空間向量在立體幾何中初步應(yīng)用

1、空間向量在立體幾何中初步應(yīng)用大境中學(xué) 趙玉梅一、 向量產(chǎn)生的歷史背景綜述早在二千多年前，古希臘著名科學(xué)家亞里士多德在他的力學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)，作用在物體同一點上的兩個力，其結(jié)果不是兩個力大小直接相加，而是遵循著“平行四邊形法則”。所以向量的概念萌芽于二千多年前，亞里士多德是運用向量知識的先行者。但是德國學(xué)者施提文（15481620）在他的靜力學(xué)研究中應(yīng)用了這個法則，意大利著名科學(xué)家伽利略（15641642）清楚地敘述了這個法則，我們習(xí)慣上把這個法則稱為阿基米德的“平行四邊形法則”。在向量理論體系的建立過程中，幾位數(shù)學(xué)、物理學(xué)家不懈努力的軼事。 （1）復(fù)數(shù)的幾何表示（或幾何解釋）1545年意大利的數(shù)學(xué)

2、家卡當(dāng)在他的著作大術(shù)首次提出，這樣的數(shù)，用現(xiàn)代的寫法就是。1797年挪威數(shù)學(xué)家維塞爾（17451818）提出了對復(fù)數(shù)的一個幾何解說。這方面的工作除了維塞爾外，還有瑞士的阿工（1808年提出）和著名的德國數(shù)學(xué)家高斯（1831年提出復(fù)平面），所以復(fù)數(shù)的幾何表示的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)史上是一件不朽的大事，它使虛幻的數(shù)有了著落，有了實際的模型；平面向量和復(fù)數(shù)成一一對應(yīng)，向量可以借助復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減、乘運算，而且這些運算都具有清晰的幾何意義（如加法符合平行四邊形法則，乘法相當(dāng)于向量作旋轉(zhuǎn)及伸縮長度的幾何變換），這對建立平面向量理論提供了一個個理想的模式。（2）哈密頓的復(fù)數(shù)規(guī)范化與尋找“三維復(fù)數(shù)”的工作。英國著名數(shù)學(xué)

3、家、物理學(xué)家哈密頓（18051865）進(jìn)一步對復(fù)數(shù)規(guī)范化，他把直接寫成，而且定義了它們的四則運算：加、減法：；乘 法：；除 法：。哈密頓尋找“三維復(fù)數(shù)”沒有成功，但是著名的數(shù)學(xué)、物理學(xué)家麥克斯韋（18311870）他將四元數(shù)中的數(shù)量部分與向量部分分開來作為各自的實體處理，他把四元數(shù)的向量部分獨立出來發(fā)展成為更符合物理需要的更簡便的數(shù)學(xué)工具，這就是3維向量。（3）3維向量分析的產(chǎn)生。麥克斯韋把向量作為實體從哈密頓的四元數(shù)中分離出來時，還是把向量看作四元數(shù)的向量部分來敘述的。真正對向量作為一門獨立的數(shù)學(xué)分支進(jìn)行研究，是由美國的吉布斯（18391903）和英國人亥維賽（18501925）分別進(jìn)行的，

4、他們的思路基本是一致的，即把向量（），建立了現(xiàn)在的向量的線性運算，以及向量的內(nèi)積、外積等理論體系。由此可見，向量理論體系在十九世紀(jì)前后建立。（4）由3維向量到維向量.德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼（1809-1877），他認(rèn)為既然3個有序數(shù)組可以表示一個向量，那4個有序數(shù)組呢？個有序數(shù)組呢？于是他大膽地提出維向量的概念，并模仿空間向量，建立起相關(guān)理論，所以向量從3維到維的推廣是一種思維上的類比推廣。當(dāng)今市場經(jīng)濟(jì)的社會里，維向量在商品交易中也有廣泛的應(yīng)用。如某超市經(jīng)營1000種商品，可按某一種順序編號，然后把這1000種商品的單價排列起來，構(gòu)成1000維向量，然后把顧客購買的商品數(shù)量也按此順序排列起來（未購

5、的一律記為零），則顧客向超市付款額就是兩者的數(shù)量積。只要把相應(yīng)的運算程序制成電腦軟件，通過運行軟件，超市運作有了今天的快捷。再如某航空公司要招聘一批人員，對體格提出10項數(shù)字要求，這10個數(shù)字按一定順序排好，就是一個10維向量，然后要求每個應(yīng)聘人員去體檢，把十項結(jié)果也按同樣的順序排列起來，也組成一個10維向量，兩個向量差的模越小，說明應(yīng)聘者越接近公司的要求。二、 向量的知識結(jié)構(gòu)向量及其基本概念向量的坐標(biāo)表示基本定理向量的物理背景向量的線性運算向量的應(yīng)用向 量向量的內(nèi)積、外積、混合積三、 向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材的歷史進(jìn)程“在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，80年代教育部中學(xué)實驗教材開始在中學(xué)教材中引入

6、向量，1992年上海編寫的一期教材（陳昌平教授）、是比較早地寫入向量知識的，以向量為工具解決立體幾何的方法，成為解決計算題和證明題的通性通法，大大降低了解題的技巧性，深受廣大師生和學(xué)生的認(rèn)可和歡迎?！?當(dāng)時的“一期教材”初步嘗試應(yīng)用向量的內(nèi)積，求異面直線所成角的大小等，由于啟用了一種新的處理方式，而且思路簡潔、有效能算，所以學(xué)生對立體幾何的學(xué)習(xí)，充滿信心、心情愉悅，不再為“巧添輔助線”而愁眉苦臉。前蘇聯(lián)的學(xué)生，由于他們較早的學(xué)習(xí)向量知識，掌握了運用向量處理幾何問題的要領(lǐng)，于是在國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽幾何題目的解答中，他們屢屢得手。命題專家們?yōu)榱颂岣吒傎惖墓叫远焚M苦心，但是當(dāng)他們面對應(yīng)用向量解

7、決幾何問題已是游刃有余的前蘇聯(lián)學(xué)生時，只能感嘆：“防不勝防。”如今的“二期教材”在“一期教材”的基礎(chǔ)上，又邁出了可喜的一步，教材又引進(jìn)了平面的法向量，這樣立體幾何中所有的距離和角的問題，都能通過向量計算得出。正如吳文俊先生所說：“為了使中學(xué)幾何騰飛，必須采取數(shù)量化的方法，也就是要及早地引入坐標(biāo)，使幾何解析化，使幾何可以計算”。吳文俊先生的觀點是很有見解的、非常深刻的，是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的高度指出了幾何教改的一種方向，“二期教材”立體幾何教材設(shè)計正是體現(xiàn)了這樣的指導(dǎo)思想。四、 向量處理幾何問題的理論分析以往的立體幾何問題常常是給出一定的幾何條件，通過邏輯推理、演繹論證得出需要證明的幾何結(jié)論；現(xiàn)在應(yīng)

8、用向量處理立體幾何問題，常把一定的幾何條件通過基向量，轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系式，再運用向量的基本運算即加法、減法、數(shù)乘、內(nèi)積、外積等，轉(zhuǎn)化為新的向量關(guān)系式，從而使得要求的幾何結(jié)論得以解決，具體處理的過程見下圖：五、 初步運用空間向量（正交基向量）處理立體幾何問題的實例分析（一）度量空間的距離.求空間的距離，綜合法處理的常用方法有：直接法：作高構(gòu)造三角形； 間接法：等體積性。平面的法向量的求法:待定系數(shù)法和共面向量法。1、 運用平面的法向量，求點到平面的距離例題 如圖，直二面角中，四邊形是邊長為2的正方形，為上的點，且平面，求點到平面的距離。解：容易知道，平面，知，中，為中點，故，以為原點，射線、分別為

9、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，設(shè)平面的一個法向量為，則令，則，軸，故，點到平面的距離.例題 在三棱錐中，三角形是邊長為4的正三角形，平面平面，、分別是、的中點，求點平面的距離。解 運用法向量求解的方法1. 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，得，所以到平面的距離。運用法向量求解的方法2. 設(shè)平面，垂足為，因為、四點共面，由共面定理，可設(shè)。由，所以點到平面的距離為。2、 運用平面的法向量，求異面直線間的距離。例題 已知長方體中，求異面直線與間的距離。解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)且，則 ，令，則，設(shè)向量在向量上的射影長為，則異面直線與間的距離，

10、則.，異面直線與間的距離為。（二）度量空間的角1、直線與直線所成的角。求直線與直線所成的角，運用空間向量方法處理與綜合論證法處理的對比說明。結(jié)論:各有千秋，各取所長。例題 在棱長為4的正方體中，是正方形的中心，點在平面上的射影為，點在上，且，求證：。分析：要證明，只需證明即可。證明：令,，則（另解：綜合論證法。，由（證明完畢）2、運用平面的法向量計算直線與平面所成的角。例題 如圖，在四棱柱中，底面是正方形，側(cè)棱底面，是的中點，求直線與底面所成的角的大小。解：令底面是正方形的邊長為，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，所以，易知為平面的一個法向量，設(shè)直線與底面所成的角的大小為,異面直

11、線與所成的角的大小為，則，所以直線與底面所成的角的大小為。例題 如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是線段的中點，求證：平面證明：以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，得，設(shè)直線與平面所成的角的大小為，則即與平面所成的角為0，且直線不在平面內(nèi)，所以平面。3、運用平面的法向量，求解平面與平面所成的二面角。二面角的大小為二面角的大小為例題 在棱長為1的正方體中，是正方形的中點，點是棱上的點，且，求平面與平面所成銳角的大小。解：以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。則，則是平面的一個法向量。設(shè)為平面的一個法向量，則，不妨令，則，設(shè)平面與平面所成銳角

12、為，則，所以平面與平面所成銳角的大小為。注意到：在兩個平面內(nèi)，各任取一點（均不在棱上），運用檢驗向量與兩個法向量的點積符號判定：同等異補。，其中所以平面與平面所成角的大小與相等（否則為其補角）。六、 初步運用空間向量（自由向量）處理立體幾何問題的實例分析?？臻g四邊形和正方體是立體幾何中常見的兩個圖形，學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)中對正方體有所感知，在高中處理正方體中的立體幾何問題，更多的采用正交基向量，即建立空間直角坐標(biāo)系，通過位置向量的運算來完成。空間四邊形則是學(xué)生在高中才學(xué)習(xí)，與正方體相比較而言，缺少了兩兩互相垂直且共點的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系困難了一些，運用向量能否處理？通過自主學(xué)習(xí)，結(jié)合教學(xué)實

13、踐，略舉數(shù)例，來說明用自由向量處理空間四邊形中的幾何問題：1、運用平行向量1.1證明空間四邊形中三點共線問題.例題1、如圖一所示，空間四邊形中，、分別是、的中點，是線段的中點，是三角形的重心，求證：、三點共線.分析：在空間合理的選取一組基向量，將和按此基向量分解，若能證明 ，即證明（），找到實數(shù)，問題得到解決.證明：= 所以 所以 由于、是一組不共面向量，由、可得，即，即、三點共線.1.2證明空間四邊形中三線共點問題.例題2、如圖二所示，空間四邊形中，點、分別是、的中點，求證：、相交于一點且點平分線段、.分析：利用向量相等的性質(zhì)，即，可知、三點重合. 解：設(shè)的中點為，的中點是，的中點是，則由已

14、知條件可得，所以， 即、重合為一點. 、相交于一點且點平分線段、得到證明.2、應(yīng)用向量數(shù)量積：2.1活用向量數(shù)量積的變形式，求空間四邊形中的角（包括線線成角、線面成角、面面成角）。2.1.1判斷空間四邊形中角的范圍問題.例題3、如圖三所示，空間四邊形中，判斷三角形的形狀.分析：三角形中，；. 解：由已知條件， 可得，又因為， =，所以是銳角，同理可得和都是銳角，即三角形是銳角三角形.2.1證明空間四邊形中線線垂直.例題4、如圖四所示，空間四邊形，是三角形的重心,是上的一點，求證：且.分析：欲證明且，只需證明和 即可. 解：由題意可得，所以，因為， 即得 ，所以， ，從而且得到證明.2.1確定空

15、間四邊形中點的位置.例題5、如圖五所示，空間四邊形中，、互相垂直，且，是的中點，點在線段上，且，判斷點的位置.分析：由題中條件可得，即，利用題中條件，即可求出實數(shù)的值，于是點的位置得到確定. 解：設(shè)，則 ，=因為，所以，得即，又由 所以，解得，得到. 2.1求空間四邊形中線線成角大小. 例題6、如圖七所示，空間四邊形中，、分別是和的中點，求異面直線和所成角的大小.分析：求異面直線和所成角的大小，只需求出向量與所成的角即可.但是需要注意的是異面直線所成角的范圍是，兩個向量所成角的范圍是.解：由已知條件可得， 又因為，得，即向量與所成角大小為 所以異面直線和所成角的大小為.2.1.5求空間四邊形中

16、線面成角大小.例題7、如圖八所示，空間四邊形中，求直線與平面所成角的大小.分析：求出平面的單位法向量，可知直線與平面所成角的大小為. 解：由題意可知， 所以，即直線與平面所成角的大小為.2.1.6求空間四邊形中面面成角.例題8、如圖九所示，空間四邊形中，平面， ，求二面角的大小.分析：平面與平面的法向量所成角與所求二面角的平面角相等或互補，只需求出平面與平面的法向量所成角即可.解：由已知條件可知，令平面的法向量為，平面的法向量為，則， 則由拉格朗日恒等式可得， =，得= 因為二面角是銳角，所以二面角的大小為.2.2巧用向量內(nèi)積的變形式，求空間四邊形中的距離（兩點間距離、線線距離、線面距離、點面

17、距離、點線距離）。2.2.1度量空間四邊形中線段長度.例題9、如圖六所示，空間四邊形中，邊、互相垂直，連接 對角線、，且有，求邊的長度.分析：根據(jù)向量模長與內(nèi)積的關(guān)系：，即可求出邊的長度. 解：由題意可得，知， = 所以，即. 2.2.2求空間四邊形中點線距離.例題10、如圖十所示，空間四邊形中，線段、兩兩互相垂直，求點到直線的距離. 分析：求出直線的單位方向向量，由向量內(nèi)積的幾何意義可知，的值，是點到經(jīng)過點作直線的法向量所在直線的距離，即點到直線的距離為.解：由已知條件可得， 所以點到直線的距離為. 2.2.3求空間四邊形中線線距離.例題11、如圖十一所示，空間四邊形中，=1，求異面直線與的

18、距離.分析：找到與、同時垂直的單位向量，然后分別在異面直線與上各取一點，不妨取和，由向量內(nèi)積的幾何意義可知，的值即為異面直線與的距離.解：由已知條件可得， 取、中點分別為、，連結(jié)，容易知道，取， 則 所以異面直線與的距離為 .2.2.4求空間四邊形中點面距離.例題12、如圖十二所示，空間四邊形中，線段、兩兩互相垂直，求點到平面的距離. 分析：如果是平面的一個單位法向量，由向量內(nèi)積的幾何意義可知，的值即為點到平面的距離.解：由已知條件可得， 和在平面內(nèi)，共點于.且有，即（） 平面，則得到. = 所以點到平面的距離為. 利用空間自由向量求解空間四邊形中與點、線、面有關(guān)的角，距離、線段長、共點、共線等問題，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x取基向量，將相關(guān)向量用選取的基向量