2001考研數(shù)二真題及解析

1、2001 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1) (2) 設(shè)函數(shù)由方程所確定,則曲線在點(diǎn)處的法線方程為 .(3) (4) 過點(diǎn)且滿足關(guān)系式的曲線方程為 .(5) 設(shè)方程有無窮多個解,則 .二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 設(shè)則等于 ( )(A)0 (B)1 (C) (D)(2) 設(shè)當(dāng)時，是比高階的無窮小，是比高階的無窮小，則正整數(shù)等于 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(3) 曲線的拐點(diǎn)個數(shù)為 ( )(

2、A)0. (B)1. (C)2. (D)3(4)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)減少，且則 ( )(A)在和內(nèi)均有.(B)在和內(nèi)均有.(C)在內(nèi)，.在內(nèi)，.(D)在內(nèi)，.在內(nèi)，.(5)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù) 的圖形為 ( )三、(本題滿分6分)求四、(本題滿分7分)求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型.五、(本題滿分7分)設(shè)是拋物線上任一點(diǎn)處的曲率半徑，是該拋物線上介于點(diǎn)與之間的弧長，計(jì)算的值.(在直角坐標(biāo)系下曲率公式為)六、(本題滿分7分)設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且其反函數(shù)為.若，求.七、(本題滿分7分)設(shè)函數(shù)滿足，且，求 八、(本題滿分9分)設(shè)是一條平面曲

3、線，其上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在軸上的的截距，且經(jīng)過點(diǎn)(1) 試求曲線的方程(2) 求位于第一象限部分的一條切線，使該切線與以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小.九、(本題滿分7分)一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積成正比，比例常數(shù).假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時？十、(本題滿分8分)設(shè)在區(qū)間上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),(1) 寫出的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式;(2) 證明在上至少存在一點(diǎn)，使十一、(本題滿分6分)已知矩陣且矩陣滿足其中是3階單位陣，求.十二、(本題滿分6分)設(shè)為線

4、性方程組的一個基礎(chǔ)解系，試問實(shí)數(shù)滿足什么關(guān)系時，也為的一個基礎(chǔ)解系.2001 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】(2)【答案】 x2y+2=0.【詳解】在等式兩邊對x求導(dǎo), 其中視為的函數(shù)，得，即將x=0, y=1代入上式, 得，即 故所求法線方程斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式法線方程為： 即 x2y+2=0.(3)【答案】【分析】根據(jù)區(qū)域?qū)ΨQ性與被積函數(shù)的奇偶性：設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則有 ，【詳解】由題設(shè)知在區(qū)間上，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故，所以，原式(4)【答案】【詳解】 方法1：因?yàn)?，所以原方程可改寫?兩邊直接積分，得 又由代入上式，有 ，解得故所求曲線方程為

5、 方法2：將原方程寫成一階線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式由一階線性微分方程通解公式：這里，代入上式得： 又由解得 故曲線方程為：(5)【答案】 -2【詳解】方法1：利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形,有 由非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件：設(shè)是矩陣，方程組有無窮多解. 可見，只有當(dāng)a =2 時才有秩，對應(yīng)方程組有無窮多個解.方法2: 設(shè)是矩陣，方程組有無窮多解，則方程組有無窮多解. 從而有，即則，.當(dāng)時，可見原方程組無解.當(dāng)時，有 可知，故當(dāng)時，原方程組有無窮多解.二、選擇題(1)【答案】(B)【詳解】因?yàn)椋栽谡麄€定義域內(nèi)，所以，于是，從而(2)【答案】(B)【詳解】根據(jù)高階無窮小的定義：如果，就說

6、是比高階的無窮小，由題設(shè)當(dāng)時，是比高階的無窮小，所以從而應(yīng)滿足；又由是比高階的無窮小，所以根據(jù)高階無窮小的定義有：，從而應(yīng)滿足綜上，故正整數(shù)，故選(B)(3)【答案】(C)【詳解】，所以 令，即，因?yàn)榕袆e式：，所以有兩個不相等的實(shí)根，且，所以兩個實(shí)根不為2，因此在使這兩點(diǎn)處，三階導(dǎo)數(shù)，(一般地，若，且，則點(diǎn)一定是曲線的拐點(diǎn))，因此曲線有兩個拐點(diǎn)，故選(C)或根據(jù)是一條拋物線，且與軸有兩個不相同的交點(diǎn)，所以在兩個交點(diǎn)的左右符號不相同，滿足拐點(diǎn)的定義，因此選(C)(4)【答案】(A)【詳解】方法1：令，則由于嚴(yán)格單調(diào)減少，因此當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，且在處，根據(jù)判定極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，

7、且在的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，若時，而時，則在處取得極大值，知在處取極大值，即在在和內(nèi)均有，也即. 故選(A)方法2：排除法，取，則，所以滿足題設(shè)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)減少，且當(dāng)時或時，均有，因此可以排除(B)、(C)、(D)，選(A)(5) 【答案】(D)【詳解】從題設(shè)圖形可見，在軸的左側(cè)，曲線是嚴(yán)格單調(diào)增加的，因此當(dāng)時，一定有，對應(yīng)圖形必在軸的上方，由此可排除(A)，(C)；又的圖形在軸右側(cè)靠近軸部分是單調(diào)增，所以在這一段內(nèi)一定有，對應(yīng)圖形必在軸的上方，進(jìn)一步可排除(B)，故正確答案為(D).三【詳解】作積分變量變換，令則原式 四【分析】應(yīng)先求出的表達(dá)式，再討論它的間斷點(diǎn)，首先明確間斷點(diǎn)

8、的類型分為兩大類：第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)又可分為：可去間斷點(diǎn)(左右極限存在且相等的間斷點(diǎn))和跳躍間斷點(diǎn)(左右極限存在但不相等的間斷點(diǎn))；第二類間斷點(diǎn)又可分為：無窮間斷點(diǎn)(有一個極限為無窮的間斷點(diǎn))和振蕩間斷點(diǎn)(極限值在某個區(qū)間變動無限多次).【詳解】由 又 所以 由的表達(dá)式，可以看出自變量應(yīng)滿足，從而當(dāng)時，所以為的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等，又進(jìn)一步可知是可去間斷點(diǎn))；對于非零整數(shù)，故為的第二類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn))五【解答】由，有 拋物線在點(diǎn)處的曲率半徑若已知平面曲線的顯式表示為，則弧長為，其中在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).根據(jù)上述結(jié)論，所以拋物線上的弧長故 因此 六【詳解】的反函數(shù)是，根

9、據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)有，兩邊對求導(dǎo)，有又，所以， 兩邊積分 .由于題設(shè)在上可導(dǎo)，所以在處連續(xù)，故，所以，于是， 七【詳解】由，得，即此為二階常系數(shù)線性非齊次方程，且右端呈型(其中)，對應(yīng)的齊次方程為，特征方程為，對應(yīng)的特征值為，于是齊次方程的通解為：，因?yàn)?，所以設(shè)特解為(為實(shí)數(shù))，代入，所以，即，從而特解，非齊次方程的通解為，又，所以，又，所以，所以原方程的解為：以下計(jì)算積分，有兩個方法：方法1：方法2：八【詳解】(1)設(shè)曲線過點(diǎn)的切線方程為，令，則，即它在軸上的截距為，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，所以原點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，由題設(shè)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線在軸上的截距，所以：， ，即 ， 此為一階齊次方程

10、，按規(guī)范方法解之，命，則，代入，方程變?yōu)椋悍e分得 把代入上式，得.由題設(shè)曲線經(jīng)過點(diǎn)，代入得，則，故所求方程為：，即(2) 由(1)知，則，點(diǎn)，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，分別令，解得在軸，軸上的截距分別為和.此切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為：由于該曲線在第一象限中與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積為定值，記，于是題中所要求的面積為：求最值點(diǎn)時與無關(guān)，以下按微分學(xué)的辦法求最值點(diǎn).令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，根據(jù)極值存在的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，若時，而時，則在處取得極大值，知：是在處的唯一極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，于是所求切線方程為：，即九【詳解】方法1：半球形雪堆在時刻時設(shè)其半徑為，則半

11、球體積，側(cè)面積. 由題設(shè)體積融化的速率與半球面面積成正比，知：，由于是的函數(shù)，代入上式，得：，即，從而，.積分得，把代入，得，所以.又半徑為的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，即，其中表示時的. 以的公式代入上式，為將代入上式，兩邊約去，得：，即從而求得：，于是，當(dāng)時，雪融化完.方法2：半球形雪堆在時刻時設(shè)其半徑為，則半球體積，側(cè)面積，聯(lián)立，消去，得：由題設(shè)體積融化的速率與半球面面積成正比，知：，從而推知分離變量，積分：，把代入，所以，.又由，代入上式，得，故 .命，解得：，即雪堆全部融化需6小時.十【應(yīng)用定理】閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理：設(shè)在上連續(xù)，則對之間的任何數(shù)，必存在()，使得

12、.【詳解】(1)麥克勞林公式其實(shí)就是泰勒公式中，把函數(shù)在零點(diǎn)展開.的拉格朗日余項(xiàng)一階麥克勞林公式為：，其中位于和為端點(diǎn)的開區(qū)間內(nèi)，.(2)方法1：將從到積分 而 從而有 因在上連續(xù)，故有在上存在最大值，最小值(由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值)，即易得 因此 同理 因此 .由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在，使，即.方法2 ：觀察要證的式子，做變限函數(shù)：，易得，(變限積分求導(dǎo))則有 將它展開成2階帶拉格朗日余項(xiàng)麥克勞林公式： 其中，由于在上連續(xù)，則由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在，使 (因?yàn)?于是有，存在，使把代入有：，即 即 十一【詳解】題設(shè)的關(guān)系式即 其中， 因?yàn)?，故由階矩陣可逆的充要條件，知矩陣可逆，用初等行變換求：故而 于是，等式兩邊左、右乘 可得十二【詳解】由題設(shè)知，均為的線性組合，齊次方程組當(dāng)