二次根式訓練經典題目匯總(共27頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 二次根式的混合運算二次根式的運算知識點及經典試題知識點一：二次根式的乘法法則：，即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點詮釋：(1) 在運用二次根式的乘法法則進行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負數(shù)) (2) 該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：(3)若二次根式相乘的結果能寫成的形式，則應化簡，如.知識點二、積的算術平方根的性質，即積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積.要點詮釋：21 在這個性質中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足才能用此式進行計

2、算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化簡關鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.（3）作用：積的算術平方根的性質對二次根式化簡（4）步驟：對被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，結果寫成平方因式乘以非平方因式 利用積的算術平方根的性質 利用（一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值）即被開方數(shù)中的一些因式 移到根號外 被開方數(shù)中每個因數(shù)指數(shù)都要小雨2 （5）被開方數(shù)是整數(shù)或整式可用積的算術平方根的性質對二次根式化簡知識點三、二次根式的除法法則：，即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.要點詮釋：（3） 在進行二次根式的除法運算時，

3、對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應特別注意，其中，因為b在分母上，故b不能為0.(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結果要盡量化簡，最后結果中分母不能帶根號.知識點四、商的算術平方根的性質，即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根.要點詮釋：（1）利用：運用次性質也可以進行二次根式的化簡，運用時仍要注意符號問題. （2）步驟利用商的算術平方根的性質 分別對，利用積的算術平方根的性質化簡 分母不能有根號，如果分母有根號要分母有理化 （3） 被開方數(shù)是分數(shù)或分式可用商的算術平方根的性質對二次根式化簡知識點五：最簡二次根式1.定義：當二次根式滿足以下

4、兩條：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式. 把符合這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.在二次根式的運算中，最后的結果必須化為最簡二次根式或有理式. 要點詮釋： (1)最簡二次根式中被開方數(shù)不含分母； (2)最簡二次根式被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的次數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個因數(shù)或因式從次數(shù)只能 為1次.2.把二次根式化成最簡二次根式的一般步驟：(1)把根號下的代分數(shù)或絕對值大于1的數(shù)化成假分數(shù)，把絕對值小于1的小數(shù)化成分數(shù)；(2)被開方數(shù)是多項式的要進行因式分解； (3)使被開方數(shù)不含分母；(4)將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式，用它們的算術平方根代替后移到

5、根號外；(5)化去分母中的根號； (6)約分. 3.把一個二次根式化簡，應根據被開方數(shù)的不同形式，采取不同的變形方法.實際上只是做兩件事：一是化去被開方數(shù)中的分母或小數(shù)；二是使被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.知識點六、同類二次根式1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.要點詮釋：(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關，而與根號外的因式無關.2.合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不

6、變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似) 要點詮釋： (1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)； (2)二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要變成假分數(shù)的形式；(3)不是同類二次根式，不能合并知識點七、二次根式的加減二次根式的加減實質就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結果中.在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用.二次根式加減運算的步驟：(1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；(2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結合為一組；(3)

7、合并同類二次根式.知識點八、二次根式的混合運算二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.要點詮釋： (1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的； (2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用； (3)二次根式混合運算的結果應寫成最簡形式，這個形式應是最簡二次根式，或幾個非同類最簡二次 式之和或差，或是有理 式.規(guī)律方法指導二次根式的運算，主要研究二次根式的乘除和加減.(1)二次根式的乘除，只需將被開方數(shù)進行乘除，其依據是：；(2)二次根式的加減類似于整式的加減，關鍵是合并同類二次根式.通

8、常應先將二次根式化簡，再把同類二次根式合并.二次根式運算的結果應盡可能化簡.經典例題透析類型一、二次根式的乘除運算1、計算(1)×； (2)×； (3)×； (4)×.解：(1)×=； (2)×=； (3)×=9；(4)×=.2、計算：(1)； (2)； (3)； (4).思路點撥：直接利用便可直接得出答案解：(1)=2； (2)=×2=2； (3)=2； (4)=2.3、化簡(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路點撥：利用直接化簡即可解：(1)=×=3×4=12； (2

9、)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90； (4)=×=××=3xy (5)=×=3.舉一反三【變式1】判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：(1)； (2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正確改正：=×=2×3=6；(2)不正確改正：×=×=4.4、化簡：(1)； (2)； (3)； (4).思路點撥：直接利用就可以達到化簡之目的解：(1)=(2)=(3)=； (4)=.舉一反三【變式1】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x

10、)的值思路點撥：式子=，只有a0，b0時才能成立 因此得到9-x0且x-60，即6x9，又因為x為偶數(shù)，所以x=8解：由題意得，即6x9，x為偶數(shù)，x=8原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=當x=8時，原式的值=65、計算(1)·(-)÷(m0，n0)； (2)-3÷()× (a0).解：(1)原式=-÷=-=-；(2)原式=-2=-2=-a.類型二、最簡二次根式的判別6、下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？請說明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路點撥：判斷一個二次根式是不是最簡二次根式，就看它是否滿

11、足最簡二次根式的兩個條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；不滿足其中任何一條的二次根式都不是最簡二次根式.解：和都是最簡二次根式，其余的都不是，理由如下：的被開方數(shù)是小數(shù)，能寫成分數(shù)，含有分母；和的被開方數(shù)中都含有分母；和的被開方數(shù)中分別含有能開得盡方的因數(shù)和因式.總結升華：對于最簡二次根式的判斷，一定要把握其實質，既要注意其中的“似是而非”，還要注意其中的“似非而是”，特別象這樣的式子，帶有很大的隱蔽性，更應格外小心.7、把下列各式化成最簡二次根式.(1)； (2)； (3)； (4)； (5)思路點撥：把被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，再利用積的算術平方根的

12、性質及進行化簡.解：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) .類型三、同類二次根式8、如果兩個最簡二次根式和是同類二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C.a=1，b=-1 D.a=1，b=1思路點撥：根據同類二次根式的識別方法，在最簡二次根式的前提下，被開方數(shù)相同.解：根據題意，得 解之，得，故選D.總結升華：同類二次根式必須滿足兩個條件：(1)根指數(shù)是2；(2)被開方數(shù)相同；由此可以得到關于a、b的二元一次方程組，此類問題都可如此.舉一反三【變式1】下列根式中，能夠與合并的是( )A. B. C. D.思路點撥：首先要把不是最簡二次根式的化成最簡

13、二次根式，然后比較它們的被開方數(shù)是否相同，如果相同，就能進行合并，反之，則不能合并.解：合并，故選B.總結升華：同類二次根式的判斷，關鍵是能夠熟練準確地化二次根式為最簡二次根式.【變式2】若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值思路點撥：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同； 事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成 |b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式化為最簡二次根式：=|b|·由題意得，a=1，b=1.類型四、二次根式的加減運算9、計算(1)+ (2)-思路點撥：第一步，將不是最簡二次根式的

14、項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并解：(1)+=2+3=(2+3)=5 (2)-=4-8=(4-8)=-4總結升華：一定要注意二次根式的加減要做到先化簡，再合并.舉一反三【變式1】計算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=+-=4+2+2-=6+；(3) (4) 【變式2】已知2.236，求(-)-(+)的值(結果精確到0.01)解：原式=4-=×2.2360.45.類型五、二次根式的混合運算10、計算:(1)(+)× (2)(4-3)÷2.

15、思路點撥：二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以直接可用整式的運算規(guī)律解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、計算(1)(+6)(3-)； (2)(+)(-).（3） 思路點撥：二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3. （3）略類型六、化簡求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值思路點撥：本題首先將已知等式進行變形，把它配成

16、完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 (2x-1)2+(y-3)2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當x=，y=3時，原式=×+6=+3.舉一反三【變式1】先化簡，再求值(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，當x=，y=27時，原式=-=-.【變式2】.已知x=+1，求（）÷的值類型七、二次

17、根式的應用與探究13、一個底面為30cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？解：設底面正方形鐵桶的底面邊長為x， 則x2×10=30×30×20，x2=30×30×2， x=×=30 答：鐵桶的底面邊長是30厘米.14、如圖所示的RtABC中，B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動問：幾秒后PBQ的面積為35平方

18、厘米？PQ的距離是多少厘米？(結果用最簡二次根式表示) 15、探究過程：觀察下列各式及其驗證過程(1)2=驗證：2=×= =(2)3=驗證：3=×=同理可得：45，通過上述探究你能猜測出： a=_(a0)，并驗證你的結論解：a=驗證：a=.總結升華：解答此類問題的特點是根據題目給出的條件，尋找內在聯(lián)系和一般規(guī)律，然后猜想所求問題的結果，有利于提高綜合分析能力.【變式1】對于題目“化簡求值：+，其中a=”，甲、乙兩個學生的解答不同 甲的解答是：+=+=+a= 乙的解答是：+=+=+a=a= 誰的解答是錯誤的？為什么？跟蹤練習21.1 二次根式：1. 使式子有意義的條件是 。

19、2. 當時，有意義。3. 若有意義，則的取值范圍是 。 4. 當時，是二次根式。5. 在實數(shù)范圍內分解因式：。6. 若，則的取值范圍是 。 7. 已知，則的取值范圍是 。8. 化簡：的結果是 。 9. 當時，。10. 把的根號外的因式移到根號內等于 。 11. 使等式成立的條件是 。12. 若與互為相反數(shù)，則。13. 在式子中，二次根式有（ ）A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 15. 若，則等于（ ）A. B. C. D. 16. 若，則（ ） A. B. C. D. 17. 若，則化簡后為（ ）A. B. C. D

20、. 18. 能使等式成立的的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 19. 計算：的值是（ ） A. 0 B. C. D. 或20. 下面的推導中開始出錯的步驟是（ ）A. B. C. D. 21. 若，求的值。22. 當取什么值時，代數(shù)式取值最小，并求出這個最小值。23. 化簡：（1）； （2）； （3）； （4）（3） ； （6）； （7）； （8）； 21.2 二次根式的乘除1. 當，時，。2. 若和都是最簡二次根式，則。3. 計算：。4. 計算：。5. 長方形的寬為，面積為，則長方形的長約為 （精確到0.01）。6. 下列各式不是最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已

21、知，化簡二次根式的正確結果為（ ） A. B. C. D. 8. 對于所有實數(shù)，下列等式總能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 和的大小關系是（ ） A. B. C. D. 不能確定10. 對于二次根式，以下說法中不正確的是（ ）A. 它是一個非負數(shù) B. 它是一個無理數(shù) C. 它是最簡二次根式 D. 它的最小值為311. 計算： 12. 化簡： 13. 把根號外的因式移到根號內： 21.3 二次根式的加減1. 下列根式中，與是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面說法正確的是（ ） A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式 B. 與是同類二次根式 C. 與

22、不是同類二次根式 D. 同類二次根式是根指數(shù)為2的根式3. 與不是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，則化簡的結果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，則的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ） A. B. C. 1 D. 38. 下列式子中正確的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，與是同類二次根式的是 。10.若最簡二次根式與是同類二次根式，則。11. 一個三角形的三邊長分別為，則它的周長是 cm。12. 若最簡二次根式與是

23、同類二次根式，則。13. 已知，則。14. 已知，則。 15. 。16. 計算：. . . . （5）. （6）17. 已知：，求的值。18. 已知：為實數(shù)，且，化簡：。19. 已知的值。一解答題（共30小題）1計算：（1）|1|+（2）2+（7）0（）1 （2）÷×+2（1）計算：（2）0|+|×（）； （2）化簡：（1+）+（2x）3化簡：（1）； （2）（x+y）2（xy）24（1）計算： （2）5 化簡或解方程組：（1） （2）6（1）計算； （2）分解因式（x+2）（x+4）+x247化簡：（1）； （2）8（1）計算 （2）解不等式組9計算：（1） （

24、2）10計算：（1）5+7； （2）11 化簡下列各式：（1）； （2）12（1）計算：； （2）化簡：13（1）計算：+（）0 （2）化簡：（）14計算：（1） （2）5（1）72+2×（3）2+（6）÷（）2 （2）26（）116計算與化簡（1） （2）17計算：（1）；（2）18計算：（1） （2）19 （1）計算×（）； （2） 計算（）÷20計算：（1） （2）（4） （4）22 （1） （2）22計算：（1） （2）×； （2）（+）÷23 （1）計算：|2|（2）0+（）2； （2）化簡：；（4） 計算：（x+2）（x2

25、）+x（3x）24計算：（1） （2）25計算：（1）； （2）26計算：（1）（1）2|23|（）3； （2） （a3x40.9ax3）÷ax327計算與化簡：（1） （2）（3a3）2a3（5a3）3+（4a）2a7（3）（a+1）22（a+1）（a1）+3（a1）2 （4）28計算：（1） （2）29解下列各題：（1）解方程組： （2）化簡：30化簡：（1） （2）二次根式的混合運算參考答案與試題解析一解答題（共30小題）解：（1）|1|+（2）2+（7）0（）1=1+4+13=3；（2）÷×+=+2=4+2解：（1）原式=1|2+|×（）=1（2

26、）×（）=1+1=；（2）原式=+=+=x+13解：（1）原式=，（1分）=42，（2分）=2（3分）（2）原式=x2+2xy+y2x2+2xyy2，（2分）=4xy（4分）4解：原式=（4分）=（5分）（2）解：原式=（2分）=（4分）=（5分）5解：（1）原式=（32）×+=+=；（2）由得：y=3，把y=3代入得：x=2，方程組的解為6解：（1）原式=2；（2）原式=（x+2）（x+4）+（x+2）（x2）=（x+2）（x+4）+（x2）=（x+2）（2x+2）=2（x+2）（x+1）7解：（1）原式=331=1；（2）原式=1=a+11=a8解：（1）原式=3+1=

27、3+1=+1；（2）由得x+13x，即x1；由得4x+163x+18，即x2；不等式組的解集為1x29解：（1）=91+=8+55=3+5（2）=×=10解：（1）原式=5+221=14；（2）原式=xy2y+x11解：（1）原式=，=，=；（2）原式=+，=2+2+，=+12解：（1）原式=1×4×8=1×4×48=8；（2）原式=2213解：（1）原式=33（+1）+1=333+1=2；（2）原式=點評：本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式也考查了零指數(shù)冪和分式的混合運算14解：（1）原式=2+15+=；（2）原式=2+4（51）=2+44=215（1）解：原式=49+2×9+（6）×9=49+1854=85；（2）解：原式=46×2=422=2216解：（1）原式=（4+）÷3=×；（