角平分線輔助線專題練習(xí)

1、角平分線專題1、 軸對稱性：內(nèi)容：角是一個軸對稱圖形，它的角平分線所在的直線是它的對稱軸。思路和方法：邊角等 造全等，也就是在角的兩邊上取相等的線段 構(gòu)造全等三角形 基本結(jié)構(gòu)：如圖，2、 角平分線的性質(zhì)定理：注意兩點（1）距離相等 （2）一對全等三角形3、 定義：帶來角相等。4、 補充性質(zhì)：如圖，在ABC中，AD平分BAC，則有AB:AC=BD:DC針對性例題：例題1：如圖，AB=2AC,BAD=DAC,DA=DB 求證：DCAC例題2：如圖，在ABC中，A等于60°，BE平分ABC，CD平分ACB求證：DH=EH例題3：如圖1，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，BACD

2、E圖1求證：AD=DC：思路一：利用“角平分線的對稱性”來構(gòu)造因為角是軸對稱圖形，角平分線是其對稱軸，因此，題中若有角平分線，一般可以利用其對稱性來構(gòu)成全等三角形證法1：如圖1，在BC上取BE=AB，連結(jié)DE，BD平分ABC，ABD=DBE，又BD=BD，ABDEBD（SAS），A=DBE，AD=DE，又A+C=1800，DEB+DEC=1800，C=DEC，DE=DC，BACDEF圖2則AD=DC證法2：如圖2，過A作BD的垂線分別交BC、BD于E、F，連結(jié)DE，由BD平分ABC，易得ABFEBF，則AB=BE，BD平分ABC，BD=BD，ABDEBD（SAS），AD=ED，BAD=DEB，

3、又BAD+C=1800，BACDE圖3BED+CED=1800，C=DEC，則DE=DC，AD=DC說明：證法1，2，都可以看作將ABD沿角平分線BD折向BC而構(gòu)成全等三角形的證法3：如圖3，延長BA至E，使BE=BC，連結(jié)DE， BD平分ABC，CBD=DBE，又BD=BD，CBDEBD（SAS），C=E，CD=DE，又BAD+C=1800，DAB+DAE=1800，E=DAE，DE=DA，則AD=DC說明：證法3是CBD沿角平分線BD折向BA而構(gòu)成全等三角形的思路二：利用“角平分線的性質(zhì)”來構(gòu)造由于角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以根據(jù)這個性質(zhì)，可以過角平分線上一點向角的兩邊作垂線而

4、構(gòu)成兩個全等的直角三角形證法4：如圖4，從D分別作BC、BA的垂線，垂足為E、F，BD平分ABC，DE=DF，又BAD+C=1800，BAD+FAD=1800，F(xiàn)AD=C，F(xiàn)ADECD（AAS），則AD=DCBACDFE圖4例題4 已知：如圖5，在ABC中，C=90°,AC=BC,AD平分CAB.求證：AC+CD=AB證明：在AB上截取AE=AC，AD平分CAB，CAD= DAB，AD=AD，CADEAD，DEA=90°，C=90°，AC=BC，B=45°，B=BDE=45°DE=BE，AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=A

5、B.例題5已知：如圖6，在RtABC中，C=90°，沿過B點的一條直線BE折疊這個三角形，使C點與AB邊上的一點D重合，當(dāng)A滿足什么條件時，點D恰為AB中點？寫出一個你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB中點. 解：當(dāng)A=30°時，點D恰為AB的中點.A=30°，C=90°(已知)，CBA=60°(直角三角形兩銳角互余).又BECBED(已知)，CBE=DBE=30°，且EDB=C=90°(全等三角形對應(yīng)角相等)，DBE=A(等量代換).BE=AE(等角對等邊)，又EDB=90°，即EDAB，D是AB的中點(三

6、線合一).角平分線定理使用中的幾種輔助線作法一、已知角平分線，構(gòu)造三角形例題、如圖所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。求證：證明：延長BE交AC于點F。因為角是軸對稱圖形，對稱軸是角的平分線所在的直線， 所以AD為BAC的對稱軸，又因為BEAD于F，所以點B和點F關(guān)于AD對稱，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。因為ABFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=（ACAF）=（ACAB），所以。二、已知一個點到角的一邊的距離，過這個點作另一邊的垂線段如圖所示，1=2，

7、P為BN上的一點，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求證：BAPBCP=180°。證明：經(jīng)過點P作PEAB于點E。因為PEAB，PDBC，1=2，所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中所以RtPBERtPBC（HL），所以BE=BD。因為ABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以AE=CD。因為PEAB，PDBC，所以PEB=PDB=90°.在PAE和RtPCD中所以PAERtPCD，所以PCB=EAP。因為BAPEAP=180°，所以BAPBCP=180°。三、已知角平分線和其上面的一點，過這一點作角的兩邊的垂線段例題、如圖所示，在A

8、BC中，PB、PC分別是ABC的外角的平分線，求證：1=2證明：過點P作PEAB于點E，PGAC于點G，PFBC于點F因為P在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。同理可證PF=PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分線，所以1=2。與三角形的角平分線有關(guān)的結(jié)論的探究三角形的內(nèi)角和等于1800，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。應(yīng)用以上定理和推論可以探究與三角形的角平分線有關(guān)的結(jié)論。從結(jié)論的探究過程中，希望同學(xué)們能從中得到有益的啟示：在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會運用所學(xué)知識去探索新的結(jié)論，學(xué)會探究，從而不斷地提高自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的能力，提高數(shù)

9、學(xué)學(xué)習(xí)水平。探究一：在中，A，B的平分線交于點P，試探究BPC與A的關(guān)系？探究：因為BPC在BPC中，由三角形的內(nèi)角和定理，有：而由BP，CP分別是ABC和ACB的角平分線知：PBC=，PCB=所以而在在中，所以故有結(jié)論一：在中，A，B的平分線交于點P，則有。探究二：在中，BP是ABC的平分線，CP是ABC的外角ACE的平分線，試探究：BPC與A的關(guān)系？ 探究：由CP是ABC的外角ACE的平分線，所以有：BPC=PCEBPC又BP是ABC的平分線，CP是ACE的平線所以：PBC=，PCE=所以BPC=故有結(jié)論二：在中，BP是ABC的平分線，CP是ABC的外角ACE的平分線，則有：。探究三：在中

10、，BP， CP分別是ABC的兩個外角的平分線，試探究：BPC與A的關(guān)系？探究：因為BPC在BPC中，由三角形的內(nèi)角和定理，有：由BP， CP分別是ABC的兩個外角的平分線，有：PBC=，PCB=而ABC+CBE=1800，ACB+BCF=1800，所以ABC+CBE+ACB+BCF=3600所以EBC+FCB=3600（ACB+ABC）所以故有結(jié)論三：在中，BP， CP分別是ABC的兩個外角的平分線，則有。線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理 角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理 水平測試一、選擇題1.下列說法，錯誤的是（ ）A.三角形任意兩個角的平分線的交點到這個三角形的三邊的距離都相等B.三角形任意

11、兩個角的平分線的交點必在第三個角的平分線上C.三角形兩個角的平分線的交點到三角形的三個頂點的距離都相等D.三角形的任意兩個角的平分線的交點都在三角形的內(nèi)部2.若一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，則這個三角形是（）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不能確定3.如圖所示，在中，的中垂線交斜邊于，則圖中有多少個角等于（）A2個B3個C4個D5個4.等腰兩腰，的垂直平分線交于點，下列各式不正確的是（）AB平分CD5.已知中，的垂直平分線交于，和的周長分別是60cm和38cm，則的腰長和底邊的長分別是（）A24cm和12cm B16cm和22cm C20cm和16cmD22cm和16cm6

12、.將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BC，BD為折痕，則CBD的度數(shù)為（）A60°B75°C90°D95°7.若三條角平分線的交點到三頂點的距離相等，則該三角形一定為（）A等腰三角形，但不一定是等邊三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等邊三角形8. 如圖，ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB，DFAC，E、F為垂足，在以下結(jié)論中：ADEADF；BDECDF；ABDACD；AE=AF；BE=CF；BD=CD其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）ABCDEFA1B2C3D49.已知點在的平分線上，cm，那么點到邊，的距離分別是（）A5cm，cmB4cm，5cm C

13、5cm，5cmD5cm，10cm10.如圖，ABC中，C=90º，BD平分ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分線，DE=BD，且DE=1.5cm，則AC等于（）A3cmB7.5cmC6cmD4.5cmBCDEA二、填空題1.已知線段AB和它外一點P，若PA=PB，則點P在AB的_；若點P在AB的_，則PA=PB2.如圖，中，是的垂直平分線交于，則CA3. 如圖，垂直平分線段于點的平分線交于點，連結(jié)，則的度數(shù)是 4.如圖所示，在中，是的垂直平分線，則的長度為5.在銳角三角形中，兩邊的垂直平分線相交于點，則的度數(shù)是6.中，平分，交于，若，則到的距離是7.的三邊長分別為3cm、4cm、5

14、cm，若為三內(nèi)角平分線交點，則點到斜邊的距離等于8.如圖，已知平分，平分，且過點，若，則的周長是9.如圖，是的平分線，于，則的長是10.如圖，中，平分交于，于，且，則的周長是三、解答題1.如圖所示，直線，表示兩條相互交叉的公路點，表示兩個蔬菜基地現(xiàn)要建立一個蔬菜批發(fā)市場，要求它到兩個基地的距離相等，并且到公路，的距離相等，請你作圖說明此批發(fā)市場應(yīng)建在什么地方？2. 如圖中，的垂直平分線交于，求證：3.用三角尺畫角平分線：如圖，AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，再分別過M、N作OA，OB的垂線，交點為P，畫射線OP，則這條射線即為角平分線請解釋這種做法的道理你還能舉出哪些作角

15、平分線的方法，并說明這種做法的道理4.如圖所示，已知是的角平分線，垂足分別是，求證：垂直平分四、探索題1.如圖，在中，是的平分線，請你猜想圖中哪兩條線段之和等于第三條線段，并證明你的猜想的正確性（證明你的猜想需要用題中所有的條件）2.如圖所示，在等腰中，（1）請你作出兩腰的垂直平分線（2）若邊的垂直平分線與，分別交于點，邊上的垂直平分線與，分別相交于點，則是什么形狀？你能證明嗎？（3）連結(jié)，DG與BC有什么關(guān)系？（4）若，試求的周長答案：一、1D；2C；3D；4D；5D；6C；7D；8B；9C；10D二、1. 垂直平分線上；垂直平分線上；2.15；3.；4.；5.；6.7；7.1cm；8.26

16、；9.；10.三、1.解：分別作的平分線和線段的垂直平分線，則射線與直線的交點即為批發(fā)市場應(yīng)建的地方2.證明：連接的垂直平分線交于，又，Rt中，有，3.解：OM=ON，OP=OP，RtOMPRtONP(HL)，MOP=NOP，射線OP是AOB的平分線4.證明：是的角平分線，（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）（等角對等邊）（垂直定義），（等角的余角相等）（等角對等邊），在的中垂線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）即是的中垂線四、1.解：猜想結(jié)論：，過作于E平分，2.解：（1）如圖所示（2）是等邊三角形證明：，DGFE垂直平分線，同理可證是等邊三角形（3）因為點D、G

17、分別是AB、AC的中點，所以DG是中位線，則（4），的周長為：又的周長為選做題1.中，的垂直平分線交于，交于，于，求的長解：連結(jié)是的垂直平分線，1342AFBDEC（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）（等邊對等角）又，（等角對等邊）（勾股定理），在中，（所對的直角邊等于斜邊的一半）（勾股定理），2.如圖，P是AB的中點，PD平分ADC求證：CP平分DCB證明：過點P作PEDC，垂足于E，ADECBP2143，PD平分ADC，P為AB的中點，P點在DCB的平分線上CP平分DCB3. 分別是銳角三角形ABC的，的平分線，于，于，試說明：（1）；（2）提示：由于是角平分線，且，所以延長交

18、于，則有是等腰三角形，從而是的中點，且，同理是的中點，且，所以，且備用題1如果三角形內(nèi)的一點到三邊的距離相等，則這點是（ ）CA.是三條邊中垂線的交點B.是三角形三條邊的中線的交點C.是三角形三個內(nèi)角平分線的交點D.是三角形三條邊上的高的交點CABEF2.如圖，ABC中，CAB=120º，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，則EAF等于（）CA40ºB50ºC60ºD80º 3.如果的邊的垂直平分線經(jīng)過頂點，與相交于點，且，則中必有一個內(nèi)角的度數(shù)為（）DABCD4.如圖，Rt，平分，于，則下列結(jié)論中不正確的是（）BAB平分C平分D5.等

19、腰三角形內(nèi)有一點到底邊的兩端點距離相等，則連結(jié)頂點和的直線一定把底邊垂直平分5.如圖，在中，垂直平分交于點，交于點，已知，求的度數(shù)解：設(shè)，則，而，6.如圖所示，是的平分線，于，于，且求證：證明：是的平分線，（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）又，7.如圖，已知在中，點是斜邊的中點，交于求證：平分證明：是的中點，又，又，RtRt（），平分角平分線性質(zhì)定理之應(yīng)用三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計算或證明中，起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢？下面舉例說明一、由角平分線的性質(zhì)聯(lián)想兩線段相等EMDFCBA圖1例1 如圖1，ABAC，A的平分線與BC的垂直平分線相

20、交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：BE=CF證明 連結(jié)DB，DCD在A的平分線上，DE=DFD在BC的垂直平分線上，BD=DC又BED=CFD=90°，RtBDERtCDF，BE=CF二、由角平分線的軸對稱性構(gòu)造全等三角形例2 如圖2，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求證：A+C=180°證明 延長BA至F，使BF=BC由BD平分ABC在FBD與CBD中，BF=BC ABD=CBD BD=BDFBDCBD，F(xiàn)DCBA圖2C=F，DF=CD=AD，F(xiàn)=DAF，A+C=BAD+DAF=180°三、過角平分線上一點作一邊的平行線，構(gòu)成等腰三角

21、形例3 已知：如圖3，ABC的平分線BF與ACB的平分線CF相交于點F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E，求證：BD+CE=DEEFCBDA圖3證明：BF是ABC的平分線 DBF=CBF 又DEBC DFB=CBFDBF=DFBBD=FD，同理CE=FEBD+CE=DF+FE=DE四、實際生活中的應(yīng)用例4 如圖4，有三條公路、兩兩相交，要選擇一地點建一座加油站，是加油站到三條公路的距離相等，應(yīng)如何選擇建加油站的地址？這樣的位置有幾種選擇？圖4解析：分別作ABC兩內(nèi)角的平分線，它們相交于一點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)知，這個點到三條公路的距離相等；或者分別作ABC相鄰兩外角的平分線，它們的交點到

22、三條公路的距離也相等，這樣點共有三個，所以建加油站的位置共有4種選擇 角平分線攜“截長補短”顯精彩 角的平分線具有其特有的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例.例1 如圖1-1，ADBC，點E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.圖1-1分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的.證明：在CD上截取CF=BC，如圖1-2在FCE與BCE中，

23、FCEBCE（SAS）,2=1.圖1-2又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例2 已知，如圖2-1，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.圖2-1分析：證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖2-2

24、1=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，圖3-22-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,圖3-1RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°例3 已知：如圖3-1，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補短法）圖3-2延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖3-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.圖3-3方法二（截長法）在AB上截取AF=AC，如圖3-3在AFD與ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DB