高二數(shù)學(xué)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

1、 教師助手 學(xué)生幫手 家長(zhǎng)朋友 課 題：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)教學(xué)目的：1學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理2理解這個(gè)定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等3通過(guò)掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用公式的適當(dāng)變形，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力教學(xué)重點(diǎn)：均值定理證明教學(xué)難點(diǎn)：等號(hào)成立條件授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入： 1同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式 異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式例如：a

2、b，cb，那么ba，如果bb(對(duì)稱性) 即：abba；bb定理2：如果ab，且bc，那么ac(傳遞性) 即ab，bcac定理3：如果ab，那么a+cb+c 即aba+cb+c推論：如果ab，且cd，那么a+cb+d(相加法則) 即ab， cd a+cb+d定理4：如果ab，且c0，那么acbc； 如果ab，且c0，那么acb 0，且cd0，那么acbd(相乘法則)推論2 若定理5 若二、講解新課：1重要不等式：如果證明：當(dāng)所以，即由上面的結(jié)論，我們又可得到2定理：如果a,b是正數(shù)，那么證明：，即顯然，當(dāng)且僅當(dāng)說(shuō)明：）我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均

3、數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)）成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件3均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”以長(zhǎng)為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使AC=a,CB=b過(guò)點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD,那么，即這個(gè)圓的半徑為，顯然，它不小于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合；即a=b時(shí)，等號(hào)成立4關(guān)于“平均數(shù)”的概念如果 則：叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)；叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)推廣： 語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)上述重要不等式有著廣泛的應(yīng)用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等

4、等它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧今天，我們就來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)均值不等式的應(yīng)用三、講解范例：例1已知a,b,cR，求證證明：，以上三式相加：例2 已知x,y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值（2）如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值證明：因?yàn)閤,y都是正數(shù)，所以 （1）積xy為定值P時(shí)，有 上式當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)，因此，當(dāng)時(shí)，和有最小值（2）和x+y為定值S時(shí)，有 上式當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值說(shuō)明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件：）函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù);)函數(shù)式中含變數(shù)的

5、各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；）等號(hào)成立條件必須存在例3 已知：（ab）（xy）2（aybx），求證：分析：本題結(jié)論中，注意互為倒數(shù)，它們的積為1，可利用公式ab2，但要注意條件a、b為正數(shù)故此題應(yīng)從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)變形，說(shuō)明為正數(shù)開(kāi)始證題證明：（ab）（xy）2（aybx）axaybxby2ay2bxaxaybybx0（axbx）（ayby）0（ab）（xy）0，即ab與xy同號(hào)均為正數(shù)2(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào))2點(diǎn)評(píng)：我們?cè)谶\(yùn)用重要不等式a2b22ab時(shí)，只要求a、b為實(shí)數(shù)就可以了而運(yùn)用定理：“”時(shí)，必須使a、b滿足同為正數(shù)本題通過(guò)對(duì)已知條件變形(恰當(dāng)?shù)匾蚴椒纸?，從討論因式乘積的符號(hào)來(lái)判斷與是

6、正還是負(fù)，是我們今后解題中常用的方法四、課堂練習(xí)：1 求證：2 比較大小3 若x-1,則x為何值時(shí),有最小值,最小值為幾?答案:當(dāng)x=0時(shí),有最小值1思考:已知a,b,x,yR+且x+y=1,求的最小值 5已知a、b、c都是正數(shù)，求證（ab）（bc）（ca）abc分析：對(duì)于此類題目，選擇定理：（a0，b0）靈活變形，可求得結(jié)果答案：a，b，c都是正數(shù)ab20；bc20；ca20（ab）（bc）（ca）222abc即（ab）（bc）（ca）abc6已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3分析：在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握

7、好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形答案：x，y都是正數(shù)，0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2(2)xy20；x2y220；x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y37求證：（）2分析：利用完全平方公式，結(jié)合重要不等式：a2b22ab，恰當(dāng)變形，是證明本題的關(guān)鍵答案：a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab（ab）22（a2b2）（ab）2不等式兩邊同除以4，得（）2，即（）2五、小結(jié) ：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）它們成立的條件不同，前者只要求a

8、、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具六、課后作業(yè)：(1)“ab2”是“aR，bR”的(B )A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D即不充分也不必要條件(2)設(shè)ba0，且ab1，則此四個(gè)數(shù)，2ab，a2b2，b中最大的是(A )Ab Ba2b2 2ab D (3)設(shè)a，bR，且ab，ab2，則必有( B )A1ab Bab1 Cab1D ab1(4)已知a，bR且ab4，則下列各式恒成立的是(B )A B1 2 D(5)若ab0，則下面不等式正確的是( C )A BC D(6)若a，bR且ab，在下列式子中，恒成立的個(gè)數(shù)為（D

9、）a23ab2b2 aba3b2a2b3 a2b22（ab1） 2A4 B32 D1(7)設(shè)a，b，c是區(qū)間(0，1)內(nèi)的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)且plogc，q，r，則p，q，r的大小關(guān)系是(C )Apqr BpqrCrPq Dprq(8)已知xy0，xy1，求證：2證明：xy0，xy1 22 ，即2(9)已知a2，求證：loga（a1）loga（a1）1證明：a2 loga(a1)0,loga(a1)0,loga(a1)loga(a1)loga（a1）loga（a1）2loga（a21）2（logaa2）21即loga（a1）loga（a1）1(10)已知a，bR，證明：log2（2a2b）證明：a，bRlog2（2a2b）log2（2）log2（22）1,即log2（2a2b）(11)若a，b，cR，且abc1，求證：證明：a，b，cR，且abc12（ab）（bc）（ca）（ab）（bc）（ca）（）33故(12)已知方程ax2bxc0