河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題四與圓有關(guān)的計算訓(xùn)練

1、專題四與圓有關(guān)的計算專題類型突破34類型一與切線有關(guān)的簡單證明與計算例1工（2018 昆明）如圖，AB是。0的直徑,ED切。0于點C,AD交。0于點F, AC平分/ BAD連接BF.(1)求證：ADL ED(2)若 CD= 4, AF= 2,求。0 的半徑.D【分析】（1）連接OC先證明OC/ AD然后利用切線的性質(zhì)得OCL DE從而得到 ADL ED (2)OC交BF于CDFH；矩形得到 FH= CD, /CHF= 90°AB,從而得到。0的半徑.H,如解圖，利用圓周角定理得到/AFB= 90。，再證明四邊形用垂徑定理得到 BH= FH,在RtABF中，利用勾股定理計算出【自主解答

2、】（1）證明：連接OC如解圖,. AC 平分/ BAD1 = /2, .OA= OCZ 1 = Z 3,，/2=/3, .OC/ AD ED切。于點C, OCLDE .ADLED例1題解圖（2）解：。僅 BF于點H,如解圖,.AB為直徑,，/AFB= 90° ,易得四邊形CDFHM巨形， FHk CD= 4, / CHF= 90° , .OHL BF,.BH= FH= 4, .BF= 8,在 RtABF 中，AB= yAF+ BF = ,22+ 82 =2yfl7, .oo的半徑為qi7.針對訓(xùn)練©1. (2018 河南說明與檢測)如圖，AB為半圓O的直徑，點C為

3、半圓上任一點.(1)若/BAG= 30° ,過點 C作半圓 O的切線交直線 AB于點P.求證： PB隼AAOQ (2)若AB= 6,過點C作AB的平行線交半圓 。于點D,當以點 A O C D為頂點的四邊形為菱形時，求 BC的長.2. (2018 河南說明與檢測)如圖，在。0中，/AOB= 120° ,點C為AB的中點，延長 OC到點D,使CD=OC AB交 OC點 E.(1)求證：DA是。0的切線；(2)若OA= 6,求弦AB的長.交BC于3. (2018 河南說明與檢測)如圖， ABC中，/ACB= 90° , D為AB上一點，以CD為直徑的。0點E,連接AE

4、交CD于點P,交。0于點F, ZCA(E= / ADF.(1)判斷AB與。0的位置關(guān)系，并說明理由;(2)若 PF： PC= 1 : 2, AF= 5,求 CP的長.4. (2018 金華)如圖，在 RtABC中，點O在斜邊AB上，以。為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC AB相交于點 D, E,連接AD.已知/CA年/B.(1)求證：AD是。0的切線;八一_1(2)若 BC= 8, tan B =2,求。0 的半徑.5. (2018 玉林)如圖，在 ABC中，以 AB為直徑作。0 交BC于點D, / DAC= / B.(1)求證：AC是。0的切線；1(2)點E是AB上一點，若/ BC(E= /

5、B, tan/B= 2 00的半徑是4,求EC的長.6. (2018-天津)已知AB是。0的直徑，弦 CD與AB相交，Z BAC= 38° (I)如圖，若 D為AB勺中點，求/ ABC和/ABD的大??；(陰如圖，過點 D作。0的切線，與 AB的延長線交于點 巳 若DP/ AC求/OCD的大小.C圖圖7. (2018信陽一模)如圖，AB是。0的弦，D為半徑 OA的中點，過 D作CDL OA交弦AB于點E,交。0于點F,且CE= CB.(1)求證：BC是。0的切線；(2)連接AF, BF,求/ ABF的度數(shù).8. （2018 河南說明與檢測）如圖，AB是。0的直徑，C是ABW中點，00的

6、切線BD交AC的延長線于點 D,E是OB的中點，CE的延長線交切線 BD于點F, AF交。0于點H,連接BH.(1)求證：AC= CD(2)若OB= 2,求BH的長.類型二 與四邊形判定結(jié)合的證明與計算例之（2018 河南）如圖，AB是。0的直徑，DOLAB于點0,連接DA交。0于點C,過點C作。0的切線交D0于點E,連接BC交DO于點F.求證：CE= EF;（2）連接AF并延長，交。0于點G.填空：當/D的度數(shù)為 時，四邊形ECFG為菱形；當/D的度數(shù)為 時，四邊形EC0W正方形.例2題圖【分析】(1)連接OC如解圖，利用切線的性質(zhì)得/ 1 + 74=90° ,再利用等腰三角形的性

7、質(zhì)和互余證明Z1 = Z2,然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；(2)要證明四邊形 ECFG為菱形，可知 CEF為等邊三角形，.一/ AC由90° , Z CFE= 60° ,可 求；.四邊形 ECO更正方形，/ COG= 90° , /COF= 45° ,則/ COA= 45° ,根據(jù) ACO 是等腰三角形， 在RtAOD中，已知/ DAO則/D 可求.【自主解答】(1)證明：連接OC如解圖，,CE為切線，OCL CE，/OCE= 90° ,即/1 + /4=90° , . DOLAB, .3+Z B= 90°

8、 , /2=/3,，/2+/B= 90° ,又。氏 OC4=/B, .1 = /2, ，CE= FE;(2)解：當/ D= 30°時，四邊形 ECFG菱形，【解法提示】二四邊形ECFG菱形，.CE= CF= FG= EG由(1)知 CE= EF, .ECF是等邊三角形，/CFD= 60° , . /ACB= 90° , . /DCF= 90° , ./ D= 90° -60° =30° .當/D= 22.5°時，四邊形 ECOM正方形.【解法提示】例2題解圖四邊形ECO劭正方形,.CO= CE ./ OC

9、E= 90° , .COE是等腰直角三角形, ，/COE= 45° ,1 .DOL ARZ DOA= 90° , ，COA= /DOA /COE= 45° ,2 .OA= OC3 .Z CAB 67.5 ° , ./ D= 90° -62.5 °22.5時，四邊形ODME1菱形.針對訓(xùn)練1. (2016 河南)如圖，在 RtABC中，/ABC= 90° ,點 M是AC的中點，以 AB為直徑作。O分別交AC,BIW點 D, E.(1)求證：MD= ME (2)填空:若 AB= 6,當 AD= 2DM時,DE=連接OD

10、 OE,當/A的度數(shù)為2. (2015 河南)如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點 A B重合的一個動點，延長 BP到點C,使PC= PB D是AC的中點，連接 PR PO.求證： CDP POB (2)填空:若AB= 4,則四邊形AOPD勺最大面積為連接OD當/ PBA的度數(shù)為時時，四邊形BPDH菱形.3. (2014河南)如圖，CD是。0的直徑，且 CD= 2 cm,點P為CD的延長線上一點，過點 P作。0的切線PA, PB,切點分別為點 A, B.(1)連接AC若Z APO= 30° ,試證明 ACP是等腰三角形;(2)填空：當DP=cm時，四邊形 AOBD菱形；當DP

11、=cm時，四邊形 AOB程正方形.4. (2018 駐馬店一模)如圖，AC是。0的直徑，點 P在線段AC的延長線上，且 PC= CQ點B在。0上,且/CAB= 30° .(1)求證：PB是。0的切線；(2)若D為圓O上任一動點，00 的半徑為5 cm時，當弧CD長為 時，四邊形 ADP斯菱形；當弧CD長為 時，四邊形ADC斯矩形.5. (2018 濮陽一模)如圖，已知 ABC內(nèi)接于。O, AB是直徑，OD/ AC AD= OC.(1)求證：四邊形 OCA/平行四邊形;(2)探究：當/ B= 。時，四邊形 OCA星菱形；當/ B滿足什么條件時，AD與。0相切？請說明理由.6. (201

12、7 河南模擬)已知：如圖，在平行四邊形 ABCM, 00是經(jīng)過A、B、C三點的圓，CD與。0相切于點C,點P是BC上的一個動點(點P不與 B C點重合)，連接PA PB PC.(1)求證：CA= CB;(2)當點P滿足 時，4CP率ABC請說明理由；當/ABC的度數(shù)為 時，四邊形ABCD菱形.7. (2018 河南說明與檢測)如圖， ABC內(nèi)接于圓O,且AB= AC.延長BC到點D,使CD= CA連接AD交圓O于點E.(1)求證： AB珞 ACDE.(2)填空:當/ ABC的度數(shù)為時，四邊形 AOCE菱形;若AE=，3, AB= 2*,則DE的長為8. (2018 河南說明與檢測)如圖，半圓O

13、的直徑為AB,點M為半圓上一動點(不與點A, B重合)，點N為AM勺中點，NDLAB于點D,過點M的切線交DN的延長線于點 C.(1)若 MC/ AB,求證：AA CN;填空：四邊形 OMCD1何種特殊的四邊形？ .(2)填空：當/ ANM= 時，四邊形 ANMO菱形.9. （2018 河南說明與檢測）如圖，在 RtABC中，/ABC= 90° ,以AB為直徑的。0 與AC邊交于點 D, 過點D作。0的切線交BC于點E,連接OE.(1)求證：OE AD(2)填空：/BAC= °時，四邊形 ODEB1正方形;當/ BAC=° 時,AD= 3DE.10. (2017

14、濮陽一模)如圖，AB是。0的直徑，點P是AB下方的半圓上不與點 A, B重合的一個動點，點C為AP中點，延長 CO交。0于點D,連接AD過點D作。0的切線交PB的延長線于點 E,連CE交AB于點F,連接DF.(1)求證： DA8 AECP (2)填空:四邊形ACE虛何種特殊的四邊形?在點P運動過程中，線段 DR AP的數(shù)量關(guān)系是11 .如圖，已知。A 的半徑為4, EC是。A的直徑，點 B是。A的切線CB上的一個動點，連接 AB交。A于點D,弦EF平行于AB,連接DF, AF.?(1)試判斷直線BF與。A的位置關(guān)系，并說明理由;(2)填空：當/ CAB=時，四邊形 ADFE菱形;當EF=時，四

15、邊形 ACBFME方形.12 . (2018 河南說明與檢測)如圖，在 ABC中，AB= AC,以AB為直徑的。0交BC于點D,交AC于點E,過點D作DF!AC于點F.(1)求證：DF為。0的切線;(2)若過點A且與BC平行的直線交 BE延長線于點G,連接CG.設(shè)。0的半徑為5.當CF=時時，四邊形 ABCG菱形;當BC= 4小時，四邊形ABCG勺面積是參考答案類型一針對訓(xùn)練1 . (1)證明：: AB是。0的直徑， /AC樂90° . /BAG= 30° ,，/ABC= 60° . . OB= OC OBC是等邊三角形.OC= BC, /OBC= /BOC= 6

16、0° .，/AOC= /PBC= 120° . CP是。0 的切線，OCLCP. /OCR 90° ./ACG Z PCB.在AAOC和PBC中，2 AOC= / PBC：OC= BC, .PBCAAOC./ AOC= / PCB(2)解：如解圖，二四邊形 AOCM菱形,.OA= AA C況 OC.連接OD則OA= O&OC.1.人?？诤?coco是等邊三角形./AO及 /CO及 60° . ./ BOC= 60°劍勺長為60 71 X 318020 7t X 3如解圖，同理，Z BOG=120 ,散珀長為一言一=2% .I oU綜上可

17、知， 命的長為?；?兀.第1題解圖2. (1)證明：如解圖，連接 AC.'. C是配的中點,AC=BC第2題解圖 . Z AOB= 120 , .Z AOG=Z BOG=60 . .OA= OQ .AOC是等邊三角形.OAG=/OC上 60 , AC= OC. .CD= oq.CD= AC.1Z DAG= ZD= -Z OC左 30 .2Z DA©= Z OAG- Z DAG= 90 .OA是。0的半徑，.DA是。0的切線.(2)解：O上 oq Z AOG=Z BOG=60 , .A&BE, OAB.在 RtAOE中，AE= OA- sin 60= 6><

18、-=3擊.AB= 2AE=6*.3. (1)證明：AB與。0相切，理由如下:. /AC樂90° , /CA4 /AEC= 90° , / CAE= / ADF/ AEC= / FDC /ADR /FDC= 90° ,即/ADC= 90° . CDL AB.又CD為。0的直徑，. AB與。0相切.第3題解圖(2)解：連接FC, DE如解圖， .CD為。0 的直徑，DEC= 90° . /ACB= 90° , .DE/ AC，/CAE= Z DEA / DEA= / DCF/ CAE= / DCF 即 / CAP= / FCP /C PA

19、= / FPC .CAP- AFCPPC PA 一=一,PF PCPPF 1PAT P(T 2'53'.PA= 2PC= 4PF,1PF= -AF= 310 .C之 2PF= y.4. (1)證明：連接OD .OB= OD ./ 3=/ B,. / B= / 1,Z 1 = Z 3,在 RtACD中，/1 + /2=90° ,.,-7 4=180° -(Z2+Z3 )=90° ,第4題解圖 ODL AD OD為。0的半徑， AD為。0的切線；(2)解：設(shè)。0的半徑為r,在 RtABC中，AC= BC- tan B = 4,根據(jù)勾股定理得：AB= 4

20、2+82=4 5,.OA= 4 5-r ,1在 RtACD中，tan/1= tan B =,.CD=AC- tan / 1= 2,根據(jù)勾股定理得：aD=AC?+cD= 16+4= 20,在 RtADO中,OA=O0+Aj,即(4 福一r) 2=r2+20, 解得：r=芋.5. (1)證明：AB 是直徑，ADB= 90° ,. /B+ /BAD= 90° ,. /DAC= /B,Z DA(CF Z BAD= 90° ,，/BAC= 90° , .BAL AC .AC是。0的切線.(2)解：. / BC2 / B, .EC= EB,設(shè) EC= EB= x,A

21、C 1在 RtABC中，tan/B= AB= 8,AB 2AC= 4,在 RtAEC中， EC2=AE2+AC2,.x2=(8 -x)2 + 42,解得 x=5,.CE= 5.6.解：(I) .AB 是。0 的直徑，弦 Cg AB相交，/ BAC= 38° ,，/ACB= 90° , / ABC= 52° ,D 為AB勺中點，Z AOB= 180° , /AOD 90° , /AB氏45° .(n)連接OD如解圖，.DP切。0于點D, ODL DP 即/ODP= 90° ,由 DP/ AG 又. / BAG= 38°

22、; , P= / BAG= 38° , / AOD>A ODP的一個外角， ./AOD= / P+ Z ODP= 128° ,，/ACD= 64° ,. OG= OA /BAG= 38° ,，/OCA= /BAG= 38° ,，/OCD= /ACD- /OCA= 64° -38° =26第6題解圖7. (1)證明：連接 OB如解圖， . CE CB, / CB2 /CEB. CDL OA /DA4 /AED= 90° ,又. / CEB= / AED /DA4 Z CBE= 90° , .OA= O

23、B/ OAB= / OBA /OBAF / CBE= 90° ,即 / OBC= 90° , OBLBC .OB 是。0 的半徑， .BC是。0的切線；(2)解：連接OF,交AB于點H,如解圖，DF± OA AD= OD.FA= FO,又,。已OA .OAF為等邊三角形，/AOF= 60° ,，/AB已-Z AOR 30°8. (1)證明：連接OC如解圖,第7題解圖第8題解圖 ,C是AB勺中點，AB是。0的直徑， COL AB.BD是。0的切線， BDL AB. .OC/ BD .OA= OB，AC= CD.(2)解：£是OB的中點，

24、 .O9 BE.在 4COE 和 FBE 中，/ CEO= /FEB OE= BE,ZCOE= / FBE.COE2 FBE.CO= BF, -. 0 B=2, .BF=2, . AF=鄧百+ BF = 2鄧,. AB是直徑，BHLAF,.ABQ ABHFAB AF,=BH BF即 AB- BF= AF - BHAB- BF 4X2 4 5AF 255.BH=k=-.類型 針對訓(xùn)練1.證明：/ ABG=90 , /XM= MQ,-，BM= AM= MQ Z A= Z ABM四邊形ABE比圓內(nèi)接四邊形， .Z AD&Z AB180 ,又/AD 4/MDB180 ,同理證明：Z ME9/A

25、, /MDB/MED . M& ME.(2)解：由可知,Z A= Z MD, DE MD .DE/AR, AB MA . AD= 2DM DM： M-1 ： 3,1 1.Dg -AB=-X6= 2.3 3故答案為2.第1題解圖當/A= 60：時，四邊形 ODM層菱形.理由如下：如解圖，.四邊形 ODM屋菱形，OD= O£D陣MG . D陣 ME.DME是等邊三角形，./ ED阱60 , . DE/AB.A=/ MDB602. (1)證明：PC= PB, D是AC的中點,DP/ AR1 D之-AB, Z CP& Z PBQ1 BO= -AB,.D之 BQ在4CDP與AP

26、OB中，BO1/CP氏 / PBO, PC= PB .-.CDIAPOB(SAS).最大面(2)4【解法提示】 當四邊形 AOP/AQa上的高等于半徑時有最大面積，; AB= 4, . .OA= 2, 積為2X2= 4;第2題解圖600【解法提示】 連接OD如解圖，DP/ AR DP= BO, 四邊形BPDO1平行四邊形， 四邊形 BPDO1菱形，. PB= BO . P0= BQPB= BO= PO .PBO是等邊三角形，/ PBA的度數(shù)為60° .第3題解圖3. (1)證明：連接OA如解圖，.PA是。0 的切線，OALPA在 RtAOP中，/AOP= 90° -Z AP

27、O= 90° -30° =60° ,，/ACP= 30° , . /APO= 30° ,，/ACP= Z APO AG= AP, .ACP是等腰三角形.(2)解：DP= 1 ,理由如下： 四邊形AOB比菱形，.OA= AD- OD，/AOP= 60° , .OP= 2OA DP= OD.，DP= 1 ,DP= 21,理由如下： .四邊形 AOB沈正方形，/ AOP= 45° , . OA= PA= 1 , OP=隹.DP= OP- 1 , DP=近1.4. (1)證明：如解圖，連接 OB BC. .OA= OB，/OAB=

28、/OBA= 30° ,，/COB= /OABF /OBA= 60° ,.OB= OC .OBC是等邊三角形，BG= OQ PC= OQ .BG= CO=CP, .Z PBO=90 , OBLP B, .OB是。0 的半徑, .PB是。0的切線.第4題解圖(2)解：C而長為5飛-cm時，四邊形 ADPB是菱形.理由如下:如解圖，四邊形ADPB是菱形，Z CAB=30 , .Z COD=2ZCAD=60 ,60 - % , 5 5 %C曲長為 7TT = T- Cm.I oUJa門當弧CD的長為工巴cm時，四邊形ADC的矩形，理由如下：如解圖，當四邊形 ADC配矩形時，易知/

29、COB=120° ,沅的長為120二 , =鳥上cn18035. (1)證明： O" OG AD= oq .O/ AD,Z AOD= Z ADQ .OEy/aqZ OAG= Z AOQ / OAe / OCA / AOD= / ADQ/ AOC= / OAD .OC/ AD 四邊形OCAD1平行四邊形；(2)解：30【解法提示】二四邊形OCAD1菱形，.OG= AC,又,.OG= OA.OC= OA= AC,，/AOC= 60° ,，一 1，一 。，/B= 2/ AOC 30 ;當/ B=45°時，AD與。0相切，理由如下：.AD與。0相切，/OAD=

30、90° ,1. AD/ OC，/AOC= 90° ,，一 1，一 。，/B= 2/ AOC= 45 .6. (1)證明：連接CO并延長交AB于點E,如解圖, .CD與。0相切于點 C, CEL CD 四邊形ABC的平行四邊形， .AB/ CD CEL AB,.AE= BE,BC= AC;(2)解：當 AC= AP時，ACP/AABC.理由如下：: AC= BC AC= AP,，/ABC= /BAC /APC= Z ACP / ABC= / APC/ BAC= / ACP/ APC= Z ABC在 CPAA ABC 中，ACP= / CAB, AC= CA. .CP率 AAB

31、C圖圖第6題解圖當/ABC的度數(shù)為60°時，四邊形 ABC比菱形.理由如下: 如解圖，連接 OC OB . /ABC= 60° ,，/BCD= 120° ,.CD與。0相切于點 C, ./ OCD= 90° , ./ BCO= 30° ,.OB= OC，/OBC= 30° ,，/ABO= 30° , BO垂直平分 AC,.AB= BC, 四邊形ABC虛菱形.7. (1)證明：AB= AC, CD=CA/ ABC= / ACB AB= CD. 四邊形ABCE圓內(nèi)接四邊形， /ABO /AEC= 180° , / BA

32、曰 Z BCE= 180° . /CEDF /AEC= 180° , / ECDF Z BCE= 180° ,/ CED= / ABC / ECD= / BA E. ./ CED= Z ACB. / ACB= / AEB ./ CED= Z AEB.在ABE 和CDE中，/CED= / AEB,Z DCE= / BAE. .AB* ACDE.(2)解： 60; 5/3.8. 解：（1）連接ON如解圖.點N為AM勺中點，. AN= MN1 . OA= OM ON= ON.AO隆AMON.OAN= / OMN.CM為。0 的切線，CMOM.第8題解圖2 .Z CMN- /OMN90° ,. NDL AB /NADF /AND= 90° , ./AND= Z CMN MCI AB CDL AB MCL ND 即/ NCM= 90° .又A* NM Z ADN= 90° , . .AN國ANMC AD= CN.矩形.(2)120.9. (1)證明：連接OD.D