統(tǒng)計學之統(tǒng)計量與抽樣分布(共71頁).ppt

1、統(tǒng)計學-ch5 suyl1第6章統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布總體和樣本的分布 統(tǒng)計量統(tǒng)計量抽樣分布及抽樣分布及抽樣分布定理抽樣分布定理統(tǒng)計學-ch5 suyl26.1 總體和樣本的分布總體和樣本的分布l 6.1.1 統(tǒng)計推斷中的總體及總體分布統(tǒng)計推斷中的總體及總體分布l 要了解研究對象的整體情況要了解研究對象的整體情況,最理想的方法似乎是最理想的方法似乎是進行普查進行普查,但實際上這樣做往往是不必要、不可能但實際上這樣做往往是不必要、不可能或不允許的或不允許的.l 如如,要研究燈泡壽命要研究燈泡壽命,由于壽命試驗是破壞性的由于壽命試驗是破壞性的,逐逐個試驗是不允許的個試驗是不允許的.從所研

2、究的全體對象中從所研究的全體對象中,抽取一抽取一小部分來進行試驗小部分來進行試驗(稱為抽樣稱為抽樣),根據(jù)這一小部分所根據(jù)這一小部分所顯示的統(tǒng)計特性顯示的統(tǒng)計特性,來推斷來推斷整體整體的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性.統(tǒng)計學-ch5 suyl3總體是根據(jù)一定的目的確定的所要研究的事物的全體，總體是根據(jù)一定的目的確定的所要研究的事物的全體，它是由客觀存在的、具有某種共同性質的眾多個別事物它是由客觀存在的、具有某種共同性質的眾多個別事物構成的整體。構成的整體?？傮w是總體是研究對象的全體。l 在具體的統(tǒng)計推斷中,我們感興趣的是總體單位的某個或某些數(shù)量特征。例如研究某種型號燈泡的壽命這一數(shù)量特征?？傮w的含義抽象為

3、所感興趣的變量的所有取值，我們可以想象，這些值的出現(xiàn)有不同的頻率，假設這批燈泡有無限多個，那么頻率就收斂到了概率，從而有了使用壽命這個隨機變量的概率分布。這個分布稱為總體或總體分布?？傮w（總體分布）是對客觀對象變量取值情況的數(shù)學描述?？傮w所含個體的數(shù)目稱為總體容量總體容量.這這樣要研究的總體實質上是某個概率分布樣要研究的總體實質上是某個概率分布, 因此我們將因此我們將總體總體定義為一個隨機變量定義為一個隨機變量X. 數(shù)理統(tǒng)計學中“總體”這個基本概念從本質上講：總體就是一個隨機變量總體就是一個隨機變量。統(tǒng)計學-ch5 suyl4從社會統(tǒng)計到數(shù)理統(tǒng)計總體的演化從社會統(tǒng)計到數(shù)理統(tǒng)計總體的演化組成元素

4、組成元素具體對象具體對象組成元素組成元素重復數(shù)字重復數(shù)字組成元素組成元素數(shù)字的取值數(shù)字的取值及其概率：及其概率：分布分布研究的標志數(shù)字的取值和重復的頻率例：研究班級同學的身高例：研究班級同學的身高班級的同學的集合（全體同學）組成元素：每位同學（具體對象）同學身高的集合組成元素：身高的數(shù)字（重復數(shù)字）身高的取值及其概率組成元素：身高的分布統(tǒng)計學-ch5 suyl5對所研究的對象對所研究的對象,我們常常關心某一項或幾項指標我們常常關心某一項或幾項指標.總體：總體：研究對象的某項變量值的全體.個體：個體：組成總體的每一個基本元素.例如例如: 某工廠生產的燈泡的使用壽命的全體是一個總體,而每一個燈泡的

5、使用壽命是一個個體.而每個男生的身高是一個個體. 我校男生的身高的全體是一個總體,總體所含個體的數(shù)目稱為總體容量總體容量.統(tǒng)計學-ch5 suyl6 一般地,我們是從總體中抽取一部分,比如說 n 個進行觀測,再根據(jù)這 n 個觀測值去推斷總體的性質.在總體X中,抽取 n 個個體 12,.,nXXX這n個個體稱為總體X的一個.就是抽取樣本的過程.樣本中所含個體的數(shù)目n稱為樣本容量樣本容量.由于 是從總體X中隨機抽取出來的可能結果,12,.,nXXX是n個隨機變量,但是在抽取之后,它們都是,樣本樣本通過觀測或試驗的方法，獲得的總體中一部分個體的集合，稱為樣本，每個個體的取值稱為樣本點。 統(tǒng)計推斷中的

6、樣本及樣本分布統(tǒng)計學-ch5 suyl7l如隨機抽取n只燈泡，試驗得到其使用壽命(x1, x2,xn)，稱這n個確定的數(shù)值(x1, x2,xn)是燈泡使用壽命總體的一個樣本。但是，當燈泡樣本點的使用壽命還未觀測出來時，只能將每個樣本點看作與總體同分布的隨機變量，這是因為每個樣本點的可能取值范圍和某個值出現(xiàn)的可能性與總體是一樣的，這時樣本記為(X1, X2Xn)。 統(tǒng)計學-ch5 suyl8l在相同的條件下對總體X進行n次重復獨立的觀察。將n次觀察結果按試驗的次序記為X1， X2， Xn （ 大寫英語字母表示） 。由于X1， X2， Xn 是對隨機變量X觀察的結果，且各次觀察是在相同的條件下獨立

7、進行的，所以有理由認為X1， X2， Xn是相互獨立的相互獨立的，且都是與總體X具有相同相同分布的分布的隨機變量。這樣得到的X1， X2， Xn 稱為來自總體X的一個簡單隨機樣本，n稱為這個樣本的容量。以后無另外說明，所得的樣本都是指簡單隨機樣本統(tǒng)計學-ch5 suyl9 n次觀察一經完成，我們就得到一組實數(shù)x1，x2， xn （ 小寫英語字母表示） ，它們依次是隨機變量X1， X2， Xn的觀察值，稱為樣本觀測值。對于有限總體，采用放回抽樣就能得到簡單隨機樣本，但放回抽樣使用起來不方便，當個體的總數(shù)N比樣本的容量n大得多時，在實際中可將不放回抽樣近似地當作放回抽樣來處理統(tǒng)計學-ch5 suy

8、l10簡單隨機樣本的兩個最基本的特性：(1) 獨立性12,.,nXXX是相互獨立的隨機變量.12,.,nXXX即中各個隨機變量的取值互不影響,這時稱 (2) 代表性 （ 同分布性）即樣本中的每個樣本點都與總體同分布； 即 中每一個隨機變量都與總體X有相同的概率分布.12,.,nXXX統(tǒng)計推斷中的樣本及其性質統(tǒng)計學-ch5 suyl11總體和樣本的關系總體和樣本的關系數(shù)理統(tǒng)計中，樣本和總體具有相同的分布數(shù)理統(tǒng)計中，樣本和總體具有相同的分布 取值取值1概率概率0.2取值取值2：概率概率0.4取值取值3：取值取值0.1分布分布總體總體樣品樣品X1總體的分布：總體的分布：總體中重復數(shù)字取各值的概率總體

9、中重復數(shù)字取各值的概率 分布總體分布總體 總體各個值的概率可以認為是有相應比重的個體取該值。 隨機樣本隨機樣本 由于每一個體都有均等被抽中的概率，因而樣本取總體各個值的概率即樣本分布與總體分布相同。樣品樣品X2樣品樣品Xn。統(tǒng)計學-ch5 suyl12總體 樣本 樣本觀察值 理論分布 是從手中已有的資料樣本觀察值,去推斷總體的情況總體分布.決定了樣本取值樣本取值的概率規(guī)律,也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律,因而可以用樣本觀察值去推斷總體推斷總體.是聯(lián)系兩者的橋梁.統(tǒng)計學-ch5 suyl136.2 統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量分布的概念統(tǒng)計量分布的概念 在統(tǒng)計推斷中，總體信息是未知的，但從總體中抽取

10、的樣本中含有總體的信息，統(tǒng)計推斷就是利用樣本的信息來推測總體的信息。然而樣本的信息是隱蔽的，不明顯的，必須要經過必要的加工處理才能用來推斷總體信息，構造樣本統(tǒng)計量是加工樣本提出總體信息的有效手段之一。統(tǒng)計學-ch5 suyl14 統(tǒng)計量及統(tǒng)計量的分布統(tǒng)計量及統(tǒng)計量的分布如果如果樣本X1， ，Xn的函數(shù)T(X1， ，Xn)不含不含未知參數(shù)，則稱未知參數(shù)，則稱T(X1， ，Xn)是總體X的一個統(tǒng)計量統(tǒng)計量。統(tǒng)計量有以下兩個特征： 統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)； 統(tǒng)計量不能含有未知的總體參數(shù)。 統(tǒng)計學-ch5 suyl15判斷下列是否為統(tǒng)計量1,nXX21()niiTX2211()1niiSXXn0XZ121

11、1nniiXXXXXnn(1)( ),nXX12XX0.5m是是是是是是統(tǒng)計學-ch5 suyl16?,),(,22321哪哪些些不不是是些些是是統(tǒng)統(tǒng)計計量量判判斷斷下下列列各各式式哪哪為為未未知知為為已已知知其其中中樣樣本本的的一一個個是是來來自自總總體體設設 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT.是是不是不是.),(),(,21212121的觀察值是則稱的樣本值是相應于樣本設nnnnXXXfxxxfXXXxxx222612321()TXXX是是是是是是是是統(tǒng)計學-ch5 suyl17nikiknikikXXn

12、BXnA11,)(11中心矩原點矩2.樣本k階矩,1. 11niiXnX樣本均值,)()(112122SSXXnSnii標準差樣本均方差樣本方差6.2.2 幾個常用的統(tǒng)計量統(tǒng)計學-ch5 suyl18樣本均值和方差的性質l 1.均值的性質l 2.方差的性質bxaybaxyii則設,)(1)(),()(XDnXDXEXE22211()nniiiiXXXnX)()(2XDsE統(tǒng)計學-ch5 suyl19證明：)(1)(),()() 1 (XDnXDXEXEununEXnXEnXnEXEnii1)(1)(1)1()(1nnnXDnXnDXDniinii2221211)(1)1()(niiniiXnX

13、XX1212)()2(22222222221212221)()()(2)(222)(XnXnXXnXnXXnXnXnXXXnXXXXXXXXXiiiiiniiniiinii統(tǒng)計學-ch5 suyl20)()()3(2XDsE)(111)(2222XnXnnXXSii22222222222222222) 1(11)(11)(11)()()(11)()(11)(11)(nnnununnunnnunnXnEEXXDnXnEEXnXnXEnSEii統(tǒng)計學-ch5 suyl213.3.順序統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量)()2()1(nXXX順序統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量：對于樣本X1， X2， Xn ，如果按照升冪排列，得到

14、稱稱X（1）， X（2）， X（n） 為順序統(tǒng)計量。統(tǒng)計學-ch5 suyl22l 利用順序統(tǒng)計量可以計算一些常用的統(tǒng)計量：l（1）最大順序統(tǒng)計量和最小順序統(tǒng)計量l（2）樣本中位數(shù)l（3）樣本極差l（4）樣本的p分位數(shù)l（5）樣本的切尾均值統(tǒng)計學-ch5 suyl23統(tǒng)計量的分布統(tǒng)計量的分布統(tǒng)計量分布的概念統(tǒng)計量分布的概念 統(tǒng)計量既然是隨機變量的函數(shù)，那么它也應該是隨機變量，并有其概率分布，統(tǒng)計量的分布也稱為抽樣分布。抽樣分布和統(tǒng)計推斷有著密切的聯(lián)系。統(tǒng)計量提出以后，必須要知道其分布才能在統(tǒng)計推斷中使用，因為只有知道了統(tǒng)計量的分布，才能利用概率論對總體的特征進行推斷，并得到相應的推斷的置信度。

15、所以在統(tǒng)計推斷中，一項重要的工作就是尋找統(tǒng)計量和導出統(tǒng)計量的分布。我們從一個簡單的例子來討論統(tǒng)計量分布的概念。統(tǒng)計學-ch5 suyl24 例例6.3 設有一總體設有一總體N=3 (2，4，6)。以樣本容量。以樣本容量n=1、n=2、n=4及及n=8，從總體中進行復置抽樣，抽出全部可能的樣本于，從總體中進行復置抽樣，抽出全部可能的樣本于表表6.1。 表表6.1中列出這些不同樣本容量的中列出這些不同樣本容量的 抽樣分布，并在圖抽樣分布，并在圖4.1用方柱形圖表示其分布形狀。用方柱形圖表示其分布形狀。由表中第一列當由表中第一列當N=3，n=1的總體平均數(shù)和方差為：的總體平均數(shù)和方差為： y 當樣本

16、容量依次為當樣本容量依次為2、4、8時，其時，其 相應為相應為4、4、4；其其 相應為相應為4/3、2/3、1/3。即。即 ， 。y2yyny22383)46()44()42()(222122/NyNii43123)642(1/NyNii統(tǒng)計學-ch5 suyl25n=1 1n=2 2n=4 4n=8 8yffff2 24 46 61 11 11 12 23 34 45 56 61 12 23 32 21 12.02.02.52.53.03.03.53.54.04.04.54.55.05.05.55.56.06.01 14 4101016161919161610104 41 12.002.00

17、2.252.252.502.502.752.753.003.003.253.253.503.503.753.754.004.004.254.254.504.504.754.755.005.005.255.255.505.505.755.756.006.001 18 8363611211226626650450478478410161016110711071016101678478450450426626611211236368 81 139816561平均數(shù)4444方 差8/34/32/31/3yy 表表6.1 各種不同樣本容量的樣本平均數(shù)各種不同樣本容量的樣本平均數(shù)( )的抽樣分布的抽樣分布

18、 yy統(tǒng)計學-ch5 suyl26n=1n=2圖圖6.1 各種不同樣本容量的各種不同樣本容量的 分布方柱形圖分布方柱形圖 y統(tǒng)計學-ch5 suyl27圖圖6 6.1 各種不同樣本容量的各種不同樣本容量的 分布方柱形圖分布方柱形圖 yn=4n=8統(tǒng)計學-ch5 suyl28 從這個例子我們可以了解關于樣本均值的分布，即所有可能樣本計算出的均值所服從的分布（直方圖驗證了中心極限定理）。但是在實際工作中，總體的容量遠不止3，總體的分布也是十分復雜的，統(tǒng)計量也各有不同，象這樣一一列舉給出統(tǒng)計量的分布是行不通的，我們必須借助于總體分布的類型來討論統(tǒng)計量的分布的情況。后面我們將集中討論正態(tài)總體的統(tǒng)計量分

19、布的問題，通常稱為樣本的精確分布。統(tǒng)計學-ch5 suyl29統(tǒng)計學-ch5 suyl30 6.3抽樣分布及抽樣分布定理抽樣分布及抽樣分布定理主要內容 2分布 t 分布 F分布 抽樣分布的重要定理抽樣分布的重要定理統(tǒng)計學-ch5 suyl31 為了討論統(tǒng)計量的分布，本節(jié)首先介紹數(shù)理統(tǒng)計中的三個著名分布，它們是t分布，2分布和F分布。參數(shù)估計和假設檢驗等統(tǒng)計推斷問題中這三個分布有廣泛的應用。 統(tǒng)計學-ch5 suyl322分布21,nXX2221nXX22( )n分布的定義 為獨立同分布于標準正態(tài)總體N(0,1)的隨機變量列，則稱隨機變量：所服從的分布為自由度是n的 分布，記為2統(tǒng)計學-ch5

20、suyl332(n)分布實質上就是參數(shù)為n/2,1/2的分布，即2(n)的密度函數(shù)為/ 211222( /2),0( )0,0nnxnxexf xx統(tǒng)計學-ch5 suyl342分布隨著自由度增加，分布漸近于正態(tài)。圖圖4-1 2的概率密度曲線的概率密度曲線統(tǒng)計學-ch5 suyl35（1）期望與方差）期望與方差 若X 2(n)，則E(X)= n，D(X)=2n。2. 2分布的性質特征分布的性質特征22242241()13 122xiiiDXEXEXx edx )(12niiXD22211()() nniiiiiEEXDXEXn22211( )()2nniiiiDnDXDXn統(tǒng)計學-ch5 su

21、yl36（2）分布可加性 若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X， Y獨立，則 X + Y 2(n1+n2 )。統(tǒng)計學-ch5 suyl37（3）關于自由度）關于自由度統(tǒng)計學-ch5 suyl38統(tǒng)計學-ch5 suyl39l (4) 為便于今后的應用，現(xiàn)在我們引入上側分位數(shù)的概念. 所謂一個分布的上側分位數(shù)就是指這樣一個數(shù)，它使相應分布的隨機變量不小于該數(shù)的概率為,比如，若記2變量的上側分位數(shù)為 ，則滿足222()p統(tǒng)計學-ch5 suyl40通過Excel查分位點，函數(shù)為CHIINV統(tǒng)計學-ch5 suyl411. t分布構造和密度函數(shù)構造和密度函數(shù)).n( tn/T t(n)稱為自由度

22、為n的t分布。 t 分布t(n)(n) 的概率密度為 t,)nt1()2n(n)21n() t ( f21n2若 N(0, 1), 2(n), 與 獨立，則統(tǒng)計學-ch5 suyl42分子是標準正態(tài)隨機變量分子是標準正態(tài)隨機變量分母是自由度為分母是自由度為n的卡方隨機變量的卡方隨機變量分子分母相互獨立，且滿足構造公式分子分母相互獨立，且滿足構造公式t分布的三個要點：統(tǒng)計學-ch5 suyl43t分布的圖像統(tǒng)計學-ch5 suyl44 t分布和標準正態(tài)分布類似，他們都是對稱分布。但是t分布與標準正態(tài)分布也是有區(qū)別的。t分布尾部厚，即服從分布的隨機變量取到尾部值的概率比標準正態(tài)分布略大。而對于接近

23、原點的坐標點，t分布的值比標準正態(tài)分布的值小。因而t分布曲線尾部又厚于標準正態(tài)分布，而峰低于標準正態(tài)分布。圖圖4-2t(n)密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線統(tǒng)計學-ch5 suyl45 2. 2. t t分布的性質特征分布的性質特征 (1) f(t)(1) f(t)關于t=0t=0(縱軸)對稱。 (2) f(t)(2) f(t)的極限為N(0N(0，1)1)的密度函數(shù)，即 x,e21) t () t ( flim2tn2)(nt (3)(3) t分布的數(shù)學期望與方差 t分布的數(shù)學期望與方差分別是( )0E t ( )/(2)2D tn nn ，統(tǒng)計學-ch5 suyl46)() 10(nttP，稱滿足

24、條件：對于給定的( )tnt的點為 分的上布分位點 。)()(1ntnt：由概率密度的對稱性知.)(45zntn時，當)(nt)(1nt統(tǒng)計學-ch5 suyl47通過Excel可得分位點，函數(shù)為TINVl 如查 對話框寫0.2，2525, 1 . 0n統(tǒng)計學-ch5 suyl48統(tǒng)計學-ch5 suyl49 F分布 若 1 2(n1)， 2 2(n2)， 1， 2獨立，則).n,n(Fn/n/F212211 稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為n2的F分布,其概率密度為 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/ )nn(2122n12n2/n21212111

25、11. F分布構造和密度函數(shù)構造和密度函數(shù)統(tǒng)計學-ch5 suyl50分子是自由度為分子是自由度為n1的卡方隨機變量的卡方隨機變量分母是自由度為分母是自由度為n2的卡方隨機變量的卡方隨機變量分子分母相互獨立，且滿足構造公式分子分母相互獨立，且滿足構造公式F分布的三個要點：統(tǒng)計學-ch5 suyl511234560.20.40.60.81234560.20.40.60.8m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15 m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10F F分布密度函數(shù)圖分布密度函數(shù)圖統(tǒng)計學-ch5 suy

26、l52 2.F-分布性質特征分布性質特征（1） F分布的數(shù)學期望和方差分布的數(shù)學期望和方差222( )(2)2nE Fnn 2212221222(2)( )(4)(2) (4)n nnD Fnn nn 統(tǒng)計學-ch5 suyl53（2）自由度 F分布有兩個自由度，稱為第一自由度和第二自由度，分別對應構成F分布的分子和分母的自由度。兩個自由度的不同組合和形成F分布曲線的不同形態(tài)，這在F分布的圖形中已經清楚看到了。F分布的兩個自由度還有一個重要性質，它們是可以互相轉化的。 統(tǒng)計學-ch5 suyl54（3）F分布的分布的上側臨界值上側臨界值是指滿足下式的是指滿足下式的 12( ,)F n n臨界值

27、121212(,)( ( ,)( ,)( )Fn nP F n nF n nf x dx統(tǒng)計學-ch5 suyl55).,(/1),( F1221nnFFnnF則若),(/1),(12211nnFnnF結論：),() 10(21nnFFP，稱滿足條件：對于給定的12( ,)Fn nF的點為 分的上布分位點),(21nnF統(tǒng)計學-ch5 suyl56 ( ,)( ,)P F n mF n m11( ,)( ,)PF n mF n m1 ( , )( ,)P F m nF n m1 ( , )1( ,)P F m nF n m 11( , )( ,)Fm nF n m因為則.11( , )( ,)

28、Fm nF n m統(tǒng)計學-ch5 suyl57統(tǒng)計學-ch5 suyl58 例例6-9 設X1, X2 , X9 相互獨立，服從正態(tài)分布N(0,16)， Y1, Y2 , Y16相互獨立，服從正態(tài)分布N(0,9)， X1, X2 , X9 與Y1, Y2 , Y16 相互獨立，求隨機變量1292221216XXXZYYY所服從的分布。129(0,9 16)XXXN因1291() (0,1)12XXXN故統(tǒng)計學-ch5 suyl59從而根據(jù)t分布的構造，則12912922221612161112 (16)1316iiXXXXXXztYYYY1(0,1) ,1,2,163iYNi 又216211(

29、16)3iiY故統(tǒng)計學-ch5 suyl60 例例6-106-10 設總體X1, X2 , X6服從N(0,1)分布。 試確定常數(shù)c , 使cY 服從2。) 3 , 0 (, ) 3 , 0 (654321NXXXNXXX) 1 , 0 (31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故因此1/3.c ) 2 (312Y22123456()()YXXXXXX統(tǒng)計學-ch5 suyl616.3.4 抽樣分布的重要定理抽樣分布的重要定理 本節(jié)的前面部分，為我們提供了討論統(tǒng)計量的分布可以利用的結論，下面開始討論總體服從正態(tài)分布場合的抽樣分布，這是因為在應用中許多隨機變量的概率分布或是正態(tài)分布，或是近似正態(tài)的。 統(tǒng)計學-ch5 suyl62 定理定理6.1 抽抽樣分布的重要定理樣分布的重要定理設X為一個正態(tài)總體，即其簡單隨機樣本為。則有2S與X相互獨立；設母體1,nXX; )/,(2nNX(1 1)(2 2)2( ,)XN 則(3) 1()() 1(2222nXXsni統(tǒng)計學-ch5 suy