232離散型隨機變量的方差

1、2.3.2 離散型隨機變量的方差 1.1.若離散型隨機變量若離散型隨機變量X X的分布列為的分布列為p pn np pi ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1X X則隨機變量則隨機變量X X的均值如何計算？的均值如何計算？ E E（X X）x x1 1p p1 1x x2 2p p2 2x xi ip pi ix xn np pn n2.2.離散型隨機變量的均值有哪幾條基本性質(zhì)？離散型隨機變量的均值有哪幾條基本性質(zhì)？（1 1）E(E(a aX Xb b) )a aE E（X X）b b；（2 2）若隨機變量）若隨機變量X X服從兩點分布，則服從兩點分

2、布，則 E E（X X）p p； （3 3）若隨機變量）若隨機變量X XB(B(n n，p p) )，則，則 E E（X X）npnp. . 除了均值外，還有其他刻畫隨機變量特點的除了均值外，還有其他刻畫隨機變量特點的指標嗎？指標嗎？1.1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念準差的概念. .（重點）（重點）2 2能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題一些實際問題（重點）（重點）3 3掌握方差的性質(zhì)，以及兩點分布、二項分布的掌握方差的性質(zhì)，以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求

3、它們的方差方差的求法，會利用公式求它們的方差. .（難點）（難點）探究點探究點1 1 離散型隨機變量的方差的概念離散型隨機變量的方差的概念0.100.100.270.270.310.310.200.200.090.090.030.03P P 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5X X1 1問題一：問題一：統(tǒng)計甲、乙兩名射手以往的成績，得其擊統(tǒng)計甲、乙兩名射手以往的成績，得其擊中目標靶的環(huán)數(shù)中目標靶的環(huán)數(shù)X X1 1，X X2 2的分布列分別如下：的分布列分別如下：0.330.330.410.410.200.200.050.050.010.01P P 9 9 8 8 7 7 6 6

4、 5 5X X2 2如果僅從平均射擊成績比較，能否區(qū)分甲、乙兩人如果僅從平均射擊成績比較，能否區(qū)分甲、乙兩人的射擊水平？的射擊水平？ E(X E(X1 1) )E(XE(X2 2) ) 8 8，不能區(qū)分，不能區(qū)分. . 問題二：問題二：考察考察X X1 1和和X X2 2的分布列圖，甲、乙兩人的射擊的分布列圖，甲、乙兩人的射擊水平有何差異？水平有何差異？乙的射擊成績更集中乙的射擊成績更集中于于8 8環(huán)，相對較穩(wěn)定環(huán)，相對較穩(wěn)定. .5 6 7 8 9 10 X5 6 7 8 9 10 X1 1P P0.10.10.20.20.30.3O O5 6 7 8 9 X5 6 7 8 9 X2 2 P

5、 P0.10.10.20.20.30.30.40.4O O問題三：問題三：從分布列圖觀察隨機變量相對于均值的偏離從分布列圖觀察隨機變量相對于均值的偏離程度，只是一種直觀的定性分析，有時難以區(qū)分，理程度，只是一種直觀的定性分析，有時難以區(qū)分，理論上需要有一個定量指標來反映論上需要有一個定量指標來反映. .類似樣本方差，能類似樣本方差，能否用否用 來刻畫隨機變量的穩(wěn)定性？來刻畫隨機變量的穩(wěn)定性？211( )niixE Xn不妥！不妥！ 還要考慮隨機變量各個取值的權(quán)數(shù)還要考慮隨機變量各個取值的權(quán)數(shù). . 一般地，若離散型隨機變量一般地，若離散型隨機變量X X的分布列為的分布列為p pn np pi

6、ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1X X稱稱 為隨機變量為隨機變量X X的方差，的方差， 為隨機變量為隨機變量X X的標準差的標準差. .21( )( )niiiD XxE Xp( )D X問題四：問題四：方差或標準差的大小變化，對隨機變量偏方差或標準差的大小變化，對隨機變量偏離于均值的平均程度產(chǎn)生什么影響？離于均值的平均程度產(chǎn)生什么影響？ 方差或標準差越小方差或標準差越小( (大大) )，隨機變量偏離于均，隨機變量偏離于均值的平均程度越小值的平均程度越小( (大大). ). 問題五：問題五：隨機變量的方差與樣本數(shù)據(jù)的方差有何隨機變量的方差與樣本數(shù)

7、據(jù)的方差有何聯(lián)系和區(qū)別？聯(lián)系和區(qū)別？聯(lián)系：聯(lián)系：都是反映離散程度和穩(wěn)定性的定量指標都是反映離散程度和穩(wěn)定性的定量指標. .區(qū)別：區(qū)別：隨機變量的方差是常數(shù)，樣本的方差是隨機隨機變量的方差是常數(shù)，樣本的方差是隨機變量，隨著樣本容量的增加，樣本方差愈接近總體變量，隨著樣本容量的增加，樣本方差愈接近總體方差方差. . 問題一：問題一：若隨機變量若隨機變量X X服從兩點分布服從兩點分布 B(1B(1，p p) )，則，則D(X)D(X)等于什么？等于什么？ D(X) D(X)p(1p(1p). p). 問題二：問題二：若隨機變量若隨機變量X X服從二項分布服從二項分布 B(2B(2，p)p)，則，則D

8、(X)D(X)等于什么？等于什么？ D(X) D(X)2 2p p(1(1p p). ). 探究點探究點2 2 特殊分布列的方差及離散型隨機變量的特殊分布列的方差及離散型隨機變量的方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)問題三：問題三：據(jù)歸納推理，若隨機變量據(jù)歸納推理，若隨機變量X X服從二項分布服從二項分布B(nB(n，p)p)，則，則D(X)D(X)等于什么？等于什么？D(X)D(X)npnp(1(1p p) )(1(1p p)E(X).)E(X).問題四：問題四：若若Y YaXaXb b，其中，其中a a，b b為常數(shù)，則為常數(shù)，則D(Y)D(Y)與與D(X)D(X)有什么關(guān)系？由此可得什么結(jié)論？有什么關(guān)系

9、？由此可得什么結(jié)論？D(D(a aX Xb b) )a a2 2D(X).D(X).D(Y)D(Y)a a2 2D(X),D(X), 例例1 1 隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點數(shù)的點數(shù)X X的均值、方差和標準差的均值、方差和標準差. .解：解：拋擲骰子所得點數(shù)拋擲骰子所得點數(shù)X X的分布列為的分布列為X X1 12 23 34 45 56 6P P616161616161; 5 . 3616615614613612611)(XE.71. 1)(;92. 261)5 . 36(61)5 . 35(61)5 . 34(61)5 . 33(61)5

10、. 32(61)5 . 31 ()(222222XDXD 例例2 2 有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：如下信息： 獲得相應(yīng)職位的概率獲得相應(yīng)職位的概率P P1 1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.41 8001 8001 6001 6001 4001 4001 2001 200甲單位不同職位月工資甲單位不同職位月工資X X1 1/ /元元 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.42 2002 2001 8001 8001 4001 4001 0001 000乙單位不同職位月工資乙單位不同職位

11、月工資X X2 2/ /元元獲得相應(yīng)職位的概率獲得相應(yīng)職位的概率P P2 2根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：解：根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得1E(X )1 200 0.4 1 400 0.3 1 600 0.2 1 800 0.11 400 ，22122D(X )(1 200 1 400)0.4(1 400 1 400)0.3(1 600 1 400)0.2(1 800 1 400)0.140 000; 2E(X )1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.22 200 0.1

12、1 400 ，22222D(X )(1 000 1 400)0.4(1 400 1 400)0.3(1 800 1 400)0.2(2 200 1 400)0.1160 000. 因為因為E(XE(X1 1)=E(X)=E(X2 2),D(X),D(X1 1) )D(XD(X2 2),),所以兩家單所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散對集中，乙單位不同職位的工資相對分散. .這樣，這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資

13、差距大一些，甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位就選擇乙單位. .1 1給出下列四個命題：給出下列四個命題：離散型隨機變量離散型隨機變量的均值的均值E E( () )反映了反映了取值的平均取值的平均值；值；離散型隨機變量離散型隨機變量的方差的方差D D( () )反映了反映了取值的平均取值的平均水平；水平；離散型隨機變量離散型隨機變量的均值的均值E E( () )反映了反映了取值的平均取值的平均水平；水平；離散型隨機變量離散型隨機變量的方差的方差D(D() )反映了反映了取值偏離于取值偏離于均值的平均程度均值的平均程度則正確命題應(yīng)該是則正確命題應(yīng)該是( () )A A B

14、BC C D DD DA A3 3若若的分布列如下表所示：的分布列如下表所示：其中其中p p(0,1)(0,1)，則，則E E( () )_，D D( () )_._.0 01 1P Pp pq qq qpqpq112211229x,x1,5x2x,5x1,xx ,x2, 4解解 得得或或由由 于于所所 以以所所 以以 X X的的 分分 布布 列列 為為25 1.E 1.E（X X）只反映離散型隨機變量的平均取值，）只反映離散型隨機變量的平均取值，D D（X X）則刻畫了隨機變量的取值與均值的偏離程度，）則刻畫了隨機變量的取值與均值的偏離程度，D D（X X）越小，說明隨機變量的取值越集中于均值附）越小，說明隨機變量的取值越集中于均值附近近. . 2. 2.在實際應(yīng)用中，在實際應(yīng)用中，E E（X X）和）和D(X)D(X)是比較產(chǎn)品質(zhì)量、是比較產(chǎn)品質(zhì)量、水平高低、方案優(yōu)劣等問題的定量指標，在許多決水平高低、方案優(yōu)劣等問題的定量指標，在許多決策問題中起著重要的作用策問題中起著重要的作用. . 3. 3.隨機變量的均值和方差與樣本數(shù)據(jù)的均值和方隨機變量的均值和方差與樣本數(shù)據(jù)的均值和方差有相近的含義和作用，但應(yīng)用背景不同，