高等數學函數與極限極限

1、1.3 極限教學目的：了解數列及函數極限的概念，會用極限的分析定義證明一些簡單極限；掌握極限的性質；了解無窮大、無窮小的概念及其相互關系。教學重點：極限的概念；極限的性質；無窮大、無窮小的概念。教學難點：極限的概念；數列及函數極限的性質。教學內容：1.3.1引言例計算圓的面積。設有半徑為 r 的圓，用其內接正n邊形的面積逼近圓面積S，如圖。R從作正六邊形開始，面積記為，然后作正十二()邊形，其面積記為,再作正二十四()邊形，其面積記為，L，正邊形，其面積記為。這個過程無限進行下去，可以得到一個數列：且當n無限增大時,正多邊形無限地逼近圓，無限地接近于一個定值，這個定值定義為圓的面積S，記為。例

2、計算由拋物線，軸和直線所圍圖形（曲邊三角形）的面積。y=x2y=x2n=4n=8圖 和時的情形將區(qū)間分成個相等的小段，則每一段的長度為，分點的坐標分別為，然后過每個分點作軸的垂線，這樣曲邊三角形被分成個小窄條。每個小窄條的面積都用底寬為，高為（）的小矩形面積近似表示(圖1.3.3)。將這些小矩形的面積加起來，得到的近似值：從圖形上看，隨著的增大，越來越接近，但無論多么大，始終是的近似值。為了求的精確值，Archimedes設想讓無限地增大，面積為的多邊形越來越逼近曲邊三角形，而無限地接近于一個確定的數，這個確定的數就定義為曲邊三角形的面積。稱為趨于無窮大時的極限，記為。例3 變速直線運動的速度

3、設某質點沿直線運動，假設直線為一數軸，取定一時刻為測量時間的零點。質點時刻在直線上的位置為。這樣質點的位置完全由某一函數確定，設該函數為。我們已經知道勻速直線運動的速度經過的路程所花的時間，但對于變速直線運動的速度該公式就不再適用了。因為不同的時間間隔內會有不同的比值。那么變速直線運動速度應如何求呢？取從時刻到時刻這樣一個時間間隔段，在這段時間內質點經過的路程為，比值可以看成是時間內的平均速度。如果很小，在這段時間內，運動可以近似地看成是均勻的，因而可以用來近似代替時刻的速度。越小，近似程度越高。但不論多小，這個平均速度總是近似值，而不是精確值。為了得到精確值，令趨于0，即讓無限地接近，則無限

4、地接近時刻的速度。因此我們得到上述求的過程實質上一方面看是研究函數隨的變化過程；另一方面看是研究函數在某一點的變化率問題，這一問題的研究，導致微積分學中另一重要分支微分學的產生，這部分內容將在第二章詳細討論。1.3.2 數列的極限1 數列極限的定義定義 設是一給定數列，是一實常數。如果對于任意給定的正數 (不論它多么小)，總可以找到自然數,使得對于時的一切,不等式都成立，那么就稱常數a是數列的極限，或者稱數列收斂于,記為或如果數列沒有極限，就說數列是發(fā)散的。 “對于時的一切,不等式都成立”表示數列中從第項開始所有的項都落在中，如圖1.3.4。xa注意（）極限定義中的和有關，但并不是的函數；（）

5、不一定找最小的；（）數列收斂與否，以及收斂數列的極限是什么，與數列前有限項無關，因此改變數列前有限項，不影響數列的收斂性及收斂數列的極限。例4 證明數列的極限為1。證明記，只要取，則時，即，由定義知例5 證明()。證明，（不妨設），要使，只要，兩邊取自然對數，得，故。因此，取，則時，有，即。由定義知.2. 收斂數列的性質(1) 極限的唯一性定理1.1 收斂數列的極限必唯一.證明 用反證法. 假設數列收斂到兩個不同的值，不妨設。因，所以對于，存在自然數N1，使當 n > N1 時, 有，從而 (1.3.5)同理, 因故存在自然數N2，使當 n > N2 時, 有 ，從而(1.3.6)

6、取，則時，不等式(1.3.5)和(1.3.6)同時成立，矛盾。因此,收斂數列的極限必唯一.(2) 數列的有界性如果存在實數，使數列的所有項都滿足，則稱數列有界。定理1.2 收斂數列必有界。證明 設數列收斂到，由極限的定義，取，則當時，有即 取，對所有的都有因此，數列有界，即收斂數列必有界。注意 定理的逆命題并不成立，即有界數列不一定收斂，例如，有界，但發(fā)散。有界，但卻發(fā)散。（3）收斂數列的保序性定理1.3設數列，均收斂，若，且，則存在自然數，當時，。證明因，根據極限定義，對于，當時，有即又，對于，當時，有即取，則當時，因此，。注意定理1.3的逆命題不成立，但有下述結論：推論1若，存在自然數，當

7、時，（），則。推論2 （收斂數列的保號性）若，且（或），則存在自然數，當時，（或）。推論3若，則存在自然數，當時，。（4）收斂數列與其子列間的關系設是一嚴格單調遞增的無窮數列，則數列稱為數列的子數列，簡稱子列，顯然一個數列有無窮多個子列。在子列中，一般項是第項，而在原數列中是第項，。定理1.4 如果數列收斂于，則它的任何子列都收斂，且收斂于。證明設數列是數列的任意子數列。由于，所以，時，有取，則當時，于是，從而。根據定理1.4，若數列有兩個子列收斂到不同的值或有一個子列發(fā)散，那么原數列一定發(fā)散。例如數列：的子列收斂于1，而子列收斂于0。因此原數列發(fā)散。定理1.5 對于數列，如果，則。有時利用這

8、個定理證明一些數列極限的存在性。更一般地，若，則。1.3.3 函數極限1自變量趨于無窮大時函數的極限考察函數,當無限增大時，函數值無限地趨于0。定義 設存在，當時函數有定義，是一實常數。如果對于任意給定的正數 (不論它多么小)，總可以找到,使得對于時的一切,不等式成立，那么就稱常數是函數當趨于無窮大時的極限。記為或注意如果是無限增大或的代數值無限變小，而絕對值無限增大時函數值無限地趨于定數，記為或?？疾旌瘮档暮瘮抵惦S自變量變化的變化趨勢，見圖。從圖形上看，隨無限地增大，曲線上對應的點與直線的距離無限地變小，即隨無限增大，的值無限地趨于，因此，；隨無限地減小，但無限地增大，曲線上對應的點與直線的

9、距離無限地變小，即的值無限地趨于，因此，。但不存在。幾何意義：對于給定一個，作直線與，則總存在，在區(qū)間外，函數的圖形總介于直線與之間，圖1.3.8.圖1.3.8 例6證明。證明時，要使，只要，即，取，則當時，有，即 ，因此 。2自變量趨于有限值時函數的極限考察函數，時函數沒有定義，時，函數。從圖1.3.9看出，當無限地趨近1但總不等于1時，曲線上的點無限地趨近，即函數值無限地趨近2。我們說2是函數，當趨近于1時的極限。無限地趨近1時，函數無限趨近于2的意思是：當與1充分靠近，即當充分小時，與2可以接近到任何預先要求的程度，即可以小于預先給定的任何小正數，無論它多么小。定義設函數在內有定義，（無

10、論多么?。?，（），當時，恒有，則稱時，以為極限，記為或（）幾何意義：對于給定一個，作直線與，則總存在，當時，的圖形總介于直線與之間，圖1.3.10。例7證明(為常數，)。證明，要使，只要即可。因此，取，當，恒有，因此，。例8證明證明時，要使，只要即可。因此，取，當，恒有，因此，。定義（單側極限）設函數在內有定義，（），當時，恒有，則稱為時，的右極限，記為或（），的右極限也記為。類似地定義的左極限，記為或（），的左極限也記為。容易證明時，極限存在的充分必要條件是左極限和右極限都存在且相等。注意，當在點的左、右極限有一個不存在時，極限不存在。即使左、右極限都存在，但不相等時，也不存在。例9證明不存

11、在。證明， 左極限和右極限都存在但不相等，因此，不存在。3 函數極限的性質 函數極限的許多性質及證明都與數列極限的類似，請讀者仔細體會，統(tǒng)一掌握，并注意區(qū)別它們的不同之處。(1) 極限的唯一性定理1.6 若存在，則極限唯一.與數列極限唯一性的證明類似，請讀者自己完成.(2)局部有界性定理1.7 若存在，則，當時，有界。證明 設，由極限的定義，取，則，時，有，即 取，則，因此，時，有界。(3) 局部保序性定理1.8若，且，則，時，。證明由已知，取。因，根據極限定義，時，有即又，對于，時，有即取，則時，因此。推論1若，且，時， ，則。推論2 （局部保號性）若，且（或），則，時，（或）。推論3 若，則，時，。1.3.4無窮小與無窮大1 無窮小定義自變量的某個變化過程中，極限為0的函數稱為自變量在這一變化過程中的無窮小。例如，則是時的無窮??；，故是時的無窮小；，是時的無窮小。無窮小是自變量的某個變化過程中，極限為0的函數，0是唯一一個為常數的無窮小。由于與等價，根據無窮小的定義，給出無窮小與函數極限的關系。定理1.9在自變量的同一變化過程中，的極限為的充分必要條件是，其中是無窮小。證明由極限的定義及無窮小的定義很容易得到，請讀者自己完成。2 無窮大定義設函數在內有定義(或，時有定義)。如果（無論多么大），（）（或