高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之微分方程

1、第9章 微分方程1.一階微分方程方程類型標(biāo)準(zhǔn)形式求解方法變量可分離齊次型方程令,代入得,再分離變量一階線性微分方程方法一:常數(shù)變易法方法二:公式法貝努利方程令化為一階線性方程后再求解2.高階微分方程 (1)可降階的高階微分方程.典型形式求解方法兩邊經(jīng)過(guò)次積分即可(不顯含未知函數(shù))令得為一階微分方程，再求解2 / 6(不顯含自變量)令得為一階微分方程，再求解(2)二階線性微分方程的解結(jié)構(gòu) 記二階線性微分方程(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程為(2)若為(1)的一個(gè)特解,為(2)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則為(2)的通解為(1)的通解.注:對(duì)于階線性微分方程的解結(jié)構(gòu)也有類似結(jié)論.(3)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解

2、法 (3) 首先寫出對(duì)應(yīng)于該方程的特征方程 解此方程，求出兩特征值,根據(jù)的不同情形按下表寫出通解.通解兩個(gè)不相同的實(shí)根兩個(gè)相的實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根(4) 階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法以上結(jié)論可推廣至階常系數(shù)線性齊次微分方程(4)其中為常數(shù).根據(jù)特征方程的根的四種情況,分別寫出對(duì)應(yīng)的解：a) 為特征方程的單重實(shí)根,(4)有相應(yīng)的一個(gè)解b) 為特征方程的重實(shí)根, (4)有相應(yīng)的個(gè)解c) 為特征方程的單重復(fù)根,(4)有相應(yīng)的兩個(gè)解d) 為特征方程的重共軛復(fù)根,(4)有相應(yīng)的2個(gè)解 若記以上求出的個(gè)解為,則（4）的通解就是(5)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法(5)其中為常數(shù). 方程(5)的解法:首先

3、求出(5)對(duì)應(yīng)的齊次方程(3)的通解,再求出(5)的一個(gè)特解,則(5)的通解為而的求法如下:當(dāng)為某些特殊類型函數(shù)時(shí),用待定系數(shù)法求.a) ,其中為常數(shù),為的次多項(xiàng)式則可設(shè)(5)的特解為(6)其中為與同次的多項(xiàng)式.將(6)代入(5)比較系數(shù)可求出,從而求出.b) 其中均為常數(shù), 分別為次, 次多項(xiàng)式.則(5)的特解可設(shè)為(7)其中為次多項(xiàng)式,將(7)代入(5)比較同類項(xiàng)系數(shù)可求出,從而求出.復(fù)習(xí)指導(dǎo)： 第9章 微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)一 解微分方程的方法解微分方程的問(wèn)題一般分求通解和求特解兩類，需要求特解時(shí)，先求其通解，然后將已知的初始條件代入通解，確定任意常數(shù)，得到特解。求通解時(shí)首先要判斷微

4、分方程的類型，然后對(duì)不同類型的方程用不同的方法去解。所學(xué)的微分方程分類如下一階微分方程變量可分離: 齊次型方程: 一階線性微分方程: 貝努利方程: 高階微分方程可降階的高階微分方程 (不顯含未知函數(shù)) (不顯含自變量)常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性齊次微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程階常系數(shù)線性齊次微分方程常系數(shù)線性非齊次微分方程(二階)的情況, 其中為常數(shù),為的次多項(xiàng)式的情況, 其中均為常數(shù), 分別為次, 次多項(xiàng)式.注: 另外還有一種全微分方程，將在下冊(cè)講授.二 微分方程的應(yīng)用題解微分方程的應(yīng)用題分兩步： a) 根據(jù)具體問(wèn)題建立微分方程：對(duì)于幾何問(wèn)題一般利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程,對(duì)于物理問(wèn)題一般根據(jù)微元法和物理定理列方程。注: 在應(yīng)用問(wèn)題中常常包含有一些初試條件，在列方程時(shí)不要遺