高中數(shù)學 向量法搞定立體幾何論文

1、向量法搞定立體幾何一、基礎(chǔ)知識2.法向量的求法 法向量指的是垂直于面的向量。在用向量解題的過程中，只要遇到面便要求出它的法向量。求法向量的步驟：（1） 設(shè)此面的法向量為（x，y，z）（2） 因為法向量垂直于面內(nèi)的任意一條直線，所以在此面內(nèi)任意找到兩條相交直線（如：（x1，y1，z1）, （x2，y2，z2）則有：（3） 因為上面是建立了兩個方程，但是有三個未知量，所以必須設(shè)一個量，在設(shè)的時候除了求二面角時（下面有介紹）需要來考慮方向，別的情況都可以隨便設(shè)，通過上面解出的相對關(guān)系，確定那兩個量，這樣，法向量便解出來了。特殊情況：在此情況下（如圖1所示），法向量可以直接設(shè)出來，而不用上述的方法求解

2、。（1）面OAC的法向量我們可以直接看出此面的法向量平行于x軸，所以可以直接設(shè)法向量為（x，0，0），其中x可以隨便賦值。（2）面OAB的法向量我們可以直接看出此面的法向量平行于y軸，所以可以直接設(shè)法向量為（0，y，0），其中y可以隨便賦值。（3）面OBC的法向量我們可以直接看出此面的法向量平行于y軸，所以可以直接設(shè)法向量為（0，0，z），其中z可以隨便賦值（圖1）例一：已知一個三棱錐，OA 垂直于面OBC，OB垂直O(jiān)C，且OA=OB=OC=1，如圖1所示，求面ABC的法向量？ 解：設(shè)ABC的法向量為，A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0）則： ，解得：x=z；y=x；令x=1，

3、則有y=z=1；則（1，1，1）為面ABC得法向量。二、學會建立坐標系1. 對于立方體、長方體、正四棱柱可以直接建立（在此不再強調(diào)）。2. 對于不可以直接建立的立體圖，要盡量建立較好求的坐標系常用方法：找中點（一般在題中會出現(xiàn)等腰三角形或者等邊三角形，往往找到底邊的中點，頂點與中點相連，此線便垂直于底邊了，把此線作為其中的一軸） 比如例二：2006年全國二卷第（19）（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC，D、E分別為BB1、AC1的中點.（）證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；（）設(shè)AA1=AC=求二面角A1ADC1的大小. （此圖為建立完坐標系的圖形）

4、一般的步驟：1.找到垂直于底面的一條線，作為Z軸2.在底面上找兩條相互垂直的直線，分別作為X軸和Y軸三、用向量法求解1.點與點的距離2.點到直線的距離（1）已知直線的方程 y=kx+b,那么點（x0，y0）到此直線的距離為： （2）用面積法求解（原理：面積相等） 圖解：求A到BC的距離3.點到面的距離 （1）用體積法求解（原理：體積相等。適用于體積和面積比較好求的立體）如前面的例一：已知一個三棱錐，OA 垂直于面OBC，OB垂直O(jiān)C，且 OA=OB=OC=1，如圖所示，求點O到面ABC的距離？ 解：根據(jù)體積相等，設(shè)點O到面ABC的距離為d，AD為BC邊的高：則有（2）用向量法求解如圖：求P到面

5、ABCD的距離，設(shè)面ABCD的法向量為，O為P在面上的投影點，OP即為P到面ABCD的距離。A.的方向向上時O為點P在面ABCD 上的投影點，故OP便是點P到面ABCD的距離，則B. 的方向向下時O為點P在面ABCD 上的投影點，故OP便是點P到面ABCD的距離，則綜上述兩種情況，我們可以得出：在求點到面的距離時，先在面內(nèi)任意找到一點與此點構(gòu)成向量（如上面A與P構(gòu)成向量），則不論的方向如何，其點到面的距離為：4.線與線的夾角因為線與線的夾角在0°，90°，所以其余弦值必為正值如果算的cos為負值，可通過調(diào)整其中的一個向量的方向來使的其算的值為負值。（或者如果是在做小題無需寫

6、步驟，可直接用 ）5.線與面的夾角因為線與面的夾角在（0°，90°，所以其的正余弦值必為正值A(chǔ).法向量向上時(所求的角)+=90°sin=cosB.法向量向下時=(所求的角)+ 90°sin=sin（-90°）=-cos>0綜上總結(jié)：不論怎么定法向量，都有 。6.面與面的夾角這種題是唯一需要確定法向量發(fā)現(xiàn)的，老師們可能讓大家用觀察法來判斷此二面角的角度范圍（即為銳角還是鈍角），但往往有時是判斷不對的，現(xiàn)通過定法向量方向來確定二面角。請觀察下面兩個圖：正面 正面反面反面為了計算時不繁瑣，在規(guī)定法向量方向的時候，比較想讓兩個法向量的夾角直接等

7、于所求的二面角，由上面四個圖我們可以看到當兩個法向量都從面上射出（或射入）時，其兩向量所成的角與二面角互補，所以欲使兩向量的夾角恰好為二面角，則應一進一出，關(guān)于是進還是出，由Z的正負來確定（如果你設(shè)出的向量方向指向斜上方，那么Z為正值；反之，如果設(shè)出的方向為斜下方，那么Z為負值）。需要注意面的正反面（所有的進出都是指的從正面進出），這是個難點，先通過下面圖說明如何判斷正反面。反面正面就像海蚌一樣，兩個殼夾得角為二面角，其外殼為上述提到的反面，殼內(nèi)部為正面（如上圖所示）。四.補充1如果證明兩面平行 那么證其法向量平行即可2. 如果證明兩面垂直 那么證其法向量垂直即可3. 如果證明線與面平行 那么證線與面得法向量垂直即可4. 如果證明線與面垂直 那么證線與面法向量平行即可五.應用實例：現(xiàn)已2008年全國卷為例：如圖，正四棱柱中，,點E在上且.()證明：平面;()求二面角的大小.()以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系依題設(shè)，3分（）因為，故，又，所以平面6分（）設(shè)向量是平面的法向量，則，故，（解釋：第一問已經(jīng)證明平面，