立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法

1、立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法證明空間線(xiàn)面垂直需注意以下幾點(diǎn):由已知想性質(zhì),由求證想判定,即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中,利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(xiàn)(或面是解題的常用方法之一。明確何時(shí)應(yīng)用判定定理,何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理,用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。垂直轉(zhuǎn)化:線(xiàn)線(xiàn)垂直 線(xiàn)面垂直 面面垂直;基礎(chǔ)篇類(lèi)型一:線(xiàn)線(xiàn)垂直證明(共面垂直、異面垂直(1 共面垂直:實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)的垂直 (只需要同學(xué)們掌握以下幾種模型 1 等腰(等邊三角形中的中線(xiàn)2 菱形(正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直 3勾股定理中的三角形 4 1:1:2 的直角梯形中 5 利用相似或全等證明直角

2、。例:在正方體1111ABCD A BC D -中,O 為底面ABCD 的中心,E 為1CC ,求證:1AO OE (2 異面垂直 (利用線(xiàn)面垂直來(lái)證明,高考中的意圖 例1 在正四面體ABCD 中,求證AC BD 變式 1 如圖,在四棱錐ABCD P -中,底面A B C D 是矩形,已知 60,22,2,2,3=PAB PD PA AD AB .證明:AD PB ;變式2 如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD 中,點(diǎn)E 是AB 的中點(diǎn),點(diǎn)F 是BC 的中點(diǎn),將AED,DCF 分別沿,DE DF 折起,使,A C 兩點(diǎn)重合于A . 求證:A D EF ; 變式3如圖,在三棱錐P ABC -中,PA

3、B 是等邊三角形,P AC =PBC =90 證明:AB PC類(lèi)型二:線(xiàn)面垂直證明方法1 利用線(xiàn)面垂直的判斷定理例2:在正方體1111ABCD A BC D -中,O 為底面ABCD 的中心,E 為1CC ,求證:1AO BDE 平面變式1:在正方體1111ABCD A BC D -中,求證:11AC BDC 平面 變式2:如圖:直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AC =BC =AA 1=2,ACB =90.E 為BB 1 的中點(diǎn),D 點(diǎn)在AB 上且DE = 3 . 求證:CD 平面A 1ABB 1;BE ADFG 變式3:如圖,在四面體ABCD 中,O 、E 分別是BD 、BC 的中

4、點(diǎn),變式4 如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中,AD BC ,90ABC =,PA 平面ABCD .3PA =,2AD =,AB =,6BC =C類(lèi)型3:面面垂直的證明。(本質(zhì)上是證明線(xiàn)面垂直 例2 如圖,在四棱錐P A B C -中,PA 底面A B C D ,60AB AD AC CD ABC =,PA AB BC =,E 是PC 的中點(diǎn).(1證明CD AE ; (2證明PD 平面ABE ; 變式1已知直四棱柱ABCD A B C D 的底面是菱形,=60ABC ,E 、F 分別是棱CC 與BB 上的點(diǎn),且EC=BC =2FB =2. (1求證:平面AEF 平面AA C C ;EACDPE舉

5、一反三1.設(shè)M 表示平面,a 、b 表示直線(xiàn),給出下列四個(gè)命題:M b M a b a / b a M b M a / b a M a b M b a M a /b M . 其中正確的命題是 ( A.B.C.D. 2.下列命題中正確的是 ( A.若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn),則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面B.若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn),則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面C.若一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面,則垂直于這個(gè)平面的直線(xiàn)必定垂直于這條直線(xiàn)D.若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面,則垂直于這條直線(xiàn)的另一條直線(xiàn)必垂直于這個(gè)平面 3.如圖所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分別是AB 、BC 的中點(diǎn).現(xiàn)在

6、沿DE 、DF 及EF 把ADE 、CDF 和BEF 折起,使A 、B 、C 三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P .那么,在四面體P DEF 中,必有 ( A.DP 平面PEFB.DM 平面PEFC.PM 平面DEFD.PF 平面DEF 4.設(shè)a 、b 是異面直線(xiàn),下列命題正確的是 ( A.過(guò)不在a 、b 上的一點(diǎn)P 一定可以作一條直線(xiàn)和a 、b 都相交B.過(guò)不在a 、b 上的一點(diǎn)P 一定可以作一個(gè)平面和a 、b 都垂直C.過(guò)a 一定可以作一個(gè)平面與b 垂直D.過(guò)a 一定可以作一個(gè)平面與b 平行5.如果直線(xiàn)l ,m 與平面,滿(mǎn)足:l =,l ,m 和m ,那么必有 ( A.且l m B.且m C.m

7、且l m D.且6.AB 是圓的直徑,C 是圓周上一點(diǎn),PC 垂直于圓所在平面,若BC =1,AC =2,PC =1,則P 到AB 的距離為 ( A.1B.2C.552 D.553 7.有三個(gè)命題:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行;過(guò)平面的一條斜線(xiàn)l 有且僅有一個(gè)平面與垂直;異面直線(xiàn)a 、b 不垂直,那么過(guò)a 的任一個(gè)平面與b 都不垂直 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( A.0B.1C.2D.38.d 是異面直線(xiàn)a 、b 的公垂線(xiàn),平面、滿(mǎn)足a ,b ,則下面正確的結(jié)論是 ( A.與必相交且交線(xiàn)m d 或m 與d 重合B.與必相交且交線(xiàn)m d 但m 與d 不重合C.與必相交且交線(xiàn)m 與d 一定不平行D.

8、與不一定相交9.設(shè)l 、m 為直線(xiàn),為平面,且l ,給出下列命題 若m ,則m l ;若m l ,則m ;若m ,則m l ;若m l ,則m , 其中真命題.的序號(hào)是 ( 第3題圖A.B.C.D. 10.已知直線(xiàn)l 平面,直線(xiàn)m 平面,給出下列四個(gè)命題:若,則l m ;若,則l m ;若l m ,則;若l m ,則.其中正確的命題是 ( A.與B.與C.與D.與二、思維激活11.如圖所示,ABC 是直角三角形,AB 是斜邊,三個(gè)頂點(diǎn)在平面的同側(cè),它們?cè)趦?nèi)的射影分別為A ,B ,C ,如果A B C 是正三角形,且AA =3cm ,BB =5cm ,CC =4cm ,則A B C的面積是 .1

9、2.如圖所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD 滿(mǎn)足條件 時(shí),有A 1C B 1D 1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形13.如圖所示,在三棱錐V ABC 中,當(dāng)三條側(cè)棱VA 、VB 、VC 之間滿(mǎn)足條件 時(shí),有VC AB .(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可三、能力提高14.如圖所示,三棱錐V -ABC 中,AH 側(cè)面VBC ,且H 是VBC 的垂心,BE 是VC 邊上的高.(1求證:VC AB ;(2若二面角E AB C 的大小為30,求VC 與平面ABC 所成角的大小.15.如圖所示,P A 矩形ABCD 所在平面,M 、N 分

10、別是AB 、PC 的中點(diǎn). (1求證:MN 平面P AD . (2求證:MN CD .(3若PDA =45,求證:MN 平面PCD .第11題圖第12題圖第13題圖第14題圖 第15題圖16.如圖所示,在四棱錐P ABCD 中,底面ABCD 是平行四邊形,BAD =60,AB =4,AD =2,側(cè)棱PB =15,PD =3.(1求證:BD 平面P AD . (2若PD 與底面ABCD 成60的角,試求二面角P BC A 的大小.17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,ACB =90,BAC =30,BC =1,AA 1=6,M 是CC 1的中點(diǎn),求證:AB 1A 1M .18.如圖所

11、示,正方體ABCD A B C D 的棱長(zhǎng)為a ,M 是AD 的中點(diǎn),N 是BD 上一點(diǎn),且D N NB =12,MC 與BD 交于P .(1求證:NP 平面ABCD . (2求平面PNC 與平面CC D D 所成的角. (3求點(diǎn)C 到平面D MB 的距離.第16題圖第18題圖第4課 線(xiàn)面垂直習(xí)題解答1.A 兩平行中有一條與平面垂直,則另一條也與該平面垂直,垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行.2.C 由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知.3.A 折后DP PE ,DP PF ,PE PF .4.D 過(guò)a 上任一點(diǎn)作直線(xiàn)b b ,則a ,b 確定的平面與直線(xiàn)b 平行.5.A ,m 且m ,則必有,又因?yàn)閘 =則有l(wèi)

12、 ,而m 則l m ,故選A.6.DP 作PD AB 于D ,連CD ,則CD AB ,AB =522=+BC AC ,52=AB BC AC CD , PD =55354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確.8.A 顯然與不平行.9.D 垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行,兩條平行線(xiàn)中一條與平面垂直,則另一條也與該平面垂直.10.B ,l ,l m11.23cm 2 設(shè)正三角A B C 的邊長(zhǎng)為a . AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB 2=a 2+4, 又AC 2+BC 2=AB 2,a 2=2.S A B C =23432=a cm 2. 12.在直四

13、棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD 滿(mǎn)足條件AC BD (或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其它條件,例如ABCD 是正方形,菱形等時(shí),有A 1C B 1D 1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形.點(diǎn)評(píng):本題為探索性題目,由此題開(kāi)辟了填空題有探索性題的新題型,此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線(xiàn)定理但答案不惟一,要求思維應(yīng)靈活.13.VC VA ,VC AB . 由VC VA ,VC AB 知VC 平面VAB . 14.(1證明:H 為VBC 的垂心, VC BE ,又AH 平面VBC ,BE 為斜線(xiàn)AB 在平面VBC 上的射影,AB VC . (2解:由(1知VC AB

14、 ,VC BE ,VC 平面ABE ,在平面ABE 上,作ED AB ,又AB VC , AB 面DEC .AB CD ,EDC 為二面角E AB C 的平面角, EDC =30,AB 平面VCD ,VC 在底面ABC 上的射影為CD .VCD 為VC 與底面ABC 所成角,又VC AB ,VC BE , VC 面ABE ,VC DE ,CED =90,故ECD=60,VC 與面ABC 所成角為60.15.證明:(1如圖所示,取PD 的中點(diǎn)E ,連結(jié)AE ,EN , 則有EN CD AB AM ,EN =21CD =21AB =AM ,故AMNE 為平行四邊形. MN AE . AE 平面P

15、AD ,MN 平面P AD ,MN 平面P AD . (2P A 平面ABCD , P A AB .又AD AB ,AB 平面P AD . AB AE ,即AB MN . 又CD AB ,MN CD .(3P A 平面ABCD ,P A AD . 又PDA =45,E 為PD 的中點(diǎn).AE PD ,即MN PD .又MN CD , MN 平面PCD .16.如圖(1證:由已知AB =4,AD =2,BAD =60, 故BD 2=AD 2+AB 2-2AD AB cos60=4+16-22421=12. 又AB 2=AD 2+BD 2, ABD 是直角三角形,ADB =90,即AD BD .在P

16、DB 中,PD =3,PB =15,BD =12, PB 2=PD 2+BD 2,故得PD BD .又PD AD =D , BD 平面P AD .(2由BD 平面P AD ,BD 平面ABCD . 平面P AD 平面ABCD .作PE AD 于E , 又PE 平面P AD ,PE 平面ABCD ,PDE 是PD 與底面ABCD 所成的角. PDE =60,PE =PD sin60=23233=. 作EF BC 于F ,連PF ,則PF BF , PFE 是二面角P BC A 的平面角. 又EF =BD =12,在Rt PEF 中,tan PFE =433223=EF PE . 故二面角P BC

17、 A 的大小為arctan43.第15題圖解第16題圖解17.連結(jié)AC 1,11112263A C CC MC AC=. Rt ACC 1Rt MC 1A 1, AC 1C =MA 1C 1,A 1MC 1+AC 1C =A 1MC 1+MA 1C 1=90. A 1M AC 1,又ABC -A 1B 1C 1為直三棱柱,CC 1B 1C 1,又B 1C 1A 1C 1,B 1C 1平面AC 1M . 由三垂線(xiàn)定理知AB 1A 1M .點(diǎn)評(píng):要證AB 1A 1M ,因B 1C 1平面AC 1,由三垂線(xiàn)定理可轉(zhuǎn)化成證AC 1A 1M ,而AC 1A 1M 一定會(huì)成立.18.(1證明:在正方形AB

18、CD 中, MPD CPB ,且MD =21BC , DP PB =MD BC =12. 又已知D N NB =12,由平行截割定理的逆定理得NP DD ,又DD 平面ABCD , NP 平面ABCD .(2NP DD CC ,NP 、CC 在同一平面內(nèi),CC 為平面NPC 與平面CC D D 所成二面角的棱. 又由CC 平面ABCD ,得CC CD ,CC CM , MCD 為該二面角的平面角. 在Rt MCD 中可知 MCD =arctan21,即為所求二面角的大小. (3由已知棱長(zhǎng)為a 可得,等腰MBC 面積S 1=22a ,等腰MBD 面積S 2=246a ,設(shè)所求距離為h ,即為三棱

19、錐C D MB 的高.三棱錐D BCM 體積為h S D D S 213131=, .3621a S a S h =空間中的計(jì)算 基礎(chǔ)技能篇 類(lèi)型一：點(diǎn)到面的距離 方法 1：直接法把點(diǎn)在面上的射影查出來(lái)，然后在直角三角形中計(jì)算 例 1：在正四面體 ABCD 中，邊長(zhǎng)為 a，求點(diǎn) A 到面 BCD 的距離。 變式 1 在正四棱錐 V-ABCD 中，底面 ABCD 邊長(zhǎng)為 a,側(cè)棱長(zhǎng)為 b.求頂點(diǎn) V 到 底面 ABCD 的距離。 變式 2 在正四棱錐 V-ABCD 中，底面 ABCD 邊長(zhǎng)為 a,側(cè)棱長(zhǎng)為 b.求頂點(diǎn) A 到底 面 VCD 的距離。 方法 2：等體積法求距離-在同一個(gè)三棱錐中利用

20、體積不變?cè)恚ㄟ^(guò)轉(zhuǎn)換不同 的底和高來(lái)達(dá)到目的。 例2 已知在三棱錐 VABC 中，VA,VB,VC 兩兩垂直，VA=VB=3，VC=4，求 點(diǎn) V 到面 ABC 的距離。 變式 1：如圖所示的多面體是由底面為 ABCD 的長(zhǎng)方體被截面 AEC1F 所截而得到的，其 中 AB = 4, BC = 2, CC1 = 3, BE = 1 （1）求 BF 的長(zhǎng)； （2）求點(diǎn) C 到平面 AEC1F 的距離 變式 2 如圖，在四棱錐 O - ABCD 中，底面 ABCD 是四邊長(zhǎng)為 1 的菱形， ABC = p 4 O _ , OA 面 ABCD , OA = 2 ,求點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離

21、A _ B _ C _ D _ 變式 3 在正四面體 ABCD 中，邊長(zhǎng)為 a，求它的內(nèi)切求的半徑。 類(lèi)型二：其它種類(lèi)的距離的計(jì)算（點(diǎn)到線(xiàn)，點(diǎn)到點(diǎn) ） ABC = 例 3 如圖， 在四棱錐 O - ABCD 中， 底面 ABCD 是四邊長(zhǎng)為 1 的菱形， 面 ABCD , OA = 2 ,M 為 OC 的中點(diǎn)，求 AM 和點(diǎn) A 到直線(xiàn) OC 的距離 p 4 , OA O _ A _ B _ C _ D _ 舉一反三 1正三棱錐 P-ABC 高為 2，側(cè)棱與底面所成角為 45 ，則點(diǎn) A 到側(cè)面 PBC 的距離是 A 4 5 B 6 5 C6 D 4 6 2如圖，已知正三棱柱 ABC - A1

22、B1C1 的底面邊長(zhǎng)為 1，高為 8，一質(zhì)點(diǎn)自 A 點(diǎn) 出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周 到達(dá) A1 點(diǎn)的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為 A10 二、填空題： 3太陽(yáng)光照射高為 3 m 的竹竿時(shí)，它在水平地面上的射影 為 1m，同時(shí)，照射地面上一圓球時(shí)，如圖所示，其影子 的長(zhǎng)度 AB 等于 3 3 cm,則該球的體積為_(kāi) 4若一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)正三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為_(kāi) 2 主視圖 2 3 B20 C30 D40 左視圖 俯視圖 三、解答題： 5已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為 1，M 是底面 BC 邊上的中點(diǎn)，N 是側(cè)棱 CC1 上的點(diǎn)，且 CN2C1N求點(diǎn) B1 到平面 AMN 的距離 6一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示： （其中 M、N 分別是 AF、BC 的中點(diǎn)）. （1）求證：MN 平面 C