第六章期權(quán)定價理論

1、第六章期權(quán)定價理論第一節(jié)期權(quán)價格的特性一、期權(quán)價格的構(gòu)成期權(quán)的內(nèi)在價值是期權(quán)多頭在行使期權(quán)時可以獲得的收益的現(xiàn)值。我們在第五章已經(jīng)介紹。下面我們介紹期權(quán)的時間價值。期權(quán)的價格等于期權(quán)的內(nèi)在價值加是時間價值。期權(quán)的時間價值是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動性越高， 期權(quán)的時間價值越大。此外， 期權(quán)的時間價值還受 期權(quán)內(nèi)在價值的影響，以無收益看漲期權(quán)為例，當(dāng)S =Xe（T_t）時，期權(quán)的時間價值最大，當(dāng)S -Xe（T4的絕對值增大時，期權(quán)的時間價值是遞減的。我們用例子來說明期權(quán)內(nèi)在價值與時間價值之間的關(guān)系。假設(shè)A股票（無紅利）的市價

2、為9.05元，A股票有兩種看漲期權(quán)，其協(xié)議價格分別為X1 =10元，X2 =8元，它們的有效期都是1年，1年期權(quán)無風(fēng)險利率為 10% （連續(xù)復(fù)利）。這兩種期權(quán)的內(nèi)在價值分別為 0和1.81（ 9.0 8e.1* 1.81 ）元，那么這兩種看漲期權(quán)的時間價值誰高？假設(shè)這兩種看漲期權(quán)的時間價值相同，都是2元，那么第一種期權(quán)的價格為2元，第二種期權(quán)的價格為 3.81元，此時投資者愿意買哪一種呢？我們比較這兩種期權(quán)，假定一年后 出現(xiàn)如下三種情況：0 1 *1情況一：St -14，那么期權(quán)持有者可從期權(quán)1中獲利：14-10-2e =1.79元，從期權(quán)2中獲利：14 -3.81e0.1* 1.79元，獲利

3、金額相等；0 1*1情況二：St =10，那么期權(quán)持有者在期權(quán)1上虧損：-2e.- -2.21元，期權(quán)2也虧： 3.81e0.rt1 =2.21 元；0 1*1情況三：St -8，期權(quán)1的虧損仍為2.21元，而期權(quán)2的虧損則為3.81e . -4.21元， 期權(quán)1的虧損小于期權(quán)2。由此可見，無論未來A股票的漲是跌還是平， 期權(quán)1均優(yōu)于期權(quán)2，因此期權(quán)1的時間 價值不應(yīng)該等于期權(quán) 2,而應(yīng)該大于期權(quán) 2。我們還可以比較下列兩個期權(quán)：X! =10和X2 =12 ,顯然這兩種期權(quán)都是內(nèi)在價值為零的看漲期權(quán)，通過分析可以得到，期權(quán)1的時間價值應(yīng)高于期權(quán) 2的時間價值。圖1無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的時間價值與

4、內(nèi)在價值的關(guān)系二、期權(quán)價格的影響因素期權(quán)價格的影響因素有六個， 他們通過影響期權(quán)的內(nèi)在價值和時間價值來影響期權(quán)的價 格。（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)協(xié)議價格由于看漲期權(quán)在執(zhí)行時， 其收益等于標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時的價格與協(xié)議價格之差，因此，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越高，協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格就越高；對看跌期權(quán)面而言，其收益等于 協(xié)議價格與標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時的價格之差，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越低， 協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格就越高。（二）期權(quán)的有效期對于美式期權(quán)而言，期限越長獲利機(jī)會就越多，因此期權(quán)的價格會越高。對于歐式期權(quán)，由于其只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權(quán)不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會，如標(biāo)的資產(chǎn)在期限長

5、的有效期內(nèi)有紅利支付（在知短的期限內(nèi)沒有），那么期限長的期權(quán)的價格就會低于期限短的期權(quán)。這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)的價格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。如果剔除了標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況，由于有效期長，標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險就越 大，空頭的虧損風(fēng)險就大，因此有效期長，其期權(quán)的價格就越高。（三）標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率（四）無風(fēng)險利率（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益標(biāo)的資產(chǎn)分紅付息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進(jìn)行調(diào)整，因此在期權(quán)的有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)的價格下降，并使看跌期權(quán)價格上漲。三、期權(quán)價格的上、下限1無套利定價法套利就是在某項(xiàng)金融資產(chǎn)的交易過程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下

6、獲取無風(fēng)險報酬。即套利就是一投資組合。例：假定市場條件如下：貨幣市場上美元利率是6%,馬克利率是10%;外匯市場上美元與馬克的即期匯率是1USD = 1.8DEM （1 : 1.8），問題是一年期的遠(yuǎn)期匯率是否還可以是1: 1.8呢？如果是，是否存在套利機(jī)會？答案是否定的，因?yàn)樵诖饲闆r下會產(chǎn)生無風(fēng)險的套利活動。套利者可以從貨幣市場借入1美元（一年后歸還 1.06美元）；在即期匯率市場上將 1美元兌換成1.8馬克（存入銀行， 一年到期可以得到 1.98馬克），同時在遠(yuǎn)期市場上以匯率1: 1.8賣出1.98馬克，期限為一年。那么一年后，套利者就可以在遠(yuǎn)期市場上換回1.1美元，在支付了原先借入 1美

7、元的本息1.06美元后，還有0.04美元的剩余，如果不計成本的話，這個剩余就是套利者獲得的無 風(fēng)險的收益，顯然，1: 1.8不應(yīng)該是遠(yuǎn)期匯率的價格，上述組合就是一套利機(jī)會。定義1若在整個交易時間0, T內(nèi)，投資人在決定投資 皿投資后，沒有加入新的資金， 也沒有資金被抽走或消耗，則稱投資策略門是自融資的。定義2 一個自融資策略被稱為在0, T內(nèi)存在套利機(jī)會（arbitrage opportunity ）,如 果存在時刻r 0,T，使得當(dāng)V0（）=O而Vt（G） 一0 且PrVt（G） 0 0定義3若對于任意的自融資策略 在任意時段11 0,T內(nèi)都不存在 套利機(jī)會, 那么稱市場在時段0, T內(nèi)是無

8、套利的。定理1若市場在時段0 , T內(nèi)是無套利機(jī)會的，則對于兩個投資組合：1和G 2，如果Vt3i)_VtG2)且pNVt(")Vt(2)0那么，對于任意的t 0,T，必有Vt(") W4)證明：反證法。若不然，一定存在時刻t 0,T，使得We：、)Zd)記E =Vt*C：2)-Vt*帥1)_0。在t 0,T時刻構(gòu)造新的投資策略化_門2 二BBt*那么可以證明：.九是在t* ,T時段內(nèi)存在套利機(jī)會。從而與定理的假設(shè)矛盾。推論 若市場在時段0，T內(nèi)是無套利的，如果兩個投資組合 門1和“2滿足,Vt(")二 VtC：2)那么對于任意的r 0,T，必有Vt(b) Ws)

9、證明：考慮組合:一2 B，； . 0則有VtC：c) = Bt0。由定理1知：對于任意的t 0,T，有«(化)訓(xùn)(匕)-皿2)B 0即v"i) W4)- Bt令； 0知：Vt("i) _Vt(：2)同理可證：VtC：、)vt(G2)。無套利定價的基本的思路是 ：構(gòu)建兩種投資組合，讓其終值期待，則其現(xiàn)值也一定相等;否則就會產(chǎn)生套利機(jī)會，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可獲取無風(fēng)險收益。2、期權(quán)價格的上、下限基本假設(shè)：1、市場不存在套利機(jī)會；2、 證券交易不付交易費(fèi)用（市場無摩擦）；3、無風(fēng)險利率r是常數(shù)。定理3對于有效期內(nèi)無收

10、益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，以下的估計式成立（考慮復(fù)利率）(2.1)(2.2)St Xe(Tr :：: Ct : StXe（T）_St :：: p： Xe（T±）證明：在0時刻，構(gòu)造兩個投資組合:"=c Ke_rT對于一張0時刻面值為Ke ”T的無風(fēng)險債券,若考慮復(fù)利率，有dBt.xTrdt BtB。二 Ke則有因此Vt(") =CtK 二 St -KVt2)=St所以 VtC：i） -VtC：2），且 PrVT“i） Vt”2）丄 PrK -St0? 0由定理1知:Vt(L) V“2)即ct Ke "(t 書 StCt 0所以證得了期權(quán)的下界。再構(gòu)造一投資組

11、合3二C，則Vt（S） =（St -K）有Vt（2）兇（門3）且 PrM（2）£（仁）？ 0由定理1知：St Ct（2.1）證畢。（2.2）的證明作為作業(yè)。定理4對于有效期內(nèi)有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，以下的估計式成立（考慮復(fù)利率）：St _ D _ Xe 丄（T: Ct : St（ 2.3）Xe（T® D St -： pt : Xe-r（T1）（2.4）其中D是期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值。四、期權(quán)價格曲線的形狀我們以無收益資產(chǎn)的情況為例。1、看漲期權(quán)的價格曲線看漲期權(quán)價格虛值期權(quán)_r(T _t)實(shí)值期權(quán)=Xe2、看跌期權(quán)的價格曲線（略）五、歐式看漲、看跌期權(quán)的平價公式定理5

12、看漲一一看跌平價公式（無收益資產(chǎn)）：c Xe J（T 丄）=S p定理6看漲一一看跌平價公式（有確定現(xiàn)金收益資產(chǎn)，收益的現(xiàn)值為D）:c XeO D =S p第二節(jié)期權(quán)定價的二叉樹模型基本假設(shè)：1、市場不存在套利機(jī)會；2、 證券交易不付交易費(fèi)用（市場無摩擦）；3、無風(fēng)險利率r是常數(shù)。4、股票是無限可分的。一、一個例子假定原生資產(chǎn)一一股票在 t= 0時刻的價格為So = 40元，一個月后（T = 1/12 ），它有兩種可能性：上揚(yáng)到 45元或下跌到35元。那么在t =0時刻購買一張一個月到期，廟宇 價格K =40的平價期權(quán)，問應(yīng)該支付多少期權(quán)金？（假定一年期的存款利率為根據(jù)期權(quán)到期時的收益12%

13、)。=：45 一40皆=：5元；若股票因此有VtC：）二Vt（L）6 = St - 40 i在t =T時刻，期權(quán)的價值亦有兩種可能性：若股票上揚(yáng),價格下跌，則cT二35 一40 =0元，即期權(quán)一文不值。在t =0時刻，構(gòu)造一個投資組合：在到期日t =T，該組合的價值也有兩種可能性:若股票價格上揚(yáng),VT（）=45-2 5 =35若股票價格下跌Vt（G）=35-2 0 =35即在到期日，該組合具有確定的值M3） =35元。另外在t二0時刻，構(gòu)造一個投資組合1 ：缶35一耳=B34.65 （兀）1 0.01那么在到期日t =T （即一個月后），組合的收益12Vt（i）=B 漢 1+ X12% = 3

14、5 （元）由無套利假設(shè)及其推論，知:Vo3）二Vo（"）So - 2Co = B由此得:歸鳴2.6952c0 = 2.695 元。這表明投資者為了購買這張期權(quán)，在t =0時刻應(yīng)該支付期權(quán)金這個例子的關(guān)鍵在于:（1）由風(fēng)險資產(chǎn)一一股票 S的看漲期權(quán)限c構(gòu)造一個無風(fēng)險投資組合這就是對沖的思想；（2）求得的期權(quán)價格 & =2.695元與每個投資者對未來價的期望無關(guān)，因此所得的價格就是期權(quán)的風(fēng)險中性價格。二、期權(quán)定價的一期模型關(guān)于風(fēng)險資產(chǎn)（股票、外匯等）的價格變化規(guī)律的研究，從最簡單的模型一一單時段雙狀態(tài) 模型開始。以此為基礎(chǔ)，我們討論如何利用無套利原理，求出它的衍生物一一期 權(quán)的價

15、格。假設(shè)市場由兩個資產(chǎn)構(gòu)成：無風(fēng)險資產(chǎn)B和風(fēng)險資產(chǎn)S （股票）。單時段（one period）:是指交易只在時刻0,T的初始時刻t以及終止時刻t =T進(jìn)行。雙狀態(tài)（two state）:是指風(fēng)險資產(chǎn)的價格在未來 t二T時刻只有兩種可能性：S-T和 ST。我們的問題是：假如在t時刻，風(fēng)險資產(chǎn)的價格為 S0，預(yù)期在t=T時，它的價格可能是：S； = US）和sT = dS0這里U?，F(xiàn)投資者在t購買一張到期日為 T,敲定價格為X的看漲期權(quán)，如果在0，T 時段無風(fēng)險利率為r，那么該看漲期權(quán)的價格為多少？在t =T時刻，期權(quán)的價格為CT = St _K即在到期日，期權(quán)的價格也有兩種可能性：cT = （u

16、S。 K ）+和cT = （dS。 K ）中我們的思想是：構(gòu)造無風(fēng)險的投資組合。試想賣出一張看漲期權(quán)，出售方必然面臨風(fēng)險， 為了回避這個風(fēng)險，出售方要采取適當(dāng)?shù)牟呗詫︼L(fēng)險進(jìn)行控制，即買進(jìn)適當(dāng)份額的股票與它對沖，使得組合為無風(fēng)險的。記這個份額為 厶，這就是厶一對沖的思想。構(gòu)成投資組合 門：購買一份股票，賣掉二份看漲期，使得該組合是無風(fēng)險的， 這稱為厶 對沖（ -hedging ）。利用厶一對沖技巧，我們給出期權(quán)的定價公式。假定厶存在，使得 門是無風(fēng)險的，即有t=T時刻，門的價值VtCE = St - - -Ct是確定的，即無風(fēng)險的。既然是無風(fēng)險的，那么 門的投資增長率為無風(fēng)險利率r （不計復(fù)利）

17、，即VtC W 町二（1 r）V°3）由此得：St - - Ct =:由于在t =T時刻股票價格有兩種可能性，所以在 于構(gòu)造的無風(fēng)險組合，那么我們有耳-AcT = H 心由（3.1）和（3.2），我們知：Is-心 cT = P（S-心 c）qS_Ac； = P（S_Ac）在這里，厶和c是未知量。解之得：u dCT _ CT那么（3.1）t =T組合的價值也有兩種可能性，但由（3.2）1 (pd(3.3)(3.4)由無套利假設(shè)知:事實(shí)上，若d 一 '，則用無風(fēng)險利率借入 So的資產(chǎn)，然后購買一支股票，在到期日t二T時,股票的最少價格為dSo，用賣出股票的錢還債則有無風(fēng)險收益（最

18、少）So(d)-0這個組合是一套利機(jī)會，與假設(shè)相矛盾。同理可得：? : u。定義新的概率測度 Q:duquPr St fu d易知:=Pr s = STqu qd -1o qu,qd 1從而（3.4）可以改寫為udu CTqd CT=4 EQ(Ct)(3.5)這里的EQ（CT）表示在概率測度 Q下,隨機(jī)變量Ct的數(shù)學(xué)期望。我們通常也將測度 Q稱為風(fēng)險中性測度，（3。5）式告訴我們，看漲期權(quán)的價格也可以定理1在概率測度解釋為在風(fēng)險中性概率條件下，期權(quán)價格是其收益期望值的折現(xiàn)。Q下，看漲期權(quán)在t = 0時刻的貼現(xiàn)價格是期權(quán)到期日價格貼現(xiàn)值的數(shù)學(xué)期望，即Bo(3.6)注意:eq(Sl)二Bt汨0EQ

19、(St)盒g(shù) qd碟唱Eq(St) -s。S0BT S0BoS0S0Bt -B0V這說明在概率測度 Q下，風(fēng)險資產(chǎn)S在t二T時刻的期望回報與無風(fēng)險資產(chǎn)的期望回報相同,我們把具有這個性質(zhì)的金融市場稱為風(fēng)險中性世界。在這樣的世界中，所有的投資者對風(fēng)險不要求補(bǔ)償，所有證券的預(yù)期收益率都是無風(fēng)險利率。由此，我們把以上定義的測度Q稱為風(fēng)險中性測度，在風(fēng)險中性測度下給出的期權(quán) 定價公式稱為風(fēng)險中性價格。例1設(shè)股票價格為S=21，股票價格以p=0.5的概率向上和向下波動，無風(fēng)險利率 為15%，u -1.4，d -1.1，那么股票的變化情況為試求協(xié)議價格為 X =22的看漲期權(quán)的價格（到期日就是 T時刻）。解

20、：由上面的分析，Cu =29.4 -22 = 7.4，Cd =1.1qu1.15 -1.1 _ 51.4 -1.1 "30qd 二1_ qu = 2530，,=7.4-1.1 = 121x0.3所以看漲期權(quán)的價格為quCu qdCd5/30 7.4 25/30 1.1C1.871 +r1.15說明：1、由此可知，構(gòu)造投資組合所需的投資為：21 -1 1.87 =19.13，而在期末投資的總價值為：uS cT =29.47.4=22 ；222、此投資組合的回報率為：1.15 =1 r19.13一期模型的期權(quán)定價公式有三人個有趣的性質(zhì)：1、期權(quán)的價格不依賴于股票價格上升或下降的概率；2、

21、投資者對風(fēng)險的態(tài)度與期權(quán)定價公式無關(guān)，我們只假設(shè)投資者偏好更多的財富；3、股票價格是期權(quán)價值惟一依賴的隨機(jī)變量。3.3期權(quán)定價的二期模型下面我們討論二期模型。無風(fēng)險債券B：無風(fēng)險利率為r為常數(shù)，且每期復(fù)利一次，即期初為B。的無風(fēng)險債券，到二期結(jié)束時的價值為 B2二B0 1 r 2。在本例中，設(shè)r = 15% 。股票S：經(jīng)歷兩期，每期都有兩個狀態(tài)：向上uS，向下dS。不妨假定：u = 1.4, d =1.1 o根據(jù)假定，可知：uSqudSo = 32.34dS0 =23.1'"0 = 25.41t =0t =1t =2So =21由一期模型的討論知：風(fēng)險中性概率Pd 1.151

22、.1“ FA CC CC/qu167 % , qd = 1 - qu = 83.3%u - d 1.4 -1.1我們考慮看漲期權(quán)：到期日為t = 2時刻，敲定價格為 K = 22。那么在t = 0時刻，期得:Co 二 qu°u qdCd quCuu * 2qu qd Cud * qdCddCoqu5 qdCdP16.7% 10.2783.3% 3.97115%-4.36從t =1到t = 2，可以看作一期模型，因此可以得到:qu Cuu * qd CudCuuJ16.7% 19.1683.3% 10.3410.27115%qu Cud * qd CddCd - 16.7% 10.34

23、 83.3% 3.41“3.97 115%同理，從t = 0到t =1仍可以看作一期模型，那么有如果期權(quán)的執(zhí)行價格為 K -30，貝V Cuu =11.16，Cud =2.34，Cdd = 0，則期權(quán)的價格為2C0= 0.7276 （元）16.711.162*16.7* 83.3* 2.341152第三節(jié)BS期權(quán)定價公式金融資產(chǎn)的定價問題是現(xiàn)代財務(wù)金融理論的一個基本問題。對于具有固定現(xiàn)金流的金融 資產(chǎn)（如債券），其價格都是通過凈現(xiàn)值方法來確定的。運(yùn)用凈現(xiàn)值方法需要事先確定一個適當(dāng)?shù)恼郜F(xiàn)率，即資本成本和未來現(xiàn)金流。按照財務(wù)理論，該折現(xiàn)率的大小應(yīng)該與投資風(fēng)險大小成正比，也就是它應(yīng)該由無風(fēng)險利率和風(fēng)

24、險溢價組成。對于期權(quán)來講，其風(fēng)險究竟有多大？如何計算出相應(yīng)的風(fēng)險溢價以及未來的現(xiàn)金流？這些都是較難解決的問題?；A(chǔ)知識和基本假定定義1隨機(jī)過程 W(t),t _0被稱為Brown運(yùn)動或 Wiener過程，如果滿足:1)軌道連續(xù)： W(0) =0，且W(t)是t的連續(xù)函數(shù);2)增量正態(tài)分布：對固定的t，W(t) : N(0,t)，以及對t s有W(t) -W(s) ： N(0,t -s)3)增量獨(dú)立：若0注:t2J，有W(tJ -W(tn),W(tn)-W(tn)/-W(tJ 與 W(tJ 與 W(tJ都是相互獨(dú)立的。定義2f (t)是非預(yù)測的隨機(jī)過程，在0,T作一個剖分:0 = t°

25、 : b ： tN =T作積:f(tk)W(tk 1)-W(tk)求和:N /l .(f)八f(tk)W(tk i)-W(tk)k=0如果極限N -4lim.,(f) =limjfSWLJ-Wg3° k=0存在，其中A=0mmaxjtk+-tk)，且此極限與剖分無關(guān)，則稱此極限值為f的如積分,記作:TN 40 f(t)dW(t) =limf(tk)W(tk-W(tk)k=0注意：這個積分定義與通常的Riemann積分的定義是有差別的。定理(Ito公式) 設(shè)V(t)二V(S,t)，其中V(t)是二元可微的。若隨機(jī)過程S(t)適合隨機(jī)微分方程dS(t)二叫St,t)dt ；(S,t)dW

26、£V 和eV 1 2eVeVdV(t)=(St,t)+(St ,t)2)dt 二(S,t)dWtctcS 2gScSIto公式是隨機(jī)分析中復(fù)合函數(shù)求微分的法則。一、基本假設(shè)：1) 股票價格S(t)滿足隨機(jī)微分方程：二dt ；dW(t), S(0) = So(4.1)S(t)其中，叫二是常數(shù)。我們稱股票價格服從幾何布朗運(yùn)動。七2) 股票市場允許賣空；3) 沒有交易費(fèi)用或稅收；4) 所有證券都是無限可分的；5) 證券在有效期內(nèi)沒有紅利支付；6) 不存在無風(fēng)險套利機(jī)會；7) 交易是連續(xù)進(jìn)行的；8) 無風(fēng)險利率r是常數(shù)。二、BS期權(quán)定價公式設(shè)cn (t,S)表示t時刻的期權(quán)價格，它是時間和股票價格的函數(shù)，假定-(t,x)關(guān)于t有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于 x有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。(一) B S微分方程構(gòu)造組合：二=c-S選取適當(dāng)?shù)嫩?，使得?t,t dt)時段內(nèi)，二是無風(fēng)險的。設(shè)在時刻t形成投資組合二，并在(t,t dt)內(nèi)，不改變份額。那么由于二是地風(fēng)險的，因此在時刻t dt，投資組合的回報=rdtdct - dS = r 二tdt 二 r(c - SJdt由于St是滿足(4.1)的隨機(jī)過程，而Ct 9(t,S)是St的函數(shù)，所以de二丨，