我們考察數(shù)域P上全體mn矩陣的集合Mn

1、 我們考察數(shù)域P上全體mn矩陣的集合Mn,n(P)和數(shù)域P上全體n維向量集合（即n維向量空間）Pn, 可以看出，這兩個(gè)集合中元素的加法與數(shù)域P中數(shù)與集合元素之間的數(shù)量乘 法都有十分相似的運(yùn)算性質(zhì).如果它們抽象出來(lái)，就得出一般線性空間的概念. 7.1 線性空間的概念線性空間的概念 定義定義7.1 設(shè)V為一個(gè)非空集合,P是一個(gè)數(shù)域.假若V上定義了一個(gè)代數(shù)運(yùn)算(通常叫加法加法):對(duì)V中任意兩個(gè)元素a, 定的法則,都有唯一確定的元素r與它們對(duì)應(yīng),稱r為a與 的和,記r=a+ ; 又定義了P中數(shù)與V中元素的一種代數(shù)運(yùn)算(通常叫數(shù)量乘法):對(duì)任意kP,aV,按照某種固定的法則,都有V中唯一確定的元素與它們

2、對(duì)應(yīng),稱為k與a的數(shù)量乘積, 記并且,這兩種代數(shù)運(yùn)算都滿足下列運(yùn)算規(guī)律:,rVk lP 有(1)加法交換律:(2)加法結(jié)合律:()()對(duì)任意,按某種固=ka.(3) 零元素:在V中存在一個(gè)元素(記作0),使對(duì)任意aV有a+0=a;(4) 負(fù)元素:對(duì)任意aV,都存在一個(gè)依賴于a的元素(通常叫做a的負(fù)元素),記為-a,使a+(-a)=0;(5) 1a=a;(6) k(la)=(kl)a;(7) (k+l)a=ka+la;(8)( + )()k akak 則稱集合V連同上面的兩種代數(shù)運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)數(shù)域P上的線性空間,記為V/P或(V/P,+,)或(V,+, )或簡(jiǎn)記為V.特別地,當(dāng)P為實(shí)數(shù)域時(shí),稱V為

3、實(shí)線性空間實(shí)線性空間;當(dāng)P為復(fù)數(shù)域時(shí),稱V為復(fù)線性空間復(fù)線性空間. 習(xí)慣上,我們把數(shù)域P上的線性空間V中的元素也稱為向量,用小寫希臘字母, , 字母a,b,c,表示。 例例1 設(shè)V= a加法為a+a=a;對(duì)任意kP,規(guī)定ka=a.則V構(gòu)成數(shù)域P上線性空間，稱為零空間零空間，記成V= 0 例例2 n維向量空間Pn對(duì)向量加法、數(shù)量乘法構(gòu)成一個(gè)線性空間.特別地,Rn對(duì)向量加法、數(shù)量乘法構(gòu)成一個(gè)實(shí)線性空間.表示，而把數(shù)域P中的數(shù)用小寫英文只含有一個(gè)元素，P為數(shù)域，規(guī)定V中或V=0. 例例3 數(shù)域P上全體mn矩陣的集合Mm,n(P)對(duì)矩陣加法和數(shù)量乘法構(gòu)成一個(gè)線性空間，稱為矩陣空間，記為Mm,n(P)

4、（或Pmn).如果m=n，通常把Mm,n(P)簡(jiǎn)寫為Mn(P),它是由數(shù)域P上全體n級(jí)矩陣的集合對(duì)矩陣的加法、數(shù)量乘法構(gòu)成的線性空間. 例例4 設(shè)P為數(shù)域，取集合V=P，并規(guī)定V中加法就是數(shù)域P中的加法，P與V之間的數(shù)量乘法就是數(shù)域P中的乘法.則V=P構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間. 例例5 定義在閉區(qū)間a,b上的全體連續(xù)函數(shù)的集合對(duì)函數(shù)的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成實(shí)線性空間，記為Ca,b. 例例6 設(shè)R+為全體正實(shí)數(shù)的集合.規(guī)定R+中加法為ab=ab，a,bR+，實(shí)數(shù)域R與R+之間的數(shù)量乘法為k。a=ak, kR, aR+,則R+構(gòu)成一個(gè)實(shí)線性空間. 證明證明 對(duì)任意a，bR+，kR,有ab=abR+,ka

5、=akR+,所以R+對(duì)上述定義的加法和數(shù)量乘法是封閉的，且a,b,cR+, k,lR,有： (1) ab=ba; (2) ( ab) c=a(bc); (3) R+中零元素1，使1a=a1=a;(4) 對(duì)任意aR+，有負(fù)元素11aa ； ，使1Ra(5) 1a=a1=a; (6 ) k(la)=k(al)=(al)k=akl=(kl) a; (7) (k+l) a=ak+l=akal=akal=(ka) (la); (8) k(ab)=k(ab)=(ab)k=akbk=akbk=(ka) (kb), 所以R+構(gòu)成一個(gè)實(shí)線性空間. 例例8 設(shè)A為數(shù)域P上的mn矩陣，V為齊次線性方程組AX=0的全

6、部解的集合，則V為n維列向量空間Pn的一個(gè)子集合，且V對(duì)Pn中向量加法和數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域P 的線性空間。這就是前面我們所提到的解空間的概念。 （思考題：如果把齊次線性方程組換成非齊次線性方程組，其全部解的集合，如果非空的話，是否有可能構(gòu)成一個(gè)線性空間？） 因此，不論是幾何中的向量，微積分中的函數(shù)，還是矩陣，都可以抽象地作為我們線性空間中的元素（向量）。我們把它們的加法、數(shù)乘運(yùn)算抽象成一般線性空間中的加法、數(shù)乘運(yùn)算，去研究其共性，掌握一般規(guī)律。數(shù)域P上的線性空間V具有下列性質(zhì)：（1）線性空間V中的零元素是唯一的（因此我們可以把零元素用0表示）；（2）線性空間V中的任意元素a的負(fù)元素-a由a唯一確

7、定；（3）(-1)a=-a（4）ka=0當(dāng)且僅當(dāng)k=0或a=0 證明證明 我們只證明（1）和（2），（3）和（4）由讀者自己證明。設(shè)01和02都是V中零元素，則01=01+02=0.設(shè)aV有負(fù)元素12，則120,于是111212220()()0 利用負(fù)元素的概念，我們可以定義線性空間V中減法運(yùn)算如下：a-=a+(-). 類似第4章Pn中的討論，我們可以把線性組合、線性表出、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、極大線性無(wú)關(guān)組等概念照搬到一般線性空間中，并且相應(yīng)的結(jié)論也都成立，我們不再述。一、維數(shù)、基一、維數(shù)、基 類似于Pn中討論，可以在線性空間中引入維數(shù)、基的概念 定義定義7.2 7.2 設(shè)V為數(shù)域P上的線性空

8、間，如果V中有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組a1,a2,an,使得對(duì)任意一個(gè)向量V,都可由a1,a2,an線性表出,則稱V為n 維線性空間維線性空間，又稱12,na aa為V的一個(gè)基基，n稱V的維數(shù)維數(shù)，記dimV=n.7.2 維數(shù)、基和坐標(biāo)維數(shù)、基和坐標(biāo) 如果對(duì)任意正整數(shù)n，在V中都存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量a1,a2,an，則稱V為無(wú)限維線性空間無(wú)限維線性空間. 如果V為零空間0 ，則稱V的維數(shù)為0，即dimV=0.這時(shí)，V沒(méi)有基.不難看出，n維線性空間V的一個(gè)基實(shí)際上就是V的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，而dimV=n就是極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)，即秩。 需要指出，基是有序的向量組，同樣一個(gè)基向量組如果排列

9、順序不同，就是不同的基。例如，若n1，基12,na aa與基21,na aa就是兩個(gè)不同的基，有時(shí)，我們把基12,na aa簡(jiǎn)寫成a1,a2,an. 例例1 數(shù)域P上n維向量空間Pn中基本向量組 1=(1,0,0)， 2=(0,1,0)， n=(0,0,1)，是Pn的一個(gè)基（事實(shí)上，Pn中的基就是一個(gè)由n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量所組成的向量組），所以dimPn=n. 例例2 2 在數(shù)域P上全體n級(jí)矩陣所構(gòu)成的線性空間Mn(P)中,令Eij第(ij)元素為1，其余元素為0的矩陣，則Eij，1,1,injn 構(gòu)成Mn( P)的一個(gè)基，從而dimMn(P)=n2.事實(shí)上事實(shí)上 ，令110nnijijija

10、E，即, (0ijnna)故0ija 1,1,injn 所以,1,1,ijEinjn 線性無(wú)關(guān)。另一方面，對(duì)(0ijnnAa),顯然有11nnijijijAa E=任意n級(jí)矩陣?yán)? 3 零空間V= 0沒(méi)有基，其維數(shù)dimV=0 例例4 4 由數(shù)域P上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式全體，添上零多項(xiàng)式組成的集合Pnx，對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法，即如設(shè)111111(),(),nnnnnnfxaxa xapxgxbxb xbpx規(guī)定11111111( )( )()()(),( )(),nnnnnfxg xabxabxabkfxkaxkakakp構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間(請(qǐng)同學(xué)自己證明),則a1=1, a2=x,

11、 a3=x2,an=xn-1 是Pnx的一個(gè)基。由此，dimPnx=n.事實(shí)上，事實(shí)上，a1,a2,an顯然線性無(wú)關(guān)。又對(duì)任意111( ) ,nnnf xaxa xap x有1121( ),nnf xa aa aaa所以有dimPnx=n. 類似于定理4.5，我們有：設(shè)a1,a2,an為n維線性空間V的一個(gè)基，則V中任意向量都可以由a1,a2,an唯一地線性表出，即存在數(shù)域P上唯一的有序數(shù)組（k1,k2,kn）,使1 122nnk ak ak a 定義定義7.3 7.3 設(shè)a1,a2,an是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)基。若V，1 122nnx ax ax a則稱有序數(shù)組（x1,x2,xn）為

12、在基a1,a2,an下的坐標(biāo)，又稱xi為在基a1,a2,an下的第i個(gè)坐標(biāo)。二、坐標(biāo)二、坐標(biāo)(其中x1,x2,xnP),習(xí)慣上，如果1 122nnx ax ax a，則我們采用形式記號(hào)1212(,)nnxxa aax 顯然，n維線性空間V中向量在一個(gè)基a1,a2,an下的坐標(biāo)由這個(gè)基a1,a2,an和向量 唯一確定。易見(jiàn)，對(duì)線性空間V的任意一個(gè)基，兩個(gè)向量a, 之和(差)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于它們坐標(biāo)的和（差），數(shù)乘向量ka的坐標(biāo)就是1 122nnk ak ak a（） 一般地，同一個(gè)向量在不同基下的坐標(biāo)未必相同。，其中（x1,x2,xn）為a的坐標(biāo)。寫成例例5 5 在Pnx中，1，x,x2,xn-1是

13、一個(gè)基，令21121( ) nnnf xaa xa xaxpx則f(x)在這個(gè)基下的坐標(biāo)是11,naaa（）若在Pnx中另取一個(gè)基211,()()(),nxaxaxaap， ，則依f(x)在x=a處的泰勒展開式，得(1)1( )( )( )( )( )()()(),!(1)!nnfafaf xf afaxaxaxaan顯然f(x)在基211,()()nxaxaxa， ，下的坐標(biāo)為/(1)/( )( )( ),( ),!(1)!nfafaf afaan1 1223344,ax ax ax ax a123411,01xxxx 例例6 6 求向量a=（1,-4,-4,-6）P4在基a1=(1,1,3

14、,2), a2=(1,2,-1,3),a3=(2,3,-1,-1),a4=(3,-1,-2,-1)下的坐標(biāo)。寫成矩陣方程和12341123112314,3112423116xxxx解得即a在基1234,a a a a下的坐標(biāo)是（-1,-1,0,1）解解 設(shè)12,na aa 為研究線性空間中兩個(gè)基之間的聯(lián)系，先引入一個(gè)基到另一個(gè)基的過(guò)渡矩陣的概念，我們利用矩陣作為工具進(jìn)行研究。 定義定義7.4 7.4 設(shè)和12,n 線性空間V的兩個(gè)基，且1111212122222112212 1.nnnnnnnnnna aa aa aaaa aa aa aa aa a（1）三、坐標(biāo)變換公式三、坐標(biāo)變換公式為數(shù)域

15、P上n維采用形式記號(hào),(1)可寫成1212(,)(,)(2)nna aaA 其中111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa我們稱矩陣A為由基a1,a2,an到基12,n 顯然，基a1,a2,an到基12,n 列向量恰好是j在基a1,a2,an下的坐標(biāo)（寫成列向量），j=1,2,an到基12,n 的過(guò)渡矩陣為A，則從基12,n 到a1,a2,an過(guò)渡矩陣就是A-1。 （3）的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣的過(guò)渡矩陣A的第j個(gè)定義定義7.1 7.1 設(shè)a1,a2,an與12,n 兩個(gè)基，由基a1,a2,an到12,n 如果a為V中的任意向量，它在a1,a2,an和12,n 下的坐標(biāo)分別為（x1,x

16、2,xn）和12( ,)nx xx則111122221nnnnxxxxxxxxAAxxxx或（4）稱為坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 為n維線性空間V 的（4）的過(guò)渡矩陣是A。證明證明 設(shè)12112212(,)nnnnxxax ax ax aa aax12112212(,)nnnnxxaxxxx 則把（2）代入（5），得12112(,)nnxxaAx 比較（6）與（7），并注意到向量a在基12,n 下的坐標(biāo)是唯一的，即得（4） （5）（6）（7）例例7 7 已知1122(1,0,0)(1,0,0)(0,1,0)(1,1,0)(0,0,1)(1,1,1)nnaaa和分別是Pn中的兩組基，求坐標(biāo)變換公式

17、12341234,a aa a 到基的過(guò)渡矩陣為11 1111 00 00 110110 0,0 010000 1AA 且解解 從基設(shè)a在a1,a2,an下的坐標(biāo)是（a1,a2,an），a在12,n 下的坐標(biāo)是12(,)na aa，則1211232211nnnnnaaaaaaaaAaaaaa 我們知道,齊次線性方程組AX=0的全體解向量構(gòu)成一個(gè)向量空間W,即解空間W.比較解空間W與Pn之間的關(guān)系,我們可以看出W為Pn的非空子集，且對(duì)Pn中加法和數(shù)量乘法也構(gòu)成線性空間。 定義定義7.5 設(shè)V是數(shù)域P上線性空間，V1為V的非空子集。若V1對(duì)于V中加法和數(shù)量乘法也構(gòu)成P上的線性空間，則稱線性空間V1

18、是V的一個(gè)子空間子空間。7.3 子空間子空間 下面的定理告訴我們，判斷線性空間V的非空子集V1是否作成子空間，只要檢驗(yàn)V1是否對(duì)V中的加法、數(shù)乘運(yùn)算封才即可。 顯然，零空間0和整人空間V都是V的子空間，這兩個(gè)子空間稱為V的平凡子空間。平凡子空間。 定理定理7.2 線性空間V 的非空子集V1作成V的子空間的充要條件是對(duì)任意a，V1，kP,有a+V1,kaV1 證明證明 由于V1，設(shè)aV1,則0=a+(-1) aV1,且-a=(-1) aV1,只要注意到V1V，V1對(duì)V的加法、數(shù)量乘法也滿足定義7.1中的（1）（8），就不難得到定理7.2。 例例1 1 Pnx是Px的一個(gè)子空間。 證明證明 Pnx

19、=111,0,1,1nnaa xaxaiP in它對(duì)于Pnx中加法、數(shù)乘都是封閉的。由定理7.2知Pnx是Px的子空間。 類似于定理4.8的證明，可得 定理定理7.3 7.3 n維線性空間V的子空間V1的任一個(gè)基都可以擴(kuò)充為V的基。 定理 7.3告訴我們,n維線性空間V的基可以從它的子空間V1的基添加若干向量后得到。因此dimV1dimV. 設(shè)V1，V2都是線性空間V的子空間，則V1V2也是V的子空間，稱為V1與V2的交空間。交空間。設(shè)a1,a2,am為V中向量，則L（a1,a2,am）=112212,mmmk ak ak ak kkp也構(gòu)成V的一個(gè)子空間，稱為由a1,a2,am生（張）成的子

20、空生（張）成的子空間。間。它是V中包含12,ma aa的最小的子空間，是V中所有包含12,ma aa的子空間的交空間。 定理定理7.4 (7.4 (1)向量組a1,a2,am的任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都是L(a1,a2,am)的一個(gè)基； （2）由a1,a2,am張成的子空間L(a1,a2,am)的維數(shù)dim L(a1,a2,am)等于向量組a1,a2,am的秩，即dim L(a1,a2,am)= r(a1,a2,am) 證明證明 設(shè)ai1,ai2,air是a1,a2,am的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，則ai1,ai2,air與a1,a2,am等價(jià)。由L(a1,a2,am)的定義知L(a1,a2,am)中每個(gè)向量都可以