一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系李麗俠

1、一元二次方程的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系韋達韋達李麗俠一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac0)（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-22123（3）3x2-4x+1=03134311方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0

2、-341271-3- 4- 4-1-221233134311若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的兩根為x1、x2, 則 21xx . 21xx . abacaacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac證明：證明：設(shè)ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1、x2,則一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 = ab-ac注：能用公式的前提條件為=b2

3、-4ac0在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 時，時， 注意注意“ ”不要漏寫。不要漏寫。ab如果方程x2+px+q=0的兩根是X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2= .Pq 一元二次方程一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系是是法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家“韋達韋達”發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)的,所以我們又所以我們又稱之為稱之為韋達定理韋達定理.說出下列各方程的說出下列各方程的兩根之和兩根之和與與兩根之積兩根之積：(1) x2 - 2x - 1=0(3) 2x2 - 6x =0(4) 3x2 =

4、4(2) 2x2 - 3x + =021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是的一個根是2 , 求它的另一個根及求它的另一個根及k的值的值.解法一解法一：設(shè)方程的另一個根為設(shè)方程的另一個根為x2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得由根與系數(shù)的關(guān)系，得2 x2 = k+12 x2 = 3k解這方程組，得解這方程組，得x2 =3 k =2答：方程的另一個根是答：方程的另一個根是3 , k的值是的值是2.例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是的

5、一個根是2 , 求它的另一個根及求它的另一個根及k的值。的值。解法二解法二：設(shè)方程的另一個根為設(shè)方程的另一個根為x2.把把x=2代入方程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解這方程，得解這方程，得 k= - 2由根與系數(shù)的關(guān)系，得由根與系數(shù)的關(guān)系，得2 x23k即即2 x26 x2 3答：方程的另一個根是答：方程的另一個根是3 , k的值是的值是2.例例2、方程、方程2x2-3x+1=0的兩根記作的兩根記作x1,x2， 不解方程，求：不解方程，求： （1） ; （2) ;(3) ; (4) .2221xx 2111xx) 1)(1(21xx21xx 另外幾種常見的求值另外幾種常見的求值

6、:2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx1、已知方程、已知方程3x219x+m=0的一個根是的一個根是1，求它的另一個根及求它的另一個根及m的值。的值。2、設(shè)、設(shè)x1,x2是方程是方程2x24x3=0的兩個根，求的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值的值.解：設(shè)方程的另一個根為解：設(shè)方程的另一個根為x2,319則x2+1= , x2= ,316又x21= ,3m m= 3x2 = 16 解：解：由根與系數(shù)的關(guān)系由根與系

7、數(shù)的關(guān)系,得得x1+x2= - 2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=2325212 xx21xx411412，xx，xx的兩個根為方程設(shè)014. 3221則：則：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx 求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式兩根之積的形式,再整體代入再整體代入. 4. 4.已知方程的兩個實數(shù)根已知方程的兩個實數(shù)根 是是且且 ， 求求k k的值的值. . 解：由

8、根與系數(shù)的關(guān)系得解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 x x1 1+x+x2 2=-k=-k， x x1 1x x2 2=k+2=k+2 又又 x x1 12+ x x2 2 2 = 4 = 4 即即( (x x1 1+ x x2 2)2 -2-2x x1 1x x2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8當當k=4k=4時，時， =-8=-80 0k=4(k=4(舍去）舍去）當當k=-2k=-2時，時， =4=40 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2, 1xx42221 xx6.已知關(guān)于已知關(guān)于x的方程的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩有兩個實數(shù)根個實數(shù)根x1、x2.（1）求實數(shù)）求實數(shù)m的取值范圍；的取值范圍；（2）當）當x12-x22=0時，求時，求m的值的值.6.（2013荊州）已知：關(guān)于荊州）已知：關(guān)于x的方程的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求證：無論）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（2）若此方程有兩個實數(shù)根）若此方程有兩個實數(shù)根x1，x2, 且且x1x2=2,求求k的值