應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

1、第八章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論授課學(xué)時(shí)： 8 學(xué)時(shí)主要內(nèi)容：斜截面上的應(yīng)力；二向應(yīng)力狀態(tài)的解析分析和應(yīng)力圓。三向應(yīng)力簡(jiǎn)介。$8.1 應(yīng)力狀態(tài)概述單向拉伸時(shí)斜截面上的應(yīng)力1應(yīng)力狀態(tài)過(guò)構(gòu)件上一點(diǎn)有無(wú)數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱(chēng)為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)2單向拉伸時(shí)斜截面上的應(yīng)力n橫截面上的正應(yīng)力kNPAPAk斜截面上的應(yīng)力kkaPpapapaPPcosPkkAaAacos斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為apa coscos2apasinsin 22可以得出0 時(shí)max時(shí)4m a x2過(guò) A 點(diǎn)取一個(gè)單元體，如果單元體的某個(gè)面上只有正應(yīng)力，而無(wú)剪應(yīng)力，則此平面稱(chēng)為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。主單

2、元體若單元體三個(gè)相互垂直的面皆為主平面，則這樣的單元體稱(chēng)為主單元體。三個(gè)主應(yīng)力中有一個(gè)不為零，稱(chēng)為單向應(yīng)力狀態(tài)。 三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不為零， 稱(chēng)為二向應(yīng)力狀態(tài)。 三個(gè)主應(yīng)力中都不為零，稱(chēng)為三向應(yīng)力狀態(tài)。 主單元體三個(gè)主平面上的主應(yīng)力按代數(shù)值的大小排列，即為123 。1$8.2 二向應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力1 任意斜截面上的應(yīng)力在基本單元體上取任一截面位置，截面的法線n 。在外法線 n 和切線 t 上列平衡方程yyxnxxya dA( xy dA c o s ) si n(x dAc o s ) c o st( yxdAsin) cos(y dAsin ) sin0a dA( xy dA cos

3、 ) cos(x dA cos ) sin( ydA sin ) cos ( yx dAsin ) sin0xynxyxy根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，xyyx ，并考慮到下列三角關(guān)系cos21cos2, sin 21sin 2，222sincossin 2簡(jiǎn)化兩個(gè)平衡方程，得x2yxycos 2xy sin 22xyxy cos22sin 22極值應(yīng)力將正應(yīng)力公式對(duì)取導(dǎo)數(shù)，得d2xysin 2xy cos2d2若0 時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)d0 ，則dxysin 22tg 20xy cos2 002xy0xy上式有兩個(gè)解：即0 和090 。在它們所確定的兩個(gè)互相垂直的平面上，正應(yīng)力取2得極值。 且絕對(duì)值小的角度所

4、對(duì)應(yīng)平面為最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。求得最大或最小正應(yīng)力為maxxyxy222()xymin20 代入剪力公式，0 為零。這就是說(shuō)，正應(yīng)力為最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。將切應(yīng)力公式對(duì)求導(dǎo)，令 d( xy ) cos22xy sin 20d若d0 ，則在1 所確定的截面上，剪應(yīng)力取得極值。通過(guò)求1 時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)d導(dǎo)可得( xy ) cos212 xy sin 210tg2 1求得剪應(yīng)力的最大值和最小值是：xy2xymax(xy22)xymin2與正應(yīng)力的極值和所在兩個(gè)平面方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系相似，剪應(yīng)力的極值與所在兩個(gè)平面方位的對(duì)應(yīng)關(guān)

5、系是：若xy0 ，則絕對(duì)值較小的1 對(duì)應(yīng)最大剪應(yīng)力所在的平面。3主應(yīng)力所在的平面與剪應(yīng)力極值所在的平面之間的關(guān)系與 1 之間的關(guān)系為tg 210tg 2121 20,1024這表明最大和最小剪應(yīng)力所在的平面與主平面的夾角為45 。3$8.3 二向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓1應(yīng)力圓方程xyxycos2xy sin 222將公式xysin 2xy cos 2222xy2xy22由上式確定的以和為變量的圓，這個(gè)圓稱(chēng)作應(yīng)力圓。12xy ，縱坐標(biāo)為零，圓的半徑為xyxy2 。222應(yīng)力圓的畫(huà)法建立應(yīng)力坐標(biāo)系（注意選好比例尺）在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn) D x , xy 和 D 'y ,yxDD ' 與軸的交

6、點(diǎn)C 便是圓心以 C 為圓心，以AD 為半徑畫(huà)圓 應(yīng)力圓。3單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系1）圓上一點(diǎn)坐標(biāo)等于微體一個(gè)截面應(yīng)力值2）圓上兩點(diǎn)所夾圓心角等于兩截面法線夾角的兩倍3）對(duì)應(yīng)夾角轉(zhuǎn)向相同4在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力2maxxyxy222xymin2maxRmaxminxy222xymin$8.4 三向應(yīng)力狀態(tài)1三個(gè)主應(yīng)力1232.三向應(yīng)力圓的畫(huà)法由1,2 作應(yīng)力圓，決定了平行于3 平面上的應(yīng)力由3,1 作應(yīng)力圓，決定了平行于2 平面上的應(yīng)力中的削掉，得2xy圓心的橫坐標(biāo)為OC214由2 ,3 作應(yīng)力圓，決定了平行于1 平面上的應(yīng)力3單元體正應(yīng)力的極值為max1 ，min3最大的剪應(yīng)力極值為13max2$8.5 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律1單拉下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，'xEE2復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系三向應(yīng)力狀態(tài)等三個(gè)主應(yīng)力， 可看作是三組單向應(yīng)力的組合。 對(duì)于應(yīng)變， 可求出單向應(yīng)力引起的應(yīng)變，然后疊加可得121EE1(11E1(22E1(33E3 1123zyEE23 )xyx31 )zx12 )y23體積胡克定律單元體變形后的體積為V dx dy dz1單元體變形后的體積