為：欲使平面通過原點(diǎn)，則須：，即，故所求的平面方程為：即：。（2）同（1）中所設(shè)，可求出。故所求的平面方程為：即：。（3）如（1）所設(shè)，欲使所求平面與平面垂直，則須：從而：，所以所求平面方程為：。2.求平面束，在兩軸上截距相等的平面。解：所給的方程截距式為：據(jù)要求： 。所以，所求的平面為：。3.求通過直線且與平面成角的平面。解：設(shè)所求的平面為：則：從而 ，或所以所求平面為：或。4.求通過直線且與點(diǎn)的距離等于3的平面。解：直線的一般方程為：設(shè)所求的平面的方程為，據(jù)要求，有：有 或即所求平面為