高等代數(shù)北大習題參考答案

1、第五章 二次型1用非退化線性替換化下列二次型為標準形，并利用矩陣驗算所得結果。1）；2）；3）；4）；5）；6）；7）。解 1）已知 ，先作非退化線性替換 （1）則 ，再作非退化線性替換 （2）則原二次型的標準形為 ， 最后將（2）代入（1），可得非退化線性替換為 （3）于是相應的替換矩陣為 ，且有 。 2）已知，由配方法可得 ，于是可令 ，則原二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，相應的替換矩陣為 ，且有 。 （3）已知，由配方法可得 ，于是可令 ，則原二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，相應的替換矩陣為 ，且有。（4）已知，先作非退化線性替換 ，則 ，再作非退化線性替換 ，則 ，

2、再令 ，則原二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，相應的替換矩陣為 ，且有 。（5）已知，先作非退化線性替換 ，則 ，再作非退化線性替換 ，即 ，則原二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，相應的替換矩陣為 ，且有 。 （6）已知 ，由配方法可得 ，于是可令 ，則原二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，故替換矩陣為 ，且有 。 （7）已知，由配方法可得 ，于是可令 ，則原二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，相應的替換矩陣為 ，且有 。 （）把上述二次型進一步化為規(guī)范形，分實系數(shù)、復系數(shù)兩種情形；并寫出所作的非退化線性替換。解 1）已求得二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，

3、（1） 在實數(shù)域上，若作非退化線性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。（2） 在復數(shù)域上，若作非退化線性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。 2）已求得二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，故該非退化線性替換已將原二次型化為實數(shù)域上的規(guī)范形和復數(shù)域上的規(guī)范形 。 3）已求得二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，（1） 在實數(shù)域上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即 。（2） 在復數(shù)域上，若作非退化線性替換 ?？傻枚涡偷囊?guī)范形為 。（3） 已求得二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，（1） 在實數(shù)域上，若作非退化線性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。（2）在復數(shù)域上，若作非退化線

4、性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。（5）已求得二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 ，（1） 在實數(shù)域上，若作非退化線性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。（2） 在復數(shù)域上，若作非退化線性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。 6）已求得二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 。（1）在實數(shù)域上，若作非退化線性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。（2）在復數(shù)域上，若作非退化線性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。7）已求得二次型的標準形為 ，且非退化線性替換為 。（1）在實數(shù)域上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即 。（2） 在復數(shù)域上，若作非退化線性替換 ，可得二次型的規(guī)范形為 。 2證明：秩

5、等于的對稱矩陣可以表成個秩等于1的對稱矩陣之和。 證 由題設知且，于是存在可逆矩陣使 ，且為對角陣，又因為均為可逆矩陣，所以有 ，其中 于是 。因 ，且 。即都是對稱矩陣，故可表成個秩為1的對稱矩陣之和。3證明： 與 合同，其中是的一個排列。證 題中兩個矩陣分別設為，與它們相應的二次型分別為 ， ，作非退化的線性替換 ，則可化成。故與合同。 4設是一個階矩陣，證明： 1）是反對稱矩陣當且僅當對任一個維向量，有。 2）如果是對稱矩陣，且對任一個維向量有，那么。 證 1）必要性。因為，即，所以由于，故 。 充分性。因為，有，即 ，這說明原式是一個多元零多項式，故有 ，即。 2）由于是對稱的，且，即

6、 ，這說明為一個多元零多項式，故有 ， ，即。5如果把實階對稱矩陣按合同分類，即兩個實階對稱矩陣屬于同一類當且僅當它們合同，問共有幾類？解 實對稱矩陣與合同的充要條件為存在可逆矩陣與使 。 下面考慮對角矩陣的相應二次型的合同分類情況，在中可分為共計個合同類。但秩又可分別取，故共有個合同類。6證明：一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式的乘積的充分必要條件是：它的秩等于2且符號差等于0，或者秩等于1。證 必要性。設 ，其中均為實數(shù)。1） 若上式右邊的兩個一次式系數(shù)成比例，即不失一般性，可設，則可作非退化線性替換使二次型化為 ，故二次型的秩為1。2） 若兩個一次式系數(shù)不成比例，不妨設，則

7、可作非退化線性替換 ，使 。再令 ，則二次型可化為 ，故二次型的秩為2，且符號差為0。充分性。1）若的秩為1，則可經非退化線性替換使二次型化為 ，其中為的一次齊次式，即 ，且 。2）若的秩為2，且符號差為0，則可經非退化線性替換使二次型化為 ，故可表成兩個一次齊次式的乘積。7判斷下列二次型是否正定：1）；2）；3）；4）。解 1）二次型的矩陣為 ，因為 ，故原二次型為正定二次型。2） 二次型的矩陣為 ，因為，所以原二次型非正定。3） 記二次型的矩陣為，其中 ，即 ，由于的任意階順序主子式所對應的矩陣與為同類型的對稱矩陣，且 ，故原二次型為正定二次型。4） 記二次型的矩陣為，則的級順序主子式為

8、，故原二次型為正定二次型。8取什么值時，下列二次型是正定的：1）2）解 1）二次型的矩陣為 ，因為的各階順序主子式為 ， ， ，當原二次型為正定時，有 ，解上面不等式組，可得。 2）二次型的矩陣為 ，當?shù)乃许樞蛑髯邮蕉即笥诹銜r，即 ， ， ，由原二次型為正定得 ，但此不等式組無解，即不存在值使原二次型為正定。 9證明：如果是正定矩陣，那么的主子式全大于零。所謂主子式，就是行指標與列指標相同的子式。 證 設正定矩陣，作正定二次型，并令 ，則可得新二次型 ，由正定二次型的定義知該二次型是正定的，故的一切級主子式。 10設是實對稱矩陣，證明：當實數(shù)充分大之后，是正定矩陣。證 ，它的級順序主子式為當

9、充分大時，為嚴格主對角占優(yōu)矩陣的行列式，且，故，從而是正定的。 11證明：如果是正定矩陣，那么也是正定矩陣。證 因是正定矩陣，故為正定二次型，作非退化線性替換，又也是對稱矩陣，故 ，從而為正定二次型，即證為正定矩陣。 12設為一個級實對稱矩陣，且，證明：必存在實維向量，使。證 因為，于是，所以，且不是正定矩陣。故必存在非退化線性替換使 ，且在規(guī)范形中必含帶負號的平方項。于是只要在中，令則可得一線性方程組 ，由于，故可得唯一組非零解使 ，即證存在，使。 13如果都是階正定矩陣，證明：也是正定矩陣。 證 因為為正定矩陣，所以為正定二次型，且 ， ，因此 ，于是必為正定二次型，從而為正定矩陣。 14

10、證明：二次型是半正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等。 證 必要性。采用反證法。若正慣性指數(shù)秩，則。即 ， 若令 ，則可得非零解使。這與所給條件矛盾，故。充分性。由，知 ，故有，即證二次型半正定。 15證明：是半正定的。 證 （ ）。可見：1） 當不全相等時 。2） 當時 。故原二次型是半正定的。 16設是一實二次型，若有實維向量使 ， 。證明：必存在實維向量使。 設的秩為，作非退化線性替換將原二次型化為標準型 ，其中為1或-1。由已知，必存在兩個向量使 和 ，故標準型中的系數(shù)不可能全為1，也不可能全為-1。不妨設有個1，個-1，且，即 ，這時與存在三種可能： ， ， 下面僅討論的情形，

11、其他類似可證。 令， ， ，則由可求得非零向量使 ，即證。17是一個實矩陣，證明： 。證 由于的充分條件是與為同解方程組，故只要證明與同解即可。事實上 ，即證與同解，故 。 注 該結論的另一證法詳見本章第三部分（補充題精解）第2題的證明，此處略。一、 補充題參考解答1 用非退化線性替換化下列二次型為標準型，并用矩陣驗算所得結果：1）；2）；3）；4），其中。解 1）作非退化線性替換 ，即，則原二次型的標準形為 ，且替換矩陣 ，使 ，其中 。2）若 ， ，則 ，于是當為奇數(shù)時，作變換 ，則 ，且當時，得非退化替換矩陣為 ，當時，得非退化替換矩陣為 ，故當為奇數(shù)時，都有 。 當為偶數(shù)時，作非退化線

12、性替換 ，則 ，于是當時，得非退化替換矩陣為 ，于是當時，得非退化替換矩陣為 ，故當為偶數(shù)時，都有 。3） 由配方法可得 ，于是可令 ，則非退化的線性替換為 ，且原二次型的標準形為 ，相應的替換矩陣為 ，又因為 ，所以 。4） 令 ，則 。由于 ，則 原式 ，其中所作非退化的線性替換為 ，故非退化的替換矩陣為 。又 ，所以 。2 設實二次型 ，證明：的秩等于矩陣的秩。 證 設，因 ，下面只需證明即可。由于，故存在非退化矩陣使 或 ，從而 ，令 ，則 。由于是正定的，因此它的級順序主子式，從而的秩為。即證。3 設 。其中是的一次齊次式，證明：的正慣性指數(shù)，負慣性指數(shù)。 證 設 ，的正慣性指數(shù)為，

13、秩為，則存在非退化線性替換 ，使得 。下面證明。采用反證法。設，考慮線性方程組 ，該方程組含個方程，小于未知量的個數(shù)，故它必有非零解，于是 ，上式要成立，必有 ， ，這就是說，對于這組非零數(shù)，有 ， ，這與線性替換的系數(shù)矩陣非退化的條件矛盾。所以 。 同理可證負慣性指數(shù)，即證。4 設是一對稱矩陣，且，證明：存在使，其中表示一個級數(shù)與相同的矩陣。 證 只要令，則 ，注意到 ， ，則有 。即證。5 設是反對稱矩陣，證明：合同于矩陣 。 證 采用歸納法。當時，合同于，結論成立。下面設為非零反對稱矩陣。 當時 ，故與合同，結論成立。 假設時結論成立，今考察的情形。這時 ，如果最后一行（列）元素全為零，

14、則由歸納假設，結論已證。若不然，經過行列的同時對換，不妨設，并將最后一行和最后一列都乘以，則可化成 ，再將最后兩行兩列的其他非零元化成零，則有 ，由歸納假設知 與 合同，從而合同于矩陣 ，再對上面矩陣作行交換和列交換，便知結論對級矩陣也成立，即證。6 設是階實對稱矩陣，證明：存在一正實數(shù)，使對任一個實維向量都有 。證 因為 ，令，則 。利用可得 ，其中，即證。 7主對角線上全是1的上三角矩陣稱為特殊上三角矩陣。1）設是一對稱矩陣，為特殊上三角矩陣，而，證明：與的對應順序主子式有相同的值；2）證明：如果對稱矩陣的順序主子式全不為零，那么一定有一特殊上三角矩陣使成對角形；3）利用以上結果證明：如果

15、矩陣的順序主子式全大于零，則是正定二次型。證 1）采用歸納法。當時，設 ， ，則 ?？紤]的兩個順序主子式：的一階順序主子式為，而二階順序主子式為 ，與的各階順序主子式相同，故此時結論成立。歸納假設結論對階矩陣成立，今考察階矩陣，將寫成分塊矩陣 ， ，其中為特殊上三角矩陣。于是 。由歸納假設，的一切階的順序主子式，即的順序主子式與的順序主子式有相同的值，而的階順序主子式就是，由 ，知的階順序主子式也與的階順序主子式相等，即證。 2）設階對稱矩陣，因，同時對的第一行和第一列進行相同的第三種初等變換，可以化成對稱矩陣 ，于是由1）知，從而，再對進行類似的初等變換，使矩陣的第二行和第二列中除外其余都化

16、成零；如此繼續(xù)下去，經過若干次行列同時進行的第三種初等變換，便可以將化成對角形 。由于每進行一次行、列的第三種初等變換，相當于右乘一個上三角形陣，左乘一個下三角形陣，而上三角形陣之積仍為上三角形陣，故存在，使，命題得證。 3）由2）知，存在使 。又由1）知的所有順序主子式與的所有順序主子式有相同的值，故 ， ，所以。 ，所以 ，因是非退化線性替換，且 ，由于都大于零，故是正定的。 8。證明：1）如果是正定二次型，那么是負定二次型； 2）如果是正定矩陣，那么 ，這里是的階順序主子式； 3）如果是正定矩陣，那么 。 4）如果是階實可逆矩陣，那么 。 證 1）作變換，即 ，則 。因為是正定矩陣，所以是負定二次型。 2）為正定矩陣，故對應的階矩陣也是正定矩陣，由1）知是負定二次型。注意到 ，又因，所以 ，當時，有 ，綜上有，即證。 3）由2）得 。 4）作非退化的線性替換，則為正定二次型，所以是正定矩陣，且 ，再由