第五章第4講數(shù)列求和

1、班級姓名學(xué)案5.4數(shù)列求和基礎(chǔ)知識梳理1. 等差數(shù)列的前n項和公式Sn =n a1 +n (n 1)2 _d.2. 等比數(shù)列的前n項和公式nai, q= 1,Sn= a1 anq a1 (1 qn)1 - q1 q3. 一些常見數(shù)列的前 n項和公式(1) 1 + 2+ 3 + 4 + + n= n ( nj 1)；(2) 1 + 3+ 5 + 7 + + 2n 1 =；2(3) 2 + 4+ 6 + 8 + + 2n= n + n.要點整合1. 辨明兩個易誤點(1) 使用裂項相消法求和時，要注意正負(fù)項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切 不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點.(

2、2) 在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.2. 數(shù)列求和的常用方法(1) 倒序相加法：如果一個數(shù)列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)， 那么求這個數(shù)列的前 n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的.(2) 錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的.(3) 裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.(4) 分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干

3、個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減.(5) 并項求和法：一個數(shù)列的前n項和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an= ( 1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.(典例剖折+考點突破) 考點一 分組法求禾口 n -+ n*例1(2014咼考湖南卷)已知數(shù)列an的前n項和Sn= 2 ， n N .(1)求數(shù)列an的通項公式；設(shè)bn= 2an+ ( 1)nan，求數(shù)列 bn的前2n項和.規(guī)律方法1分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型若an= bnCn,且 5 , Cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求%的前n項和;bn, n為奇數(shù)，(2)通項公式為an=的

4、數(shù)列，其中數(shù)列bn , Cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，jcn, n為偶數(shù)可采用分組求和法求和.2.本題中求前2n項和轉(zhuǎn)化為求數(shù)列22n與( 1)nn的和，在求( 1)nn的和時，又利 用了并項求和法.考點二 錯位相減法求禾口 例2.(2015浙江寧波高三模擬)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且ai = 1, bi = 2, a2+ b3= 10, a3+ b2= 7.(1)求數(shù)列an , bn的通項公式；設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Sn，記Cn=- a*, n N ,求數(shù)列Cn的前n項和Tn.規(guī)律方法用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：(1) 要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；

5、(2) 在寫出Sn”與qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn q0”的表達(dá)式.考點三裂項相消法求和(高頻考點)裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題. 高考對裂項相消法的考查常有以下兩個命題角度：(1) 求前n項和；(2) 比較大小或不等式證明.例3.(2014高考廣東卷)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn滿足S (n29*+ n 3)Sn 3(n + n) = 0, n N .(1)求a1的值；求數(shù)列an的通項公式；1 1 1 1(3) 證明：對一切正整數(shù)n, 有 / _ + 1) +/ _ + 1) +/ _ + 1

6、)1.a1 (a1 + 1)a2 ( a2 + 1)an (an+ 1) 3規(guī)律方法1.解答本題利用了裂項相消法，而解答此題的關(guān)鍵是借助于放縮，即= 1k-4k2 + 2k 3k2 + 3k 3l禹，即可相消.1 2利用裂項相消法求和應(yīng)注意（1）抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項; 或者前面剩幾項，后面也剩幾項；（2）將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項 anan+2 1 1相等.如：若an是等差數(shù)列，則=danan+1-L、.1_ 丄fnan+ J anan+ 22d課后達(dá)標(biāo)檢測A組11 .數(shù)歹U an的通項公式是 an=，其前*n+ #n + 1B. 99D. 100n項和為9,貝U n等于（）A. 9 C. 10f r、n項的和為Sn,則數(shù)列晉的前10項B. 200D. 20a1o+ 20共有十項，且其和為240，則a1 + ak+5.和為（已知等差數(shù)列an的前n項和）-34Sn滿足S3= 0，S5=- 5，則數(shù)列帥-品+ 1JB. -15的前8項2.等差數(shù)列an的通項公式為an= 2n+ 1,其前 的和為（）A . 120B. 100C . 75D. 703 . （2015 東濟(jì)南期末）已知an為等差數(shù)列，a10= 33, a2= 1,各為數(shù)列an的前n項 和，貝V S2