高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見題型蘇教版知識精講

1、高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見題型蘇教版【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：三角函數(shù)常見題型二、高考要求：了解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解同角關(guān)系；掌握三角函數(shù)的兩角和（差）的正弦、余弦和正切；理解正余弦定理并會應(yīng)用【典型例題】I、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點，在復(fù)習(xí)時要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來本節(jié)主要幫助考生掌握圖象和性質(zhì)并會靈活運用例1、函數(shù)的圖象為，如下結(jié)論中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）圖象關(guān)于直線對稱；圖象關(guān)于點對稱；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象答案：例2、下面有五個命題：函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是終邊

2、在y軸上的角的集合是a|a=|在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點把函數(shù)函數(shù)其中真命題的序號是 （寫出所有真命題的編號）解析：，正確；錯誤；，和在第一象限無交點，錯誤；正確；錯誤故選例3、設(shè)z1=m+（2m2）i，z2=cos+（+sin）i，其中m，R，已知z1=2z2，求的取值范圍命題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問題的能力和等價轉(zhuǎn)化思想的運用知識依托：主要依據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決錯解分析：考生不易運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題技巧與方法：對于解法一，主要運用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函

3、數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；對于解法二，主要運用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題解法一：z1=2z2，m+（2m2）i=2cos+（2+2sin）i，=12cos2sin=2sin2sin1=2（sin）2當(dāng)sin=時，取最小值，當(dāng)sin=1時，取最大值2解法二：z1=2z2 ，=1m4（34）m2+428=0，設(shè)t=m2，則0t4，令f（t）=t2（34）t+428，則或f（0）·f（4）00或02的取值范圍是，2例4、如下圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（x+）+b（1）求這段時間的最大溫差（2）寫出這段曲線的函數(shù)解

4、析式命題意圖：本題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點題型，要求考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識與實際問題結(jié)合起來分析、思考，充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則知識依托：依據(jù)圖象正確寫出解析式錯解分析：不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個特定系數(shù)和字母技巧與方法：數(shù)形結(jié)合的思想，以及運用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式解：（1）由圖示，這段時間的最大溫差是3010=20（）；（2）圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin（x+）+b的半個周期的圖象=146，解得=，由圖示A=（3010）=10，b=（30+10）=20，這時y=10sin（x+）+20，將x=6，y=10代入上式可取=綜上所求的解析式為y

5、=10sin（x+）+20，x6，14例5、已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）sin2x+sinxcosx（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最小值及取得最小值時相應(yīng)的x的值；命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識，還考查計算變形能力，綜合運用知識的能力知識依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識錯解分析：在求f-1（1）的值時易走彎路技巧與方法：等價轉(zhuǎn)化，逆向思維解：（1）f（x）=2cosxsin（x+）sin2x+sinxcosx=2cosx（sinxcos+cosxsin）sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2

6、x=2sin（2x+）f（x）的最小正周期T=（2）當(dāng)2x+=2k，即x=k （kZ）時，f（x）取得最小值2方法歸納：本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：1、考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運用2、三角函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強(qiáng)3、三角函數(shù)與實際問題的綜合應(yīng)用此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用II、三角函數(shù)的式值例6、下列各式中，值為的是（）（A）（B）

7、（C）（D）答案：B例7、不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對計算能力的要求較高知識依托：熟知三角公式并能靈活應(yīng)用錯解分析：公式不熟，計算易出錯技巧與方法：解法一利用三角公式進(jìn)行等價變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使解法更簡單更精妙，需認(rèn)真體會解法一：sin220°+cos280°+sin20°cos80°= （1cos40°）+ （1+cos160°）+ sin20°cos80°=1co

8、s40°+cos160°+sin20°cos（60°+20°）=1cos40°+ （cos120°cos40°sin120°sin40°）+sin20°（cos60°cos20°sin60°sin20°）=1cos40°cos40°sin40°+sin40°sin220°=1cos40°（1cos40°）= 解法二：設(shè)x=sin220°+cos280°+si

9、n20°cos80°y=cos220°+sin280°cos20°sin80°，則x+y=1+1sin60°=，xy=cos40°+cos160°+sin100°=2sin100°sin60°+sin100°=0x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=例8、已知<<<，（I）求的值（II）求分析：本題考查三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號，已知三角函數(shù)值求角以及計算

10、能力解：（I）由，得，于是（II）由，得又，由得：所以例9、設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x2acosx（2a+1）的最小值為f（a），試確定滿足f（a）=的a值，并對此時的a值求y的最大值命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力知識依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題錯解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對區(qū)間的分類易出錯技巧與方法：利用等價轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等解：由y=2（cosx）2及cosx1，1得：f（a）=f（a）=，14a=a=2，+故2a1=，解得：a=1，此時，y=2（cosx+）2+，當(dāng)c

11、osx=1時，即x=2k，kZ，ymax=5方法歸納：本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：1、求值問題的基本類型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式求值，4°求函數(shù)式的最值或值域，5°化簡求值2、技巧與方法：1°要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用3°對于條件求值問題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法4°求最值問題，常用配方法、換元法來解決III、三角函數(shù)的綜合運用

12、三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧例10、在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處（1）求船的航行速度是每小時多少千米；（2）又經(jīng)過一段時間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠(yuǎn)？命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識，以及學(xué)生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力知識依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)

13、系錯解分析：考生對方位角識別不準(zhǔn)，計算易出錯技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運用正弦定理來解決問題解：（1）在RtPAB中，APB=60° PA=1，AB= （千米）在RtPAC中，APC=30°，AC= （千米）在ACB中，CAB=30°+60°=90°（2）DAC=90°60°=30°sinDCA=sin（180°ACB）=sinACB=sinCDA=sin（ACB30°）=sinACB·cos30°cosACB·sin30°在ACD中，據(jù)正

14、弦定理得，答：此時船距島A為千米例11、解不等式分析：本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，含絕對值不等式的解法，考查基本運算能力解：因為對任意，所以原不等式等價于即，故解為所以原不等式的解集為例12、設(shè)函數(shù)，其中，將的最小值記為（I）求的表達(dá)式；（II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值分析：本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析解決多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值與最值等問題的綜合能力本小題滿分14分解：（I）我們有 由于，故當(dāng)時，達(dá)到其最小值，即（II）我們有列表如下：極大值極小值由此可見，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，

15、極小值為，極大值為例13、已知為的最小正周期，且a·b求的值分析：本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運算能力和推理能力本小題滿分12分解：因為為的最小正周期，故因，又故由于，所以例14、已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍分析：本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力解：（） 又，即，（），且，即的取值范圍是例15、如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點，且該函數(shù)的最小正周期為（1）求和的值；（2）已知點，點是該函數(shù)圖象上一點，點是的中點，當(dāng)，時，求的值解：（1）將，代入

16、函數(shù)中得，因為，所以由已知，且，得（2）因為點，是的中點，所以點的坐標(biāo)為又因為點在的圖象上，且，所以，從而得或，即或【模擬試題】1、是第四象限角，則 2、給出四個命題：（1）若sin2A=sin2B，則ABC為等腰三角形；（2）若sinA=cosB，則ABC為直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C2，則ABC為鈍角三角形；（4）若cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，則ABC為正三角形以上正確命題的個數(shù)是 3、在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_4、函數(shù)f（x）=（）cosx在，上的單調(diào)減區(qū)間為_5、設(shè)0，若函數(shù)f（x）=2sinx在上單調(diào)遞增，則的取值范

17、圍是_6、已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值_7、在ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos（2A+C）=，sinB=，則cos2（B+C）=_8、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積9、函數(shù)的最小正周期和最大值分別為 ， 10、在中，已知，（）求的值；（）求的值11、已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值12、已知、為銳角，且x（+）0，試證不等式f（x）=x2對一切非零實數(shù)都成立13、是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，

18、求出對應(yīng)的a值；若不存在，試說明理由14、設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，cR），已知不論、為何實數(shù)恒有f（sin）0和f（2+cos）0（1）求證：b+c=1；（2）求證c3；（3）若函數(shù)f（sin）的最大值為8，求b，c的值試題答案1、答案：2、答案：2解析：其中（3）（4）正確3、解析：A+B+C=，A+C=2B，答案：4、答案：解：在，上，y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是，0及，而f（x）依cosx取值的遞增而遞減，故，0及，為f（x）的遞減區(qū)間5、解：由x，得f（x）的遞增區(qū)間為，由題設(shè)得6、解法一：，0+，sin（）=sin2=sin（）+（+）=sin（）cos（+）+cos

19、（）sin（+）解法二：sin（）=，cos（+）=，sin2+sin2=2sin（+）cos（）=sin2sin2=2cos（+）sin（）=sin2=7、解析：A為最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180°cos（2A+C）=，sin（2A+C）=C為最大角，B為銳角，又sinB=故cosB=即sin（A+C）=，cos（A+C）=cos（B+C）=cosA=cos（2A+C）（A+C）=，cos2（B+C）=2cos2（B+C）1=答案：8、解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：S=SABD+SCDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinCA+C=180°，sinA=sinC故S=（AB·AD+BC·CD）sinA=（2×4+6×4）sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22AB·AD·cosA=2016cosA在CDB中，BD2=C