2013高考數(shù)學一輪復習精講精練 第09章 圓錐曲線學案 新人教A版

1、2012高中數(shù)學精講精練 第九章 圓錐曲線定義標準方程【知識圖解】橢圓幾何性質(zhì)標準方程定義幾何性質(zhì)圓錐曲線圓錐曲線應用雙曲線標準方程定義拋物線幾何性質(zhì) 【方法點撥】解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是銜接初等數(shù)學和高等數(shù)學的紐帶。而圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，因而成為高考考查的重點。研究圓錐曲線，無外乎抓住其方程和曲線兩大特征。它的方程形式具有代數(shù)的特性，而它的圖像具有典型的幾何特性，因此，它是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合。高中階段所學習和研究的圓錐曲線主要包括三類：橢圓、雙曲線和拋物線。圓錐曲線問題的基本特點是解題思路比較簡單清晰，解題方法的規(guī)律性比較強，但是運算過程往往比較復雜，對學生運算能力

2、，恒等變形能力，數(shù)形結(jié)合能力及綜合運用各種數(shù)學知識和方法的能力要求較高。1. 一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質(zhì).2.著力抓好運算關，提高運算與變形的能力，解析幾何問題一般涉及的變量多，計算量大，解決問題的思路分析出來以后，往往因為運算不過關導致半途而廢，因此要尋求合理的運算方案，探究簡化運算的基本途徑與方法，并在克服困難的過程中，增強解決復雜問題的信心，提高運算能力.3.突出主體內(nèi)容，要緊緊圍繞解析幾何的兩大任務來學習：一是根據(jù)已知條件求曲線方程，其中待定系數(shù)法是重要方法，二是通過方程研究圓錐曲線的性質(zhì)，往往通過數(shù)形結(jié)合來

3、體現(xiàn)，應引起重視.4.重視對數(shù)學思想如方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程 第1課橢圓A【考點導讀】1. 掌握橢圓的第一定義和幾何圖形,掌握橢圓的標準方程,會求橢圓的標準方程,掌握橢圓簡單的幾何性質(zhì);2. 了解運用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的思想方法；能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題.【基礎練習】1已知ABC的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是 2.橢圓的離心率為3.已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 4. 已知橢圓的離心率，則

4、的值為【范例導析】例1.（1）求經(jīng)過點，且與橢圓有共同焦點的橢圓方程。（2）已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，點P（3,0）在該橢圓上，求橢圓的方程?！痉治觥坑伤o條件求橢圓的標準方程的基本步驟是：定位,即確定橢圓的焦點在哪軸上；定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;寫出方程.解：（1）橢圓焦點在軸上，故設橢圓的標準方程為（），由橢圓的定義知，又，所以，橢圓的標準方程為。（2）方法一：若焦點在x軸上，設方程為，點P（3,0）在該橢圓上即又，橢圓的方程為.若焦點在y軸上，設方程為，點P（3,0）在該橢圓上即又，橢圓的方程為方法二：設橢圓方程為.點P

5、（3,0）在該橢圓上9A=1，即,又，橢圓的方程為或.【點撥】求橢圓標準方程通常采用待定系數(shù)法，若焦點在x軸上，設方程為，若焦點在y軸上，設方程為，有時為了運算方便，也可設為，其中.例2.點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值?！痉治觥苛蟹匠探M求得P坐標；解幾中的最值問題通?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，要注意橢圓上點坐標的范圍. 解：（1）由已知可得點A(6,0),F(0,4) 設點P(,),則=（+6, ）,=（4, ）,由已知可得 則2

6、+918=0, =或=6. 由于>0,只能=,于是=. 點P的坐標是(,) (2) 直線AP的方程是+6=0. 設點M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又66,解得=2. 橢圓上的點(,)到點M的距離有 ,由于66, 當=時,d取得最小值點撥:本題考查了二次曲線上的動點與定點的距離范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題.【反饋練習】1.如果表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（0，1）2.設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是3.橢圓=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點在

7、y軸上，那么|PF1|是|PF2|的7倍4.若橢圓的離心率,則的值為 5.橢圓的右焦點到直線的距離為6.與橢圓具有相同的離心率且過點（2，-）的橢圓的標準方程是或7.橢圓上的點到直線的最大距離是8. 已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程分析：討論橢圓方程的類型，根據(jù)題設求出和（或和）的值從而求得橢圓方程解：設兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或第2課橢圓B【考點導讀】1. 掌握橢圓的第二定義,能熟練運用兩個定義解決橢圓的有關問題;2. 能解決橢圓有關的綜合

8、性問題.【基礎練習】1.曲線與曲線的（D）A 焦點相同 B 離心率相等 C準線相同 D 焦距相等2.如果橢圓上的點A到右焦點的距離等于4,那么點A 到兩條準線的距離分別是 3 離心率，一條準線為的橢圓的標準方程是【范例導析】例1.橢圓（a>b>0）的二個焦點F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點，且。 求離心率e的取值范圍.分析:離心率與橢圓的基本量a、b、c有關，所以本題可以用基本量表示橢圓上點的坐標，再借助橢圓橢圓上點坐標的范圍建立關于基本量的不等式，從而確定離心率的范圍.解：設點M的坐標為(x，y)，則，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 又由點M

9、在橢圓上，得y2=b2，代入，得x2-c2，即。0，0，即01，01，解得1。又01，1.例2.如圖，已知某橢圓的焦點是F1(4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標.例2分析：第一問直接可有第一定義得出基本量a，從而寫出方程；第二問涉及到焦半徑問題，可以考慮利用第二定義的得出焦半徑表達式，結(jié)合等差數(shù)列的定義解決.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=1

10、0,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.設弦AC的中點為P(x0,y0),則x0=4.【反饋練習】1.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為2已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，過F1作傾斜角為的弦AB，則F2AB的面積為3.已知正方形，則以為焦點，且過兩點的橢圓的離心率為

11、4.橢圓上的點P到它的左準線的距離是10，那么點P 到它的右焦點的距離是 12 5.橢圓上不同三點，與焦點的距離成等差數(shù)列求證:；證明：由橢圓方程知，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：， 同理 ，且， ，即 第3課雙曲線【考點導讀】1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,了解其幾何性質(zhì)2. 能用雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)解決一些簡單的實際問題.【基礎練習】1.雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則2. 方程表示雙曲線，則的范圍是3已知中心在原點，焦點在y軸的雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為4. 已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于，則雙曲線的標準方程為【范例導析】例1. (1) 已知雙

12、曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標分別為，求雙曲線的標準方程;（2）求與雙曲線共漸近線且過點的雙曲線方程及離心率分析：由所給條件求雙曲線的標準方程的基本步驟是：定位,即確定雙曲線的焦點在哪軸上；定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;寫出方程.解：（1）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為；點在雙曲線上，點的坐標適合方程。將分別代入方程中，得方程組：將和看著整體，解得，即雙曲線的標準方程為。點評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。（2）解法一：雙曲線的漸近線方程為：當焦點在x軸

13、時，設所求雙曲線方程為， 在雙曲線上 由，得方程組無解當焦點在y軸時，設雙曲線方程為， 在雙曲線上， 由得，所求雙曲線方程為：且離心率解法二：設與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為：點在雙曲線上，所求雙曲線方程為：，即 點評：一般地，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程求雙曲線方程較為方便通常是根據(jù)題設中的另一條件確定參數(shù)例2. 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s

14、 :相關各點均在同一平面上)解：如圖:以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB| |PA|=340×4=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，依題意得a=680, c=1020，yxoABCP用y=x代入上式，得，|PB|>|PA|,例2答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處

15、.例3.雙曲線的焦距為2c，直線過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線的距離與點（1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍.解：直線的方程為，即 由點到直線的距離公式，且，得到點（1，0）到直線的距離，同理得到點（1，0）到直線的距離由 即 于是得 解不等式，得 由于所以的取值范圍是點撥：本小題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運算能力.【反饋練習】1.雙曲線的漸近線方程為2.已知雙曲線的離心率為，焦點是，則雙曲線方程為3.已知雙曲線的兩個焦點為，P是此雙曲線上的一點，且，則該雙曲線的方程是4. 設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線

16、左右焦點，若=3,則=75.與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程6. （1）求中心在原點，對稱軸為坐標軸經(jīng)過點且離心率為的雙曲線標準方程（2）求以曲線和的交點與原點的連線為漸近線，且實軸長為12的雙曲線的標準方程解：（1）設所求雙曲線方程為：，則，所求雙曲線方程為（2），或，漸近線方程為當焦點在軸上時，由且，得所求雙曲線方程為當焦點在軸上時，由，且，得所求雙曲線方程為7.設雙曲線的半焦距為，直線過、兩點，且原點到直線的距離為，求雙曲線的離心率分析：由兩點式得直線的方程，再由雙曲線中、的關系及原點到直線的距離建立等式，從而解出的值解：由過兩點，得的方程為由點到的距離為，得將代入，平方后整理，得令，則

17、解得或而，有故或因，故，所以應舍去故所求離心率說明：此題易得出錯誤答案：或其原因是未注意到題設條件，從而離心率而，故應舍去8.已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點（1）求雙曲線方程；（2）若點在雙曲線上，求證：；（3）對于（2）中的點，求的面積解：（1）由題意，可設雙曲線方程為，又雙曲線過點，解得 雙曲線方程為； （2）由（1）可知， ， ， ，又點在雙曲線上， ， ， 即； （3） 的面積為6 第4課拋物線【考點導讀】1.了解拋物線的定義,掌握拋物線標準方程的四種形式和拋物線的簡單幾何性質(zhì).2.會用拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)解決簡單的實際問題.【基礎練習】1.焦點在直線x

18、2y4=0上的拋物線的標準方程是2.若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為 3.拋物線的焦點坐標是_(a,0)_4.拋物線上與焦點的距離等于9的點的坐標是5點是拋物線上一動點，則點到點的距離與到直線的距離和的最小值【范例導析】例1. 給定拋物線y2=2x，設A（a，0），a0，P是拋物線上的一點，且PA=d，試求d的最小值解：設P（x0，y0）（x00），則y02=2x0，d=PA=a0，x00，（1）當0a1時，1a0，此時有x0=0時，dmin=a（2）當a1時，1a0，此時有x0=a1時，dmin=例2.如圖所示，直線和相交于點M，點，以A、B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點

19、N的距離相等，若AMN為銳角三角形，且，建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線段C的方程分析：因為曲線段C上的任一點是以點N為焦點，以為準線的拋物線的一段，所以本題關鍵是建立適當坐標系，確定C所滿足的拋物線方程例2解：以為x軸，MN的中點為坐標原點O，建立直角坐標系由題意，曲線段C是N為焦點，以為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩端點設曲線段C滿足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標令則，由兩點間的距離公式，得方程組： 解得或AMN為銳角三角形，則，又B在曲線段C上，則曲線段C的方程為【反饋練習】1.拋物線的準線方程是2.拋物線的焦點到其準線的距離是3.設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A為拋

20、物線上的一點，若，則點A的坐標為4.拋物線上的點到直線距離的最小值是5.若直線l過拋物線(a>0)的焦點，并且與y軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為4，則a= 6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(10，4）、(10，4）設拋物線方程為x2=2py,將A點坐標代入，得100=2p×(4),解得p=12.5,于是拋物線方程為x2=25y.第6題由題意知E點坐標為(2，4)，E點橫坐標也為2，將2代入得y=0.16,從

21、而|EE|=(0.16)(4)=3.84.故最長支柱長應為3.84米.7.已知拋物線的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸，且過點P（2,2），過F的直線交拋物線于A，B兩點.（1）求拋物線的方程；（2）設直線l是拋物線的準線，求證：以AB為直徑的圓與直線l相切分析：可設拋物線方程為用待定系數(shù)法求得方程，對于第二問的證明只須證明，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準線相切.解：（1）設拋物線的方程，將（2，2）代入得所求拋物線方程為（2）證明：作于于M為AB中點，作于，則由拋物線的定義可知：在直角梯形中：，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準線相切點撥：類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離，

22、以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交 第5課圓錐曲線的統(tǒng)一定義【考點導讀】1. 了解圓錐曲線的第二定義.2. 能用第二定義解決簡單的圓錐曲線問題.【基礎練習】1.拋物線的焦點的坐標是, 準線方程是2.如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是2 3.若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則= 4.點M與點F的距離比它到直線:的距離小1,則點的軌跡方程是【范例導析】例1.已知雙曲線的漸近線方程為，兩條準線間的距離為，求雙曲線標準方程分析：（可根據(jù)雙曲線方程與漸近線方程的關系，設出雙曲線方程，進而求出雙曲線標準方程解：雙曲線漸近線方程為，設雙曲線方程為若

23、，則，準線方程為：，若，則，準線方程為：，所求雙曲線方程為：或點撥：求圓錐曲線方程時，一般先由條件設出所求方程，然后再根據(jù)條件列出基本的方程組解方程組得出結(jié)果.例2.已知點，在雙曲線上求一點，使的值最小解：，設點到與焦點相應準線的距離為則，至此，將問題轉(zhuǎn)化成在雙曲線上求一點，使到定點的距離與到準線距離和最小即到定點的距離與準線距離和最小為直線垂直于準線時，解之得，點點撥：靈活巧妙地運用雙曲線的比值定義于解題中，將會帶給我們意想不到的方便和簡單教學中應著重培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力【反饋練習】1.若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則2.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到

24、相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為 3.已知雙曲線的一條準線為，則該雙曲線的離心率為4雙曲線右支點上的一點P到右焦點的距離為2，則P點到左準線的距離為 8 第6課圓錐曲線綜合【考點導讀】1. 在理解和掌握圓錐曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)的基礎上,把握有關圓錐曲線的知識內(nèi)在聯(lián)系,靈活地運用解析幾何的常用方法解決問題.2. 通過問題的解決,理解函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想.3. 能夠抓住實際問題的本質(zhì)建立圓錐曲線的數(shù)學模型,實現(xiàn)實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化,并運用圓錐曲線知識解決實際問題.【基礎練習】1. 給出下列四個結(jié)論：當a為任意實數(shù)時，直線恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是；已知雙曲線的右焦點為（5，0），一條漸近線方程為，則雙曲線的標準方程是；拋物線；已知雙曲線，其離心率，則m的取值范圍是（12，0）。其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是42.設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為3.如果橢圓的弦被點(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是【范例導析】例1. 已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。（I）證明為定值；（II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。解：（1）F點的