空間向量在立體幾何中初步應(yīng)用

1、空間向量在立體幾何中初步應(yīng)用大境中學(xué) 趙玉梅一、 向量產(chǎn)生的歷史背景綜述早在二千多年前，古希臘著名科學(xué)家亞里士多德在他的力學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)，作用在物體同一點(diǎn)上的兩個(gè)力，其結(jié)果不是兩個(gè)力大小直接相加，而是遵循著“平行四邊形法則”。所以向量的概念萌芽于二千多年前，亞里士多德是運(yùn)用向量知識(shí)的先行者。但是德國(guó)學(xué)者施提文（15481620）在他的靜力學(xué)研究中應(yīng)用了這個(gè)法則，意大利著名科學(xué)家伽利略（15641642）清楚地?cái)⑹隽诉@個(gè)法則，我們習(xí)慣上把這個(gè)法則稱為阿基米德的“平行四邊形法則”。在向量理論體系的建立過(guò)程中，幾位數(shù)學(xué)、物理學(xué)家不懈努力的軼事。 （1）復(fù)數(shù)的幾何表示（或幾何解釋）1545年意大利的數(shù)學(xué)

2、家卡當(dāng)在他的著作大術(shù)首次提出，這樣的數(shù)，用現(xiàn)代的寫(xiě)法就是。1797年挪威數(shù)學(xué)家維塞爾（17451818）提出了對(duì)復(fù)數(shù)的一個(gè)幾何解說(shuō)。這方面的工作除了維塞爾外，還有瑞士的阿工（1808年提出）和著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（1831年提出復(fù)平面），所以復(fù)數(shù)的幾何表示的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)史上是一件不朽的大事，它使虛幻的數(shù)有了著落，有了實(shí)際的模型；平面向量和復(fù)數(shù)成一一對(duì)應(yīng)，向量可以借助復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減、乘運(yùn)算，而且這些運(yùn)算都具有清晰的幾何意義（如加法符合平行四邊形法則，乘法相當(dāng)于向量作旋轉(zhuǎn)及伸縮長(zhǎng)度的幾何變換），這對(duì)建立平面向量理論提供了一個(gè)個(gè)理想的模式。（2）哈密頓的復(fù)數(shù)規(guī)范化與尋找“三維復(fù)數(shù)”的工作。英國(guó)著名數(shù)學(xué)

3、家、物理學(xué)家哈密頓（18051865）進(jìn)一步對(duì)復(fù)數(shù)規(guī)范化，他把直接寫(xiě)成，而且定義了它們的四則運(yùn)算：加、減法：；乘 法：；除 法：。哈密頓尋找“三維復(fù)數(shù)”沒(méi)有成功，但是著名的數(shù)學(xué)、物理學(xué)家麥克斯韋（18311870）他將四元數(shù)中的數(shù)量部分與向量部分分開(kāi)來(lái)作為各自的實(shí)體處理，他把四元數(shù)的向量部分獨(dú)立出來(lái)發(fā)展成為更符合物理需要的更簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)工具，這就是3維向量。（3）3維向量分析的產(chǎn)生。麥克斯韋把向量作為實(shí)體從哈密頓的四元數(shù)中分離出來(lái)時(shí)，還是把向量看作四元數(shù)的向量部分來(lái)敘述的。真正對(duì)向量作為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支進(jìn)行研究，是由美國(guó)的吉布斯（18391903）和英國(guó)人亥維賽（18501925）分別進(jìn)行的，

4、他們的思路基本是一致的，即把向量（），建立了現(xiàn)在的向量的線性運(yùn)算，以及向量的內(nèi)積、外積等理論體系。由此可見(jiàn)，向量理論體系在十九世紀(jì)前后建立。（4）由3維向量到維向量.德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉斯曼（1809-1877），他認(rèn)為既然3個(gè)有序數(shù)組可以表示一個(gè)向量，那4個(gè)有序數(shù)組呢？個(gè)有序數(shù)組呢？于是他大膽地提出維向量的概念，并模仿空間向量，建立起相關(guān)理論，所以向量從3維到維的推廣是一種思維上的類比推廣。當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的社會(huì)里，維向量在商品交易中也有廣泛的應(yīng)用。如某超市經(jīng)營(yíng)1000種商品，可按某一種順序編號(hào)，然后把這1000種商品的單價(jià)排列起來(lái)，構(gòu)成1000維向量，然后把顧客購(gòu)買的商品數(shù)量也按此順序排列起來(lái)（未購(gòu)

5、的一律記為零），則顧客向超市付款額就是兩者的數(shù)量積。只要把相應(yīng)的運(yùn)算程序制成電腦軟件，通過(guò)運(yùn)行軟件，超市運(yùn)作有了今天的快捷。再如某航空公司要招聘一批人員，對(duì)體格提出10項(xiàng)數(shù)字要求，這10個(gè)數(shù)字按一定順序排好，就是一個(gè)10維向量，然后要求每個(gè)應(yīng)聘人員去體檢，把十項(xiàng)結(jié)果也按同樣的順序排列起來(lái)，也組成一個(gè)10維向量，兩個(gè)向量差的模越小，說(shuō)明應(yīng)聘者越接近公司的要求。二、 向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)向量及其基本概念向量的坐標(biāo)表示基本定理向量的物理背景向量的線性運(yùn)算向量的應(yīng)用向 量向量的內(nèi)積、外積、混合積三、 向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材的歷史進(jìn)程“在我國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，80年代教育部中學(xué)實(shí)驗(yàn)教材開(kāi)始在中學(xué)教材中引入

6、向量，1992年上海編寫(xiě)的一期教材（陳昌平教授）、是比較早地寫(xiě)入向量知識(shí)的，以向量為工具解決立體幾何的方法，成為解決計(jì)算題和證明題的通性通法，大大降低了解題的技巧性，深受廣大師生和學(xué)生的認(rèn)可和歡迎?！?當(dāng)時(shí)的“一期教材”初步嘗試應(yīng)用向量的內(nèi)積，求異面直線所成角的大小等，由于啟用了一種新的處理方式，而且思路簡(jiǎn)潔、有效能算，所以學(xué)生對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)，充滿信心、心情愉悅，不再為“巧添輔助線”而愁眉苦臉。前蘇聯(lián)的學(xué)生，由于他們較早的學(xué)習(xí)向量知識(shí)，掌握了運(yùn)用向量處理幾何問(wèn)題的要領(lǐng)，于是在國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何題目的解答中，他們屢屢得手。命題專家們?yōu)榱颂岣吒?jìng)賽的公平性而煞費(fèi)苦心，但是當(dāng)他們面對(duì)應(yīng)用向量解

7、決幾何問(wèn)題已是游刃有余的前蘇聯(lián)學(xué)生時(shí)，只能感嘆：“防不勝防。”如今的“二期教材”在“一期教材”的基礎(chǔ)上，又邁出了可喜的一步，教材又引進(jìn)了平面的法向量，這樣立體幾何中所有的距離和角的問(wèn)題，都能通過(guò)向量計(jì)算得出。正如吳文俊先生所說(shuō)：“為了使中學(xué)幾何騰飛，必須采取數(shù)量化的方法，也就是要及早地引入坐標(biāo)，使幾何解析化，使幾何可以計(jì)算”。吳文俊先生的觀點(diǎn)是很有見(jiàn)解的、非常深刻的，是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的高度指出了幾何教改的一種方向，“二期教材”立體幾何教材設(shè)計(jì)正是體現(xiàn)了這樣的指導(dǎo)思想。四、 向量處理幾何問(wèn)題的理論分析以往的立體幾何問(wèn)題常常是給出一定的幾何條件，通過(guò)邏輯推理、演繹論證得出需要證明的幾何結(jié)論；現(xiàn)在應(yīng)

8、用向量處理立體幾何問(wèn)題，常把一定的幾何條件通過(guò)基向量，轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系式，再運(yùn)用向量的基本運(yùn)算即加法、減法、數(shù)乘、內(nèi)積、外積等，轉(zhuǎn)化為新的向量關(guān)系式，從而使得要求的幾何結(jié)論得以解決，具體處理的過(guò)程見(jiàn)下圖：五、 初步運(yùn)用空間向量（正交基向量）處理立體幾何問(wèn)題的實(shí)例分析（一）度量空間的距離.求空間的距離，綜合法處理的常用方法有：直接法：作高構(gòu)造三角形； 間接法：等體積性。平面的法向量的求法:待定系數(shù)法和共面向量法。1、 運(yùn)用平面的法向量，求點(diǎn)到平面的距離例題 如圖，直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為上的點(diǎn)，且平面，求點(diǎn)到平面的距離。解：容易知道，平面，知，中，為中點(diǎn)，故，以為原點(diǎn)，射線、分別為

9、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則，軸，故，點(diǎn)到平面的距離.例題 在三棱錐中，三角形是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，、分別是、的中點(diǎn)，求點(diǎn)平面的距離。解 運(yùn)用法向量求解的方法1. 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，得，所以到平面的距離。運(yùn)用法向量求解的方法2. 設(shè)平面，垂足為，因?yàn)椤⑺狞c(diǎn)共面，由共面定理，可設(shè)。由，所以點(diǎn)到平面的距離為。2、 運(yùn)用平面的法向量，求異面直線間的距離。例題 已知長(zhǎng)方體中，求異面直線與間的距離。解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)且，則 ，令，則，設(shè)向量在向量上的射影長(zhǎng)為，則異面直線與間的距離，

10、則.，異面直線與間的距離為。（二）度量空間的角1、直線與直線所成的角。求直線與直線所成的角，運(yùn)用空間向量方法處理與綜合論證法處理的對(duì)比說(shuō)明。結(jié)論:各有千秋，各取所長(zhǎng)。例題 在棱長(zhǎng)為4的正方體中，是正方形的中心，點(diǎn)在平面上的射影為，點(diǎn)在上，且，求證：。分析：要證明，只需證明即可。證明：令,，則（另解：綜合論證法。，由（證明完畢）2、運(yùn)用平面的法向量計(jì)算直線與平面所成的角。例題 如圖，在四棱柱中，底面是正方形，側(cè)棱底面，是的中點(diǎn)，求直線與底面所成的角的大小。解：令底面是正方形的邊長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，所以，易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與底面所成的角的大小為,異面直

11、線與所成的角的大小為，則，所以直線與底面所成的角的大小為。例題 如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是線段的中點(diǎn)，求證：平面證明：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，得，設(shè)直線與平面所成的角的大小為，則即與平面所成的角為0，且直線不在平面內(nèi)，所以平面。3、運(yùn)用平面的法向量，求解平面與平面所成的二面角。二面角的大小為二面角的大小為例題 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是正方形的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，且，求平面與平面所成銳角的大小。解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，則是平面的一個(gè)法向量。設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，不妨令，則，設(shè)平面與平面所成銳角

12、為，則，所以平面與平面所成銳角的大小為。注意到：在兩個(gè)平面內(nèi)，各任取一點(diǎn)（均不在棱上），運(yùn)用檢驗(yàn)向量與兩個(gè)法向量的點(diǎn)積符號(hào)判定：同等異補(bǔ)。，其中所以平面與平面所成角的大小與相等（否則為其補(bǔ)角）。六、 初步運(yùn)用空間向量（自由向量）處理立體幾何問(wèn)題的實(shí)例分析?？臻g四邊形和正方體是立體幾何中常見(jiàn)的兩個(gè)圖形，學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)正方體有所感知，在高中處理正方體中的立體幾何問(wèn)題，更多的采用正交基向量，即建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)位置向量的運(yùn)算來(lái)完成?？臻g四邊形則是學(xué)生在高中才學(xué)習(xí)，與正方體相比較而言，缺少了兩兩互相垂直且共點(diǎn)的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系困難了一些，運(yùn)用向量能否處理？通過(guò)自主學(xué)習(xí)，結(jié)合教學(xué)實(shí)

13、踐，略舉數(shù)例，來(lái)說(shuō)明用自由向量處理空間四邊形中的幾何問(wèn)題：1、運(yùn)用平行向量1.1證明空間四邊形中三點(diǎn)共線問(wèn)題.例題1、如圖一所示，空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是三角形的重心，求證：、三點(diǎn)共線.分析：在空間合理的選取一組基向量，將和按此基向量分解，若能證明 ，即證明（），找到實(shí)數(shù)，問(wèn)題得到解決.證明：= 所以 所以 由于、是一組不共面向量，由、可得，即，即、三點(diǎn)共線.1.2證明空間四邊形中三線共點(diǎn)問(wèn)題.例題2、如圖二所示，空間四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，求證：、相交于一點(diǎn)且點(diǎn)平分線段、.分析：利用向量相等的性質(zhì)，即，可知、三點(diǎn)重合. 解：設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)是，的中點(diǎn)是，則由已

14、知條件可得，所以， 即、重合為一點(diǎn). 、相交于一點(diǎn)且點(diǎn)平分線段、得到證明.2、應(yīng)用向量數(shù)量積：2.1活用向量數(shù)量積的變形式，求空間四邊形中的角（包括線線成角、線面成角、面面成角）。2.1.1判斷空間四邊形中角的范圍問(wèn)題.例題3、如圖三所示，空間四邊形中，判斷三角形的形狀.分析：三角形中，；. 解：由已知條件， 可得，又因?yàn)椋?=，所以是銳角，同理可得和都是銳角，即三角形是銳角三角形.2.1證明空間四邊形中線線垂直.例題4、如圖四所示，空間四邊形，是三角形的重心,是上的一點(diǎn)，求證：且.分析：欲證明且，只需證明和 即可. 解：由題意可得，所以，因?yàn)椋?即得 ，所以， ，從而且得到證明.2.1確定空

15、間四邊形中點(diǎn)的位置.例題5、如圖五所示，空間四邊形中，、互相垂直，且，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，判斷點(diǎn)的位置.分析：由題中條件可得，即，利用題中條件，即可求出實(shí)數(shù)的值，于是點(diǎn)的位置得到確定. 解：設(shè)，則 ，=因?yàn)?，所以，得即，又?所以，解得，得到. 2.1求空間四邊形中線線成角大小. 例題6、如圖七所示，空間四邊形中，、分別是和的中點(diǎn)，求異面直線和所成角的大小.分析：求異面直線和所成角的大小，只需求出向量與所成的角即可.但是需要注意的是異面直線所成角的范圍是，兩個(gè)向量所成角的范圍是.解：由已知條件可得， 又因?yàn)?，得，即向量與所成角大小為 所以異面直線和所成角的大小為.2.1.5求空間四邊形中

16、線面成角大小.例題7、如圖八所示，空間四邊形中，求直線與平面所成角的大小.分析：求出平面的單位法向量，可知直線與平面所成角的大小為. 解：由題意可知， 所以，即直線與平面所成角的大小為.2.1.6求空間四邊形中面面成角.例題8、如圖九所示，空間四邊形中，平面， ，求二面角的大小.分析：平面與平面的法向量所成角與所求二面角的平面角相等或互補(bǔ)，只需求出平面與平面的法向量所成角即可.解：由已知條件可知，令平面的法向量為，平面的法向量為，則， 則由拉格朗日恒等式可得， =，得= 因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的大小為.2.2巧用向量?jī)?nèi)積的變形式，求空間四邊形中的距離（兩點(diǎn)間距離、線線距離、線面距離、點(diǎn)面

17、距離、點(diǎn)線距離）。2.2.1度量空間四邊形中線段長(zhǎng)度.例題9、如圖六所示，空間四邊形中，邊、互相垂直，連接 對(duì)角線、，且有，求邊的長(zhǎng)度.分析：根據(jù)向量模長(zhǎng)與內(nèi)積的關(guān)系：，即可求出邊的長(zhǎng)度. 解：由題意可得，知， = 所以，即. 2.2.2求空間四邊形中點(diǎn)線距離.例題10、如圖十所示，空間四邊形中，線段、兩兩互相垂直，求點(diǎn)到直線的距離. 分析：求出直線的單位方向向量，由向量?jī)?nèi)積的幾何意義可知，的值，是點(diǎn)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線的法向量所在直線的距離，即點(diǎn)到直線的距離為.解：由已知條件可得， 所以點(diǎn)到直線的距離為. 2.2.3求空間四邊形中線線距離.例題11、如圖十一所示，空間四邊形中，=1，求異面直線與的

18、距離.分析：找到與、同時(shí)垂直的單位向量，然后分別在異面直線與上各取一點(diǎn)，不妨取和，由向量?jī)?nèi)積的幾何意義可知，的值即為異面直線與的距離.解：由已知條件可得， 取、中點(diǎn)分別為、，連結(jié)，容易知道，取， 則 所以異面直線與的距離為 .2.2.4求空間四邊形中點(diǎn)面距離.例題12、如圖十二所示，空間四邊形中，線段、兩兩互相垂直，求點(diǎn)到平面的距離. 分析：如果是平面的一個(gè)單位法向量，由向量?jī)?nèi)積的幾何意義可知，的值即為點(diǎn)到平面的距離.解：由已知條件可得， 和在平面內(nèi)，共點(diǎn)于.且有，即（） 平面，則得到. = 所以點(diǎn)到平面的距離為. 利用空間自由向量求解空間四邊形中與點(diǎn)、線、面有關(guān)的角，距離、線段長(zhǎng)、共點(diǎn)、共線等問(wèn)題，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x取基向量，將相關(guān)向量用選取的基向量