平行四邊形的判定定理提高知識講解

1、平行四邊形的判定定理(提高)責編：杜少波【學習目標】1 .平行四邊形的四個判定定理及應用，會應用判定定理判斷一個四邊形是不是平行四邊形.2 .會綜合應用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單的幾何問題.【要點梳理】要點一、平行四邊形的判定1 .兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2 . 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3 .兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4 .兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5 .對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點詮釋：(1)這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定同一個行四邊形時，應選擇較簡單的方法 .(2)這些判定方法既可

2、作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).【典型例題】類型一、平行四邊形的判定C1、如圖，點A B、C在正方形網(wǎng)格的格點上(小正方形的邊長為單位1).(1)在圖中確定格點 D,并畫出以A、B C D為頂點的平行四邊形.(2)若以C為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，則你確定的點D的坐標是得出平行四邊形得出平行四邊形得出平行四邊形是(-2 , -2 ),ACBD, D的坐標ABCD, D2的坐標ABDC, D3的坐標0),【思路點撥】(1)分為三種情況：以 AC為對角線時、以AB為對角線時、以BC為對角線時, 畫出圖形，根據(jù) A、B、C的坐標求出即可；(2)在(1)的基礎

3、上，把y軸向左平移了一個單位，根據(jù)平移性質(zhì)求出即可.【答案與解析】(1)解：從圖中可知 A (-3 , 2), B (-4 , 0) C (-1 ,以AB為對角線時, 是(-6 , 2),以AC為對角線時,是(0, 2),以BC為對角線時,(2)解：以C為原點，BC所在直線為x軸，建立直 角坐標系，D的坐標是(-1 , 2), (1, 2), (-5, 2), 故答案為：（-1 , 2）或（1, 2）或（-5, 2）.【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標與圖形性質(zhì)的應用，主要考查學生能否運用平行四邊形的性質(zhì)進行計算，注意：一定要進行分類討論.舉一反三【變式】（2016?呼倫貝爾）如圖，

4、分別以 RtAABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊ACD及等邊 ABE,已知：/ BAC=30° , EFXAB ,垂足為 F,連接 DF.（1）試說明AC=EF ;（2）求證：四邊形 ADFE是平行四邊形.【答案】證明：（1） RtAABC 中，/ BAC=30 , .AB=2BC ,又 ABE是等邊三角形， EFXAB ,.AB=2AF.AF=BC ,在 RtAAFE 和 RtABCA 中，嚴BC（AE-BA RtAAFE RtA BCA （HL）, .AC=EF ;（2） .ACD是等邊三角形， .Z DAC=60 , AC=AD , / DAB= / DAC + Z BAC

5、=90又 EFXAB , EF / AD , . AC=EF , AC=AD , EF=AD , 四邊形ADFE是平行四邊形. 2、類比學習：一動點沿著數(shù)軸向右平移3個單位，再向左平移 2個單位，相當于向右平移1個單位.用實數(shù)加法表示為3+ （-2） =1.若坐標平面上的點作如下平移： 沿x軸方向平移的數(shù)量為 a （向右為正，向左為負，平移|a| 個單位），沿y軸方向平移的數(shù)量為 b （向上為正，向下為負，平移 |b|個單位），則把有序 數(shù)對a, b叫做這一平移的“平移量”；“平移量” a, b與“平移量” c , d的加法運算法則為a , b+c , d=a+c , b+d.解決問題：(1)

6、計算：3, 1+1 , 2; 1 , 2+3 , 1;(2)動點P從坐標原點O出發(fā)，先按照“平移量” 3, 1平移到A,再按照“平移量”1 , 2平移到B;若先把動點P按照“平移量” 1 , 2平移到C,再按照“平移量”3, 1平移，最后的位置還是點B嗎？在圖1中畫出四邊形 OABC證明四邊形 OAB%平行四邊形.(3)如圖2, 一艘船從碼頭 O出發(fā)，先航行到湖心島碼頭P (2, 3),再從碼頭P航行到碼頭Q (5, 5),最后回到出發(fā)點 O.請用“平移量”加法算式表示它的航行過程.圖1U 圖）【思路點撥】(1)本題主要是類比學習，所以關鍵是由給出的例題中找出解題規(guī)律， 即前項 加前項，后項加

7、后項.(2)根據(jù)題中給出的平移量找出各對應點，描出各點，順次連接即可.(3)根據(jù)題中的文字敘述列出式子，根據(jù)(1)中的規(guī)律計算即可.【答案與解析】四邊形OAB%平行四邊形.(3)從O出發(fā)，先向右平移 2個單位，再向上平移 3個單位，可知平移量為2, 3, 同理得到P到Q的平移量為3 , 2,從Q到O的平移量為-5,-5,故有 2 , 3+3 , 2+-5 , -5=0 , 0.【總結(jié)升華】 本題考查了幾何變換中的平移變換，解答本題關鍵是仔細審題，理解題目給出的信息，對于此類題目同學們不能自己憑空想象著解答，一定要按照題目給出的思路求解， 克服思維定勢.舉一反三：【變式】一動點沿著數(shù)軸向右平移5

8、個單位，再向左平移2個單位，相當于向右平移 3個單位.用實數(shù)加法表示為5+ (-2) =3.若平面直角坐標系 xOy中的點作如下平移：沿 x軸方向平移的數(shù)量為 a (向右為正，向左為 負，平移|a|個單位)，沿y軸方向平移的數(shù)量為 b (向上為正，向下為負，平移|b|個單位)， 則把有序數(shù)對a, b叫做這一平移的“平移量”.規(guī)定“平移量”a, b與“平移量” c ,d的加法運算法則為a , b+c , d=a+c , b+d.(1)計算：3, 1+1 , 2;(2)若一動點從點A (1, 1)出發(fā)，先按照“平移量” 2, 1平移到點B,再按照“平移量”-1 , 2平移到點C;最后按照“平移量”

9、 -2, -1平移到點D,在圖中畫出四邊形 ABCD 并直接寫出點D的坐標；(3)將(2)中的四邊形ABCDa點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)90° ,點B旋轉(zhuǎn)到點E,連結(jié)AE、 BE若動點P從點A出發(fā)，沿 AEB的三邊AE、EB BA平移一周.請用“平移量”加法算式表示動點P的平移過程.解：(1) 3, 1+1 , 2=4 , 3;(2) B 點坐標為：(1+2, 1+1) = (3, 2); C點坐標為：(3-1 , 2+2) = (2, 4); D點坐 標為：(2-2 , 4-1 ) = (0, 3);(3)點A至點E,向右平移1個單位，向下平移 2個單位；點E至點B,向右平移1個單位，

10、向上平移 3個單位；點B至點A,向左平移2個單位，向下平移1個單位；故動點P的平移過程可表示為：1 , -2+1 , 3+-2 , -1.O,如寸角線相交于點Q直線2點O,分另歸A5 CD 的延長線交于點 E, F.求證：四邊形 AECF是平行四邊形.【思路點撥】平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應先分析題目中給的哪一方面 的條件多些，本題所給的條件為四邊形ABC比平行四邊形，可證 OF=OE OA=OC根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用“對角線相互平分的四邊形為平行四邊形”來解決.【答案與解析】證明：四邊形 ABC虛平行四邊形，OD=OB OA=OC1. AB/ CD/ DFO= B

11、EO / FDO= EBQ在 FDO和 EBO中，DFO= BEOFDO= EBO,OD=OB.FD堂 EBO (AAS ,OF=OE四邊形AECF是平行四邊形.【總結(jié)升華】 平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別， 同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.類型二、平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理的綜合運用4、(2015?可南模擬)如圖， ABC中AB=AC點D從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時， 點E從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已點知 D E移動的速度相同，DE與直線BC相交 于點F.(1)如圖1,當點D在線段AB上時，過點D作AC的平行線交BC于點G連接CD GE,

12、判 定四邊形CDGE勺形狀，并證明你的結(jié)論；【思路點撥】（1）由題意得出BD=CE由平行線的性質(zhì)得出/（2）過點D作直線BC的垂線垂足為 M當點D、E在移動的過程中，線段 BM MR CF有何 數(shù)量關系？請直接寫出你的結(jié)論.DGBgACB由等腰三角形的性質(zhì)得出/ B=/ACB得出/ B=Z DGB證出 BD=GD=CE即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：BD=GD=CE由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BM=GM由平行線得出GF=CR即可得出結(jié)論.【答案與解析】解：（1）四邊形CDG段平行四邊.理由如下：如圖 1所示:. a e移動的速度相同，.BD=CE DGI AE,DGBgACB.AB=AQB=

13、/ACB/ B=Z DGB.BD=GD=C E又. DG/ CE(2) BM+CF=M;F理由如下：如圖 2所示: 由(1)得：BD=GD=CE .DML BC.BM=GM DGI AE.GF=CF.BM+CF=GM+GF=MFA熟練掌握等【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì);腰三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關鍵.舉一反三【變式】如圖，已知四邊形 ABCM平行四邊形，AH BD于E, CHBD于F.(1)求證：BE=DF(2)若 M N分別為邊AR BC上的點，且DM=BN試判斷四邊 形MENFF勺形狀(不必說明理由).【答案】 解：(1)二.四邊形

14、 ABC虛平行四邊形,AB=CD , AB/ CD, / ABDh CDBAE± BD于 E, CF± BD于 F, / AEB4 CFD=90 , .AB* CDF (AAS),BE=DF(2)四邊形MENF平行四邊形.證明：由(1)可知：BE=DF 四邊形ABCM平行四邊形，AD/ BC, ./ MDB= NBD DM=BN DM四 BNENE=MF / MFD= NEB ./ MFE= NEFMF/ NE, 四邊形MEN陛平行四邊形.5、如圖，已知在 YABCD43, E、F是對角線 BD上的兩點，BE=DF點 G H分別在 BA 和DC的延長線上，且 AG=CH連接

15、GE EH HR FG.(1)求證：四邊形 GEHF平行四邊形；(2)若點G H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則(1)中的結(jié)論是否成立？(不 用說明理由)G【思路點撥】(1)先由平行四邊形的性質(zhì)，得 AB=CD AB/ CD根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等 得/ GBEh HDF再由SAS可證 GB總 HDR利用全等的性質(zhì)，證明/ GEFh HFE從而得 GE HF,又GE=HF運用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證.(2)仍成立.可仿照(1)的證明方法進行證明.【答案與解析】(1)證明：二四邊形 ABC皿平行四邊形，AB=CD AB/ CD / GBEh HDF又 AG=CH BG=DH又BE=DF . .GBE HDFGE=HF / GEBW HFD / GEF4 HFE,.GE/ HF, 四邊形 GEHF平行四邊形.(2)解：仍成立.(證法同上)【總結(jié)升華】 本題考查的知識點為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.舉一反三【變式】如圖， YABCD43,對角線 AC, BD相交于 O點，AE! BD于E, CF± BD于F, BGL AG 于G, DH±AC于H.求證：四邊形