關(guān)于數(shù)列極限和函數(shù)極限解法的解析

1、關(guān)于數(shù)列極限和函數(shù)極限解法的解析王雅麗 摘 要 在數(shù)學(xué)分析中，極限的知識(shí)體系包括數(shù)列極限和函數(shù)極限。在求解數(shù)列極限的方法中，我們從極限的定義出發(fā)，根據(jù)極限的性質(zhì)以及相關(guān)的定理法則，例如單調(diào)有界收斂來(lái)論證極限；另外，對(duì)于函數(shù)極限的求解，文中列出六種類(lèi)型，根據(jù)函數(shù)數(shù)列的定義、性質(zhì)得出相關(guān)的定理和法則，對(duì)于不同類(lèi)型，采用不同的方法。上述方法對(duì)函數(shù)概念的理解和加強(qiáng)，以及對(duì)極限方法的掌握起很大的幫助作用。關(guān)鍵詞 數(shù)列極限定義 單調(diào)有界收斂 無(wú)窮小量 絡(luò)必達(dá)法則早在兩千多年前，我們的祖先就已經(jīng)能夠算出正方形，圓形和柱形等幾何圖形的面積。公元前3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形面積這一思想近似的計(jì)算

2、圓周率，并指出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以致不可割，則于圓和體而無(wú)所失矣”在數(shù)學(xué)分析中，極限是一個(gè)核心內(nèi)容，同時(shí)它本身研究問(wèn)題的工具。極限概念與求極限的運(yùn)算貫穿了數(shù)學(xué)分析課程的始終，因此全面掌握極限的方法與技巧是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵。1 數(shù)列極限 古代哲學(xué)家莊周所著的莊子·天下篇引用過(guò)一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。其含義是：一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過(guò)程可以無(wú)限制地進(jìn)行下去。把每天截下部分的長(zhǎng)度列出如下（單位為尺）：第一天截下，第二天截下 第n天截下 ,這樣就得到一個(gè)數(shù)列 。只有無(wú)窮數(shù)列才可能有極限,有限數(shù)列無(wú)極限.不難看出,數(shù)列 的通項(xiàng)隨著n的無(wú)限增大

3、而無(wú)限地接近于0?！盁o(wú)限增大”和“無(wú)限地接近”是對(duì)極限做了定性的描述，無(wú)限地接近于0說(shuō)明了當(dāng)無(wú)限的增大時(shí)數(shù)列的第項(xiàng)與0的距離要多小有多小。下面把任意小量化：對(duì)于 ，如果要求 ，只需要即可；對(duì)于 ，如果要求， 只需要即可；對(duì)于 ，如果要求， 只需要即可；由上可以看出能滿(mǎn)足不等式的不是唯一的，這就需要一個(gè)一般的任意小的正數(shù)來(lái)代替特殊的，如，為此就出現(xiàn)了任意小的正數(shù)。對(duì)于 如果要求， 只需要， 即可；從數(shù)列項(xiàng)以后的正整數(shù)都能滿(mǎn)足不等式，通過(guò)任意小的正整數(shù) ，以及 的存在性揭示了數(shù)列和0當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)的關(guān)系。對(duì)于任意給的正數(shù)，存在自然數(shù)，對(duì)任意的自然數(shù)，有成立。這樣就可以引出數(shù)列極限的定義，利用極限的

4、定義來(lái)求解。1.1 數(shù)列極限的定義設(shè) 為數(shù)列, 為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí),有,則稱(chēng)數(shù)列收斂于,定數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的極限，并記做或。邏輯符號(hào)表示： 用定義證明數(shù)列的極限 證明極限：只需證明即可，定義中的“”任意給出的，先給出之后，要找。使時(shí)有不等式成立，因此找是證明數(shù)列極限的關(guān)鍵，怎么樣找？應(yīng)該從解不等式中找，是變化過(guò)程的界限，它由確定，越小，就越大，可記為，且取定后，的取值不唯一，滿(mǎn)足此不等式的是正整數(shù)集合的無(wú)限子集中的任意一個(gè)數(shù)作為即可。具體步驟：（1）任意取，建立不等式； （2）解不等式，找出； （3）對(duì)給定的和求出的，敘述極限的定義。例1： 證明證明： 對(duì)于， 要是不等

5、式 成立， 解得：取， 對(duì)于： ， 有成立即有。例2：證明分析：由于 因此，對(duì)任給的，只要，便有 ，即當(dāng)時(shí)， 式成立，又由于式是在的條件下成立的，故應(yīng)取 證明：任給，取。據(jù)分析，當(dāng)時(shí)有式成立。于是本題得證。 例3：證明，其中 。證明：當(dāng)時(shí)，有 ，要使不等式成立， 解得 取 于是： ，有 即：，; 當(dāng)時(shí) 是常數(shù)列 則，;當(dāng)時(shí)， 令 從而 ,有由知道 , , 有成立, 即： .1.2 數(shù)列極限的性質(zhì)：1).唯一性：若數(shù)列收斂，則它只有一個(gè)極限。2).有界性：若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M使得對(duì)一切正整數(shù)n有。3).保號(hào)性：若>0（或<0），則對(duì)任何（或）,存在正數(shù)N，使得當(dāng)n&

6、gt;N時(shí)，有（或）。4).保不等式性：設(shè)與均為收斂數(shù)列，若存在正數(shù)，當(dāng)N>時(shí)，有，則。5).迫斂性：設(shè)收斂數(shù)列與都以a為極限，數(shù)列滿(mǎn)足：存在正數(shù)，當(dāng)n>時(shí)，有，則數(shù)列收斂，且。6).四則運(yùn)算法則：若與為收斂數(shù)列，則，也都是收斂數(shù)列，且有，。特別當(dāng)為常數(shù)C時(shí)，有,，若假設(shè)0及則也是收斂數(shù)列，且有。1.3 數(shù)列極限的求法在以上幾個(gè)性質(zhì)當(dāng)中，我們主要應(yīng)用迫斂性及四則運(yùn)算法則來(lái)求數(shù)列極限，則求數(shù)列極限方法我們總結(jié)有以下幾種：1). 應(yīng)用收斂數(shù)列性質(zhì)求數(shù)列極限： 應(yīng)用迫斂性求數(shù)列極限； 應(yīng)用四則運(yùn)算法則求數(shù)列極限；2). 應(yīng)用 無(wú)窮小×有界變量=無(wú)窮小 求數(shù)列極限3). 通項(xiàng)由遞

7、推關(guān)系給出的數(shù)列極限的求法利用單調(diào)有界收斂法則求之 a. 判定數(shù)列單調(diào)有界，從而證其極限存在，設(shè)為A；b. 建立數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系式；c. 兩端取極限得關(guān)于A的方程； d. 解此方程，若可解出A，即求出所求極限。例4. 已知數(shù)列的通項(xiàng)為 ， ，證明存在并求出極限值。證明：由， 得到，又，故設(shè)，下證，事實(shí)上故為單調(diào)增加數(shù)列，又故有上界，所以存在。設(shè)，則對(duì)兩邊取時(shí)的極限得到. 解得（已設(shè)去負(fù)根）故.先用遞推關(guān)系式求出一般項(xiàng)的表示式，再求極限。例5. 設(shè)，求解：故4). 無(wú)限項(xiàng)之和與無(wú)限項(xiàng)之積的極限求法 無(wú)限項(xiàng)之和的極限的求法a. 先求和再求極限 常用公式：；b. 裂項(xiàng)相消法常用裂項(xiàng)法：； ；c

8、. 根據(jù)迫斂性求極限。2 無(wú)限項(xiàng)之積的求法a. 恒等變形法 將分子分母（分母為1）同乘以一因式，然后用平方差公式逐次相乘，將n項(xiàng)積化為易求極限的有理式。 將分子分母（分母為1）同乘以一因式，然后用倍角三角公式化簡(jiǎn)，將n項(xiàng)積化為已知極限的代數(shù)式。 用等比數(shù)列求和公式將n項(xiàng)積化為易于求其極限的形式。b. 商式法5). 將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求之。函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，即看作是函數(shù)的特例，這樣數(shù)列的極限也就可以歸入函數(shù)的極限。 2 函數(shù)極限2.1 函數(shù)極限六種類(lèi)型 ； ； ； ； 。 其證明方法和數(shù)列極限的證明方法類(lèi)似，這里不再重復(fù)。像在下面的例題證明過(guò)程

9、中，對(duì)于一般函數(shù)列極限的證明，可直接證明定義：有成立即可。極限有明顯的幾何意義：對(duì)，有和兩條直線，形成以為中心以為寬的帶形區(qū)域，表示在軸上原點(diǎn)右側(cè)總存在一點(diǎn)，有，表示在上函數(shù)的圖像位于上述帶形區(qū)域之內(nèi)。例1： 證明證明： 要使不等式成立解得： 取，于是 有即：。 例2：證明 證明：不妨設(shè)， ， 為使不等式成立解得 取 于是 有即： 。 例3：證明：證明：已知有取于是，有即：2.2 利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的極限的方法 2.2.1 應(yīng)用函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則）含有乘方或階乘形式的函數(shù) 這類(lèi)函數(shù)自變量n或x包含在冪指數(shù)，根數(shù)或?qū)?shù)中，且有兩處出現(xiàn)該自變量。 常用：； ； ；已知或易求出雙向不等式的

10、數(shù)列（或函數(shù)）可用夾逼法則求其極限 ；3 根號(hào)下函數(shù)含取整函數(shù)，其極限可用夾逼法則求之2.2.2 利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)極限兩個(gè)重要極限： 、；例 ：求解：令，則，且當(dāng)時(shí)，所以有。 例：求解：2.2.3 利用四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限例: 求解：由，則有 由四則運(yùn)算法則有。2.2.4 利用無(wú)窮小量性質(zhì)三角函數(shù)中常用的等價(jià)無(wú)窮小 對(duì)數(shù)函數(shù)中常用的兩對(duì)等價(jià)無(wú)窮小 反三角函數(shù)中常用的兩對(duì)等價(jià)無(wú)窮小 (4)數(shù)函數(shù)中常用的兩對(duì)等價(jià)無(wú)窮小 二項(xiàng)式中常用的兩對(duì)等價(jià)無(wú)窮小 差函數(shù)中常用的等價(jià)無(wú)窮小 2.2.5 利用洛必達(dá)法則求極限的方法及技巧例: 設(shè)具有一階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求。解：，則當(dāng)時(shí)，為型，利用洛必達(dá)法則有

11、 例：求 解： 令 2.2.6冪指函數(shù)的極限的求法 利用下述命題 如果 （），且A,B均為有限常數(shù)，則. 換底法 利用重要極限 下列命題亦可用：命題1：設(shè)與是定義在上的兩函數(shù)，且， ，則命題2：設(shè)，則命題3：設(shè)在上有定義，a,b,c為常數(shù)，則，2.2.7求極限時(shí)必須考慮左，右極限的幾種函數(shù)(1) 求含的函數(shù)x趨向無(wú)窮的極限，或求含的函數(shù)x趨于0的極限;(2) 求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;4 含偶次方根的函數(shù)以及或的函數(shù)，趨向無(wú)窮的極限. 至此，我們介紹了求極限的幾種主要方法，而求極限的方法并非僅有以上幾種，有些方法我們還沒(méi)有找到規(guī)律，形成系統(tǒng)，也有些方法我們尚未尋到，

12、為更好，更快，更準(zhǔn)確地求極限，我們需要熟練掌握現(xiàn)有方法，只有這樣我們才能更好的探索，尋求未知方法以解決求極限問(wèn)題。 參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析上冊(cè). 北京: 高等教育出版社, 2001年.2毛綱源. 高等數(shù)學(xué)解題方法技巧歸納（上冊(cè)）. 華中科技大學(xué)出版社, 2001年8月.3謝慧民,惲自求,易法槐,錢(qián)定邊. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義.北京: 高等教育出版社.2003年6月.4姚允龍. 數(shù)學(xué)分析.上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社. 2002年8月. 5裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法. 北京: 高等教育出版社. 1988年8月.6同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 彭周、 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 姬燕妮. 數(shù)學(xué)分

13、析同步輔導(dǎo).航空工業(yè)出版社.2005年.致 謝我的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）撰寫(xiě)工作自始至終都是由邱桂紅老師全面、具體的指導(dǎo)之下進(jìn)行的。邱桂紅老師淵博的學(xué)識(shí)、敏銳的思維、民主而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)，使我受益非淺，終生難忘。邱老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和對(duì)工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠(yuǎn)激勵(lì)和鞭策我認(rèn)真學(xué)習(xí)、努力工作。感謝我的指導(dǎo)老師邱老師對(duì)我的關(guān)心、指導(dǎo)和教誨！感謝我的學(xué)友和朋友對(duì)我的關(guān)心和幫助！About sequence limit and limit of function solution analysisWang Yali Directed by Prof.Qiu guihongAbstract In ma

14、thematical analysis, limit knowledge system including sequence limit and limit of function. In the solution sequence limit's method, we embark from the limit definition, according to the limit nature as well as the correlation theorem principle, for example has restraining to prove the limit monotonously; Moreover, regarding limit of function's solution, in the article lists six types, according to the function sequence's definition, the nature obtains the related theorem and the principle, regarding the different type, uses the different method. The above method and strengt