高三二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題十五 新人教

1、2012屆高三二輪復(fù)習(xí)專題（十五）題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)解題高考要求 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖像和性質(zhì)結(jié)合起來 本節(jié)主要幫助考生掌握?qǐng)D像和性質(zhì)并會(huì)靈活運(yùn)用 重難點(diǎn)歸納 1 考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用 2 三角函數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力 在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng) 3 三角函數(shù)與實(shí)際問題的綜合應(yīng)用 此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力和數(shù)學(xué)建模能

2、力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用 典型題例示范講解 例1設(shè)z1=m+(2m2)i, z2=cos+(+sin)i, 其中m,R，已知z1=2z2，求的取值范圍 命題意圖 本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問題的能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用 知識(shí)依托 主要依據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決 錯(cuò)解分析 考生不易運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題 技巧與方法 對(duì)于解法一，主要運(yùn)用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；對(duì)于解法二，主要運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 解法一 z1=2z2，m+(2m2

3、)i=2cos+(2+2sin)i,=12cos2sin=2sin2sin1=2(sin)2 當(dāng)sin=時(shí)取最小值，當(dāng)sin=1時(shí)，取最大值2 解法二 z1=2z2 ,=1 m4(34)m2+428=0, 設(shè)t=m2,則0t4,令f(t)=t2(34)t+428,則或f(0)·f(4)0 0或02 的取值范圍是，2 例2如右圖，一滑雪運(yùn)動(dòng)員自h=50m高處A點(diǎn)滑至O點(diǎn)，由于運(yùn)動(dòng)員的技巧(不計(jì)阻力)，在O點(diǎn)保持速率v0不為，并以傾角起跳，落至B點(diǎn)，令OB=L，試問，=30°時(shí)，L的最大值為多少？當(dāng)L取最大值時(shí)，為多大？命題意圖 本題是一道綜合性題目，主要考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來

4、解決物理問題的能力 知識(shí)依托 主要依據(jù)三角函數(shù)知識(shí)來解決實(shí)際問題 錯(cuò)解分析 考生不易運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決物理問題，知識(shí)的遷移能力不夠靈活 技巧與方法 首先運(yùn)用物理學(xué)知識(shí)得出目標(biāo)函數(shù)，其次運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際問題 解 由已知條件列出從O點(diǎn)飛出后的運(yùn)動(dòng)方程 由整理得 v0cos=v02+gLsin=g2t2+=gL運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)滑至O點(diǎn)，機(jī)械守恒有:mgh=mv02,v02=2gh,L=200(m)即Lmax=200(m),又g2t2= 得cos=cos,=30°L最大值為200米，當(dāng)L最大時(shí)，起跳仰角為30° 例3如下圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似

5、滿足函數(shù)y=Asin(x+)+b (1)求這段時(shí)間的最大溫差 (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式 命題意圖 本題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點(diǎn)題型，要求考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)與實(shí)際問題結(jié)合起來分析、思考，充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則 知識(shí)依托 依據(jù)圖像正確寫出解析式 錯(cuò)解分析 不易準(zhǔn)確判斷所給圖像所屬的三角函數(shù)式的各個(gè)特定系數(shù)和字母 技巧與方法 數(shù)形結(jié)合的思想，以及運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式 解 (1)由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是3010=20()；(2)圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖像是函數(shù)y=Asin(x+)+b的半個(gè)周期的圖像 =146,解得=,由圖示A=(3010)=10，b=(30+

6、10)=20，這時(shí)y=10sin(x+)+20,將x=6,y=10代入上式可取= 綜上所求的解析式為y=10sin(x+)+20,x6,14 例4已知、為銳角，且x(+)0,試證不等式f(x)=x2對(duì)一切非零實(shí)數(shù)都成立 證明 若x0，則+、為銳角，0;0,0sin()sin 0sin()sin，0cossin,0cossin,01,01,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減，f(x)f(0)=2 若x0,+,、為銳角，0,0,0sinsin(),sincos,0sinsin(),sincos,1, 1,f(x)在(,0）上單調(diào)遞增，f(x)f(0)=2,結(jié)論成立 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 函數(shù)y=x

7、3;cosx的部分圖像是( )2 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A 非奇非偶函數(shù)B 僅有最小值的奇函數(shù)C 僅有最大值的偶函數(shù)D 既有最大值又有最小值的偶函數(shù)3 函數(shù)f(x)=()cosx在，上的單調(diào)減區(qū)間為_ 4 設(shè)0，若函數(shù)f(x)=2sinx在，上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_ 5 設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知不論、為何實(shí)數(shù)恒有f(sin)0和f(2+cos)0 (1)求證 b+c=1；(2)求證c3；(3)若函數(shù)f(sin)的最大值為8，求b，c的值 6 用一塊長為a，寬為b(ab)的矩形木板，在二面角為的墻角處圍出一個(gè)直三棱柱的谷倉，試問應(yīng)怎樣圍才

8、能使谷倉的容積最大？并求出谷倉容積的最大值 7 有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上，然后作其最大內(nèi)接矩形，試問 工人師傅是怎樣選擇矩形的四點(diǎn)的？并求出最大面積值 8 設(shè)x，求函數(shù)y=log2(1+sinx)+log2(1sinx)的最大值和最小值 9 是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說明理由 參考答案 1 解析 函數(shù)y=xcosx是奇函數(shù)，圖像不可能是A和C，又當(dāng)x(0, )時(shí)，y0 答案 D2 解析 f(x)=

9、cos2x+sin(+x)=2cos2x1+cosx=2(cosx+1 答案 D3 解 在,上，y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是,0及, 而f(x)依cosx取值的遞增而遞減,故,0及,為f(x)的遞減區(qū)間 4 解 由x，得f(x)的遞增區(qū)間為,，由題設(shè)得5 解 (1)1sin1且f(sin)0恒成立，f(1)012+cos3,且f(2+cos)0恒成立 f(1)0 從而知f(1)=0b+c+1=0 (2)由f(2+cos)0,知f(3)0,9+3b+c0 又因?yàn)閎+c=1,c3 (3)f(sin)=sin2+(1c)sin+c=(sin)2+c()2,當(dāng)sin=1時(shí)，f(sin)max=8,由解

10、得b=4,c=3 6 解 如圖，設(shè)矩形木板的長邊AB著地，并設(shè)OA=x，OB=y，則a2=x2+y22xycos2xy2xycos=2xy(1cos) 0,1cos0,xy (當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào))，故此時(shí)谷倉的容積的最大值V1=(xysin)b= 同理，若木板短邊著地時(shí)，谷倉的容積V的最大值V2=ab2cos,ab,V1V2從而當(dāng)木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時(shí)，谷倉的容積最大，其最大值為a2bcos 7 解 如下圖，扇形AOB的內(nèi)接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設(shè)AOP=，則QOP=45°，NP=Rsin,在PQO中，PQ=Rsin(45°) S矩形MNPQ=QP·NP=R2sinsin(45°)=R2·cos(245°)R2，當(dāng)且僅當(dāng)cos(245°)=1,即=22 5°時(shí)，S矩形MNPQ的值最大且最大值為R2 工人師傅是這樣選點(diǎn)的，記扇形為AOB，以扇形一半徑OA為一邊，在扇形上作角AOP且使AOP=22 5°，P為邊與扇形弧的交點(diǎn)，自P作PNOA于N，PQOA交OB于Q，并作OMOA于M，則矩形MNPQ為面積最大的