無窮小與無窮大

1、1.4 無窮小與無窮大1.4.1 無窮小1無窮小量的定義定義：如果x x0 （或x ）時, 函數(shù)f (x) 的極限為零 ,那么把f (x) 叫做當(dāng)x x0（或x ）時的無窮小量，簡稱無窮小。例如：因為，所以函數(shù)x-1是x1時的無窮小。因為，所以函數(shù)是當(dāng)x1時的無窮小。因為，所以函數(shù)是當(dāng)x時的無窮小。以零為極限的數(shù)列xn，稱為當(dāng)n時的無窮小， 都是n時的無窮小。注：不能籠統(tǒng)的說某函數(shù)是無窮小，說一個函數(shù)f(x)是無窮小，必須指明自變量的變化趨向。不要把絕對值很小的常數(shù)說成是無窮小，因為這個常數(shù)在xx0（或x）時，極限仍為常數(shù)本身，并不是零。常數(shù)中只有零可以看作是無窮小，因為零在xx0（或x）時，

2、極限是零。2.無窮小的性質(zhì)在自變量的同一變化過程中，無窮小有以下性質(zhì)：有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮?。o窮多個無窮小之和不一定是無窮小）。有限個無窮小的乘積仍是無窮小。有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。（常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮?。o窮小除以具有非零極限的函數(shù)所得的商仍為無窮小。例1求解：，是有界函數(shù)， 而有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。03函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系定理：具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個無窮小之和；反之，如果函數(shù)可表示為常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是該函數(shù)的極限。4無窮小的比較例：當(dāng)x0時，x, 3x， x2, sinx, 都是無窮小。觀察各極限： x2比3x要快得多 s

3、inx 與x大致相同 sinx比x2慢的多 不存在 不可比極限不同，反映了無窮小趨于0的“速度”是多樣的。得到以下結(jié)論：設(shè)和都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小如果0，則稱是比高階的無窮小如果，則稱是比低階的無窮小如果k（k0），則稱與是同階的無窮小如果1，則稱與是等價無窮小，記為。例2比較當(dāng)x0時，無窮小與x2階數(shù)的高低。解：因為所以 x2例3當(dāng)x1時，無窮小1x與1-x3是否同階，是否等價？解：故同階但不等價。常用的等價無窮?。寒?dāng)x0時，sinx x ； arcsinx x ； tanx x ；arctanx x ； 1-cosx ，ln(1+x)x ; ex-1x ；(1+x)a1-a

4、x1.4.2無窮大1無窮大量的定義如果當(dāng)x x0 （或x ）時, 函數(shù)f (x) 的絕對值無限增大,那么函數(shù)f (x) 叫做當(dāng)x x0（或x ）時的無窮大量，簡稱無窮大。注：說一個函數(shù)是無窮大，必須指明自變量的變化趨向。如函數(shù)是當(dāng)x 0 時的無窮大，當(dāng)x 時，它就不是無窮大，而是無窮小了。不要把絕對值很大的常數(shù)說成是無窮大，因為常數(shù)在xx0(或x)時極限為常數(shù)本身，并不是無窮大。2無窮小與無窮大的關(guān)系定理：在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無窮大，則為無窮?。环粗?，若f(x)為無窮小，且f(x)0，則為無窮大。例4求解：當(dāng)x1時，分母x2-5x+40，因此不能直接使用商的極限法則，但f(x

5、)的倒數(shù)的極限由無窮大與無窮小的關(guān)系可得15函數(shù)的連續(xù)性1.5.1函數(shù)連續(xù)性的概念1函數(shù)的增量定義：在函數(shù)y=f (x)中，當(dāng)x由x0（初值）變化到x1（終值）時，終值與初值之差x1-x0叫做自變量的增量（或改變量），記為x= x1-x0.相應(yīng)的，函數(shù)終值f (x)與初值 f (x0)之差y，叫做函數(shù)的增量。注意：增量x可正、可負(fù)；增量y可正、可負(fù)或為零。2函數(shù)y=f (x) 在x0的連續(xù)性先觀察兩個函數(shù)的圖像的特點當(dāng)x0時，y0。 當(dāng)x0時，y不趨向于零。定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0及其近旁有定義，如果當(dāng)自變量x在點x0處的增量x趨近于零時，函數(shù)y=f(x)相應(yīng)的增量也趨近于零，那么就叫

6、做函數(shù)y=f(x)在點x0連續(xù)。用極限表示，就是或定義2：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0及其左右近旁有定義，如果函數(shù)y=f(x)當(dāng)x1x0時的極限存在，且等于它在x0處的函數(shù)值f(x0),即那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)必須滿足三個條件：函數(shù)f(x)在點x0及其左右近旁有定義；存在；例5 試證函數(shù)，在x0處連續(xù)。證明：函數(shù)在x0及其左右近旁有定義 f(0)=0 函數(shù)在x0處連續(xù)。3函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a，b內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即，就說函數(shù)在點b左連續(xù)。設(shè)函數(shù)在區(qū)間a，b）內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即，就說函數(shù)在點a

7、右連續(xù)。定理：函數(shù)在點x0處連續(xù)在點x0處既左連續(xù)又右連續(xù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點都連續(xù)的函數(shù)叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間(a,b)叫做函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。4復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，函數(shù)在點處連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)，即例6 求解：原式可以推出：當(dāng)時，152函數(shù)的間斷點 函數(shù)在點連續(xù)必須滿足三個條件，如果這三個條件有一個不滿足，則稱在點不連續(xù)（或間斷），并稱點為的不連續(xù)點或者間斷點。間斷點的分類：第一類間斷點：，但，或者無意義。不是第一類間斷點的其他間斷點都稱為第二類間斷點。1.5.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。注意：若區(qū)間是開區(qū)間，定理不一定成立。若區(qū)間內(nèi)有間斷點，定理不一定成立。推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界。性質(zhì)2 如果函數(shù)在上連續(xù)，且0，那么至少存在一點(a,b)，使得。對于方程0，若滿足性質(zhì)2中的條件，則方程在(a,b)內(nèi)至少存在一個實根，又稱為函數(shù)的零點。例7 證明方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個根。證明：設(shè)，在上是連續(xù)的，又因為10 20根據(jù)性質(zhì)2，至少存在一點（