半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

1、摘 要函數(shù)的種類極為復(fù)雜. 在函數(shù)論中, 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用占有相當重要的地位. 有一類函數(shù)雖然不連續(xù), 但卻具有一些與連續(xù)函數(shù)相近的性質(zhì), 即連續(xù)函數(shù)的一個推廣半連續(xù)函數(shù). 從而得到了比連續(xù)函數(shù)更廣泛的一類函數(shù)的性質(zhì). 通過對半連續(xù)函數(shù)的研究, 對半連續(xù)函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ). 首先簡述連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用, 之后重點討論半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì), 詳細介紹運算性, 保號性, 以及拓撲空間上半連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理. 推廣到緊致空間中半連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用. 最后辨析連續(xù)函數(shù)與半連續(xù)函數(shù)性質(zhì)、應(yīng)用, 最終應(yīng)用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)解決半連續(xù)函數(shù)的問題.實際上半連續(xù)函數(shù)理論在古典分析和現(xiàn)代分析中都有著較為廣

2、泛的應(yīng)用. 比如在最優(yōu)化問題、變分不等式問題、相補問題及對策論問題都有著舉足輕重的作用.關(guān)鍵詞：半連續(xù)；連續(xù)；函數(shù)AbstractCategory of function is very complicated. Characterization and application of continuous functions are very important in the function theory. Although a kind of function is also continuous, its characterization is similar with the cont

3、inuous functions, which is called extension of the continuous functions semi-continuous functions, thus a kind of function with more winder characterization is obtained.Through the study, half of the continuous function in the mathematical analysis continuous function which lay a theoretical foundat

4、ion for the application. First, this paper expounds the nature of the continuous function and application, and then discusses the nature of the semi-continuous functions, detailed mathematical and application, introduced the number of topological space, and the first half of the continuous function

5、theorem of generalized to nature. Tight space in the application of semi-continuous functions. Finally differentiate continuous function and semi-continuous functions properties, application, and finally application continuous function semi-continuous functions nature solution of the problem. Half a

6、 continuous function in the classical theory analysis and modern analysis has a wide range of applications. For example, in the most problems, variational inequalities, phase problems and countermeasures for the theory of and so on all has a pivotal role.Key words: semicontinuous; continuous; functi

7、ons; 目 錄摘要IAbstractII緒論1第1章 連續(xù)函數(shù) 21.1 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 2 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及應(yīng)用 2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 31.1.3 一致連續(xù)性及其應(yīng)用 4第2章 半連續(xù)函數(shù) 72.1 上下半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 7 運算性質(zhì)及應(yīng)用 7 保號性及應(yīng)用 8 無介值性 8 函數(shù)的界 82.1.5 內(nèi)閉區(qū)間上有界 92.1.6 保半連續(xù)性 102.2 拓撲空間上半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 122.2.1 運算性質(zhì)及其應(yīng)用 132.2.2 確界性質(zhì)及其應(yīng)用 14 緊致空間上的半連續(xù)函數(shù) 152.2.4 長度的半連續(xù)性 15第3章 半連續(xù)函數(shù)的異同 173.1 半連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的比

8、較 173.2 半連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)區(qū)別 18第4章 運用連續(xù)函數(shù)解決半連續(xù)函數(shù)問題20結(jié)論22參考文獻23致謝24緒 論函數(shù)的種類極為繁多. 在函數(shù)論中, 連續(xù)函數(shù)和它的的性質(zhì)占有相當重要的地位. 有一類函數(shù)雖然不連續(xù), 但卻具有一些與連續(xù)函數(shù)類似的性質(zhì). 這就是所謂半連續(xù)函數(shù). 半連續(xù)函數(shù)理論在古典分析和現(xiàn)代分析中都有著較為廣泛的應(yīng)用. 上(下)半連續(xù)概念自提出以來已得到廣泛應(yīng)用, 例如最優(yōu)化問題、變分不等式問題、相補問題及對策論問題等等. 并且通過對半連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的研究, 可以證得閉區(qū)間上半連續(xù)界的存在性. 半連續(xù)函數(shù)存在廣泛的應(yīng)用價值, 可將自變量的取值空間從一維延拓到一般的拓撲空間.

9、 并對性質(zhì)進行深入的研討. 很多學(xué)者都在研究這類課題. 在國內(nèi), 張風、魏建剛于1999年6月下半連續(xù)函數(shù)的逼近性質(zhì)中討論了下半連續(xù)的廣義實值函數(shù), 通過Lipschitz函數(shù)逼近的基本性質(zhì), 并由此導(dǎo)出了實值函數(shù)的廣義連續(xù)性定理. 劉麗波, 許潔, 崔曉梅, 蔣慧杰在2008年2月發(fā)表的下半連續(xù)函數(shù)的充要條件中主要針對下半連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上充要性進行論證, 并且構(gòu)造出半連續(xù)的階梯函數(shù). 在國外, Magassy OUSMANE,WU Cong-xin于2002年2月在模糊實函數(shù)中討論了模糊半連續(xù)函數(shù)、半連續(xù)函數(shù)的逼近性. 函數(shù)的半連續(xù)性在廣義函數(shù)論、積分論以及凸分析等很多學(xué)科中均有廣泛應(yīng)用.

10、 關(guān)于半連續(xù)函數(shù)的定義, 在不同的集合上有不同的表述: 如文獻1在距離空間中定義了半連續(xù)函數(shù), 文獻2在Banach空間中定義了半連續(xù)函數(shù), 文獻3給出了拓撲空間中半連續(xù)的定義, 其他方式的定義可參見文獻4-14, 但其本質(zhì)都是相同的. 本文的第一部分簡單論述連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第二部分再詳細講述半連續(xù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上, 證明閉區(qū)間上的上半連續(xù)函數(shù)是有上界、下半連續(xù)函數(shù)是有下界的. 給出判定函數(shù)在閉區(qū)間上是上半連續(xù)的充要條件, 至于下半連續(xù)函數(shù)的情形也同樣可仿照進行. 在拓撲空間上半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)中介紹運算性質(zhì)及確界性質(zhì). 給出這兩種性質(zhì)的應(yīng)用. 并且對緊致空間中相應(yīng)的理論進行介紹. 之后的第三章

11、主要辨析連續(xù)函數(shù)與半連續(xù)函數(shù)性質(zhì)、應(yīng)用上的異同. 運用對比分析的方法來解決半連續(xù)問題中的難點. 最終把理論與實際相結(jié)合, 把半連續(xù)函數(shù)理論問題結(jié)合到人類日常生活實踐中去, 更好的運用書本上的知識解決了日常中實際問題. 第1章 連續(xù)函數(shù)函數(shù)的種類繁多, 而連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中重點討論的一類函數(shù). 在人類生活的自然界中存在許多現(xiàn)象, 它們和連續(xù)函數(shù)有很大的關(guān)聯(lián). 例如溫度的變化, 農(nóng)作物的生長等都是連續(xù)地變化的, 這類現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映, 就是函數(shù)的連續(xù)性定義1.115(函數(shù)的連續(xù)性) 1(定義) , , 使得, 當時, 恒有則稱函數(shù)在點處連續(xù)2若, 則稱在點連續(xù)例1.1 易知函數(shù)在點處是連續(xù)

12、的, 因為1.1 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.1.1 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及應(yīng)用如果函數(shù)在點連續(xù), 那么在點處有極限, 而且其極限值與函數(shù)值相等, 根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)能推斷出函數(shù)在的性態(tài)定理1.1(局部有界性) 如果函數(shù)在點處連續(xù), 那么函數(shù)在某內(nèi)有界證 設(shè)=, 取, 則, 使得對一切有這就證明了函數(shù)在內(nèi)有界定理1.2(局部保號性) 函數(shù)在連續(xù), 且有 (或), 則對任何正數(shù)(或), 存在某, 使得對一切有 (或) 在具體應(yīng)用局部保號性的時候, 可取, 則當時, 在某, 有成立定理1.3(四則運算性) 若函數(shù)和在點連續(xù), 則, , (這里)也都在點連續(xù)以上兩個性質(zhì)的證明, 都可以由函數(shù)極限有關(guān)定理推得.定

13、理1.4(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的. 即函數(shù)在點處連續(xù), 在點處連續(xù), 則復(fù)合函數(shù)在點處是連續(xù)的. 證 由于在連續(xù)知, , , 當時有 (1-1) 又因為, 以及在點連續(xù), 所以對, , 使得當, 有, 由(1-1)得: , , 當時有因而, 得出在點連續(xù)例1.2 求解 可以看作是函數(shù)與的復(fù)合得 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)定理1.5(函數(shù)在閉區(qū)間上最大、最小值) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 那么存在在上有最大值與最小值 證 因為函數(shù)在上有界, 由確界原理可以得到, 的值域有上確界, 記作下證使, 倘若對于一切有成立, 令, . 又知道函數(shù)在上連續(xù), 因而在上有上界. 假設(shè):

14、是的一個上界, 則存在, 推出, , 這與為的上確界 (最小上界) 相矛盾, 所以使得. 即在上有最大值同理可以得到在上有最小值推論1.2(有界性定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 則有在上有最大值與最小值 定理1.6(介值性定理) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù). 而且還有, 假設(shè)為介于與之間的任何實數(shù)(或)，那么至少存在點使得. 例題 1.3 證明:如果有, 為正整數(shù), 那么存在唯一正數(shù), 使得(稱為的次正根)即算數(shù)根, 記作 證 存在性, 當時有, 因而存在正數(shù)使得, 因為在上連續(xù), 而且有, 故由介值性定理至少存在一點, 使得. 唯一性 設(shè)正數(shù), 使有因，故，即. 一致連續(xù)性及其應(yīng)用定義1.4 若

15、函數(shù)定義在區(qū)間上, 對, , 使得, , 只要, 有則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù) 定理1.7(一致連續(xù)性定理) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 那么有函數(shù)在上一致連續(xù)例1.4 假設(shè)區(qū)間的右端點為, , 區(qū)間的左端點也為, (可分別為有限或無限區(qū)間) 按一致連續(xù)性的定義. 證明:如果函數(shù)分別在和上一致連續(xù), 那么函數(shù)在上也一致連續(xù)證 , 由于函數(shù)在和上的一致連續(xù)性, , 使得, , 只要, 就有, , 只要, 就有點作的右端點, 函數(shù)在點為左連續(xù), 作的左端點, 函數(shù)在點為右連續(xù), 所以函數(shù)在點連續(xù), 因而對, 當時有令, , , , 對1, 同時屬于或同時屬于, 則成立2, 分別屬于與, 設(shè), 則因而由

16、得, 同理得到從而成立, 得出函數(shù)在上一致連續(xù). 例題1.5 證明:在區(qū)間上有窮個一致連續(xù)函數(shù)的和與它們的乘積在此區(qū)間內(nèi)仍是一致連續(xù)的證 由有窮個函數(shù)相加成或相乘可逐次分解成兩個函數(shù)相加或相乘, 因而, 假設(shè)與都在區(qū)間上一致連續(xù), , 由在上一致連續(xù), 使中與, 當時, 有又因為在上一致連續(xù), , 使得中, 與當時, 有令當（與為中任何兩點)時, 有因而得到在上是一致連續(xù)的性質(zhì)1.5 如果函數(shù)在有限區(qū)間上是一致連續(xù)的, 那么函數(shù)在上必有界證 , , 使得中, , 當時, 有 當, 時, 有；當, 時, 有, 因此, 根據(jù)柯西收斂準則, 得知與存在例題1.6 在閉區(qū)間上定義函數(shù):因而在閉區(qū)間上連

17、續(xù), 從而有界, 因此在區(qū)間上有界性質(zhì)1.6 如果函數(shù)與在區(qū)間上一致連續(xù)，那么在上也是一致連續(xù)的. 證 , , 使得, , 根據(jù)與在區(qū)間上的一致連續(xù)性, 取, 對區(qū)間中的與, 當時, 有, 得 因而得到在區(qū)間上是一致連續(xù)的第2章 半連續(xù)函數(shù)半連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的拓展, 它弱于連續(xù)函數(shù), 實際應(yīng)用較為廣泛, 本章研究半連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì). 在此基礎(chǔ)上, 對連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)進行比較分析. 首先用“”語言來敘述半連續(xù)函數(shù)的定義定義2.1 , , 當時, 有, 則稱函數(shù)在點處上半連續(xù), , 當時, 有, 則稱函數(shù)在點處下半連續(xù)由定義知道, 函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件, 是函數(shù)在點處同時

18、上、下半連續(xù)例2.1 假設(shè)函數(shù)是從到的, , 而對于, 對于所有的偶整數(shù), 在點是下半連續(xù)的, 對于所有的奇整數(shù), 在點既不是下半連續(xù)的也不是上半連續(xù)的2.1 上下半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.1.1 運算性質(zhì)及應(yīng)用性質(zhì)2.1 如果在閉區(qū)間上, 函數(shù), 上（下)半連續(xù), 那么它們的和也在閉區(qū)間上上（下)半連續(xù)性質(zhì)2.2 如果在閉區(qū)間上, 函數(shù)和上半連續(xù)(或和, 且下半連續(xù)), 它們的積在閉區(qū)間上為上半連續(xù)的, 如果上（下）半連續(xù), 為下（上半連續(xù)）, 那么下（上)半連續(xù)性質(zhì)2.3 如果在閉區(qū)間上, 函數(shù)上（下）半連續(xù), 那么在閉區(qū)間上下（上)半連續(xù)性質(zhì)2.4 如果函數(shù)在處上半連續(xù), 而且有, , 使得時

19、有如果函數(shù)在點處下半連續(xù), 而且還有, 那么, 使得時, 性質(zhì)2.5 如果函數(shù)在閉區(qū)間上, 上 (下) 半連續(xù), 那么有1函數(shù)在閉區(qū)間上有上 (下) 界, 即使得時, 有2函數(shù)在閉區(qū)間上能達到其上 (下) 確界即, 使得證 1應(yīng)用用半連續(xù)的定義證明性質(zhì)2.1, 因為函數(shù), 都是上半連續(xù)的, , , 當, 時有, 所以, 因而得出在閉區(qū)間上上半連續(xù) 2應(yīng)用上半連續(xù)的等價描述性質(zhì)2.1, 因為函數(shù), 在閉區(qū)間上上半連續(xù), 故時, 又因為所以得出函數(shù)在閉區(qū)間上上半連續(xù)2.1.2 保號性及應(yīng)用定理2.2(上半連續(xù)函數(shù)的局部保負性) 即是如果函數(shù)在點處上半連續(xù), , 那么, 使得時有. 同理可得下半連續(xù)

20、具有局部保正性2.1.3 無介值性 半連續(xù)函數(shù), 介值性定理不成立例2.2 設(shè)在閉區(qū)間上, 函數(shù)是上半連續(xù)的, 但是沒有使得2.1.4 函數(shù)的界 定理2.3 有界閉區(qū)間上的上半連續(xù)函數(shù)必有上界, 并且能達到上確界. 也就是說: 如果函數(shù)在閉區(qū)間上上半連續(xù), 那么1函數(shù)在閉區(qū)間有上界, 即, 對存在, 2. 函數(shù)可以在閉區(qū)間上達到上確界, 即, 使得存在證1. 應(yīng)用反證法, 假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上無界, , 使由致密性原理, 在中存在收斂的子序列, 使得 (當)又因為為閉區(qū)間, 因而有, 但是, 當時, , 所以得到 但是函數(shù)在閉區(qū)間上上半連續(xù), 有, 推得與題意相互矛盾因為函數(shù)有上界, , 如果函

21、數(shù)在閉區(qū)間上達不到上確界, 那么, , , 所以得到在閉區(qū)間上上半連續(xù), 從而有上界, , 使得有因而得出, 這與相互矛盾2假設(shè)由得到, , 使得為函數(shù)在點處的子極限, 因為函數(shù)上半連續(xù), 得推出利用有限覆蓋定理可以證明結(jié)論, , 使得 ()從閉區(qū)間的開覆蓋中可以造出有限個子覆蓋于是得到為函數(shù)在閉區(qū)間上的界2.1.5 內(nèi)閉區(qū)間上有界性質(zhì)2.3 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)上(或下)半連續(xù), 那么必然存在內(nèi)閉區(qū)間使得函數(shù)在區(qū)間上保持有界證 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)下半連續(xù), 設(shè) 函數(shù)在閉區(qū)間上無界, 得到1有, 因為函數(shù)下半連續(xù), 使得并且有2因為函數(shù)在任何閉區(qū)間上無上界, 所以對, 使得, 又因為函數(shù)的下半連續(xù)性,

22、 , 使得時, 有3以此類推得到區(qū)間長度為 (當時) 而且在每個區(qū)間上, 恒有4根據(jù)區(qū)間套定理得知, , 因而,因此與題意相互矛盾. 推理可知, 連續(xù)函數(shù)單調(diào)序列的極限不一定是連續(xù)的例2.4 在區(qū)間上連續(xù), 當增加時單調(diào)遞減有極限但函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù)2.1.6 保半連續(xù)性性質(zhì)2.4 假設(shè)函數(shù)在上是有定義的, 并且是上半連續(xù)函數(shù), 那么就有, , 有, 則在上上半連續(xù)(表示從下方趨近, 表示從上方趨近). 證 1, 應(yīng)為有, 所以, , 當時, 有2設(shè)是固定的, 因為函數(shù)在上上半連續(xù), , 當時有時有3, , 因而有得出函數(shù)在上上半連續(xù) 注記2.5 如果函數(shù)序列在區(qū)間上有定義, 那么每個都連續(xù),

23、 則在閉區(qū)間上有1當時, 函數(shù)上半連續(xù)； 2當時, 函數(shù)下半連續(xù) 定理2.6 如果函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,那么上半連續(xù), 則存在一個遞減的連續(xù)函數(shù)序列得注記2.6 上半連續(xù)函數(shù), 總可以用連續(xù)函數(shù)從上方逼近證 (構(gòu)造函數(shù)) 對于固定的點與, 函數(shù)是的連續(xù)函數(shù), 所以上半連續(xù), 已知函數(shù)是上半連續(xù)的,是的上半連續(xù)函數(shù), 從而得到在閉區(qū)間上有上界, 并且達到上確界即使得令（證明函數(shù)連續(xù))由上式得到 , 得到得到. 此時對于, 都成立, 與互換也同時成立, 因而得出表明函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)如果要證得函數(shù), 假設(shè)則有因而得到 序列有下界的證明, 固定的在=中令, 得到, 故而, 有下界因而得到存在, 并且

24、有如果要證得, 因為函數(shù)上半連續(xù), , , 當, 時有又因為函數(shù)上半連續(xù), 因而在閉區(qū)間上上有界, 因此對于固定的, 當時, 有因為如果有, 則的鄰域使得在此鄰域之外, 但是函數(shù)在閉區(qū)間上有上界, 即得, 使得, 因此有與, (時) 相互矛盾得到, 當時, 有, 于是由得到, 但是有, 令取極限, 得, 由, 知道, 得出2.2 拓撲空間上半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于半連續(xù)函數(shù)的定義, 在不同的集合上有不同的表述, 但是其中的本質(zhì)是相同的, 我們用表示拓撲空間, 表示實直線, 表示自然數(shù)集, 表示點的開鄰域, 表示的開鄰域, 或表示中的序列, 表示空集, 表示集合的內(nèi)部定義2.7 設(shè)是一個拓撲空間,

25、函數(shù), 1如果函數(shù)在點處是上半連續(xù)的, 那么, 使得, 恒有；2如果函數(shù)在點處是下半連續(xù)的, 那么, 使得, 恒有；3如果函數(shù)在點處是連續(xù)的, 那么, 使得, 恒有；4如果函數(shù)是上（下）半連續(xù)的, 那么在上每一點是上（下）半連續(xù)從而函數(shù)在點處連續(xù), 當且僅當函數(shù)在點處既是上半連續(xù)的又是下半連續(xù)的性質(zhì) 2.7 拓撲空間中的一個集合成為集, 則它是這個空間中的可數(shù)個開集的交推論2.7 假設(shè)是一個拓撲空間, 函數(shù), 則有函數(shù)是上半連續(xù)的；, 開于（開于）；, 閉于 (閉于)2.2.1 運算性質(zhì)及其應(yīng)用運算性質(zhì)的基本性質(zhì)是, 實直線上半連續(xù)函數(shù)的形式在圖譜空間中的推廣定理2.8 設(shè)為拓撲空間, , 1

26、如果函數(shù), 均是上、下半連續(xù)的, 那么它們的和上 (下) 半連續(xù)；2如果函數(shù)上 (下) 半連續(xù), 那么有函數(shù), 則為下 (上) 半連續(xù)；3如果函數(shù)上 (下) 半連續(xù), 那么函數(shù)為下 (上) 半連續(xù)證明：對2上半連續(xù)進行證明, 下半連續(xù)的情況同理可以證明1與2應(yīng)用實直線上半連續(xù)函數(shù)的證明可以得到, 這里就不予以證明證 , , 又因為函數(shù)在點處是上半連續(xù)的, 則使得, 恒有, (其中) 因為有, , 有由于, 得到在上是下半連續(xù)的例 2.816 設(shè)為拓撲空間, , 1如果函數(shù), , 均是上(下)半連續(xù), 而且有 (), 則存在在上是上半連續(xù)的；2如果函數(shù)上半連續(xù), 有, 但是是下半連續(xù), 有, 那

27、么存在在上是下半連續(xù)的；3如果函數(shù)是下半連續(xù)的, , 是上半連續(xù)的, , 使得在上為上半連續(xù)證1 因為函數(shù), 假設(shè)函數(shù), 并且有函數(shù)；, 因為函數(shù), 在上均是上半連續(xù)的, , 使得有, 其中因而得到在上均是上半連續(xù)2, , , 有, 則有從而得到在上是下半連續(xù)的3, 因為有, , 則存在, () 由于函數(shù)的下半連續(xù)性與函數(shù)的上半連續(xù)性, 使得有, 2.2.2 確界性質(zhì)及其應(yīng)用定理2.917 設(shè)是一族從到的實值函數(shù)1如果每一個在上是上半連續(xù)的, 那么在上是上半連續(xù)的；2如果每一個在上是下半連續(xù)的, 那么函數(shù)在上是下半連續(xù)的證 1因為；則有又因為, 恒有, 則有因此得到, 有, 則有所以有, 即是

28、, 從而得出所以證得函數(shù)是上半連續(xù)的因為都是上半連續(xù)的, , 有閉于, 故而得到閉于, 進而得到函數(shù)是上半連續(xù)的 2.2.3 緊致空間上的半連續(xù)函數(shù)定理2.10 對于所有從一個緊致空間到內(nèi)的下半連續(xù)的映射, 至少存在的一個點, 使得. 事實上, 令對于所有的, 使得的的集合是閉集, 并且是非空的另外, 的族對于包含關(guān)系是全序的, 這是由于是的遞增函數(shù), 因為的交集不是空集在這個交集任意取一個點, 對于所有的, 有, 因而另外, 由于的定義, 有, 故推論2.10 總有從一個緊致空間到內(nèi)的下半連續(xù)的映射在上是有下界的事實上, 我們有對于上半連續(xù)的函數(shù)有類似的結(jié)論如果我們應(yīng)用這些結(jié)果到連續(xù)函數(shù),

29、就重新得到原先的斷言：緊致空間上的連續(xù)函數(shù)取到下確界和上確界的結(jié)論 下一節(jié)就研究這些結(jié)論對于變分法的一個重要應(yīng)用2.2.4 長度的半連續(xù)性一條曲線的長度是這條曲線的函數(shù)；當曲線在我們就要明確的意義下連續(xù)變動時, 人們可能期待它的長度也連續(xù)地變化. 其實根本不是這樣. 像下面的初等例子所表明的那樣：設(shè)是方程為的平面曲線. 立即得到所有這些曲線有同樣的長度, 這是一個數(shù). 而當時, 這些曲線一致收斂到線段. 因而這個一致收斂不蘊含長度的收斂可以修改這個例子, 而用任何大于等于的數(shù)代替. 但是值得注意的是不能用一個小于的數(shù)代替. 換句話說, 收斂到線段的曲線長度的下極限等于. 這正是下半連續(xù)性, 我

30、們精確的表述這個事實參數(shù)化曲線空間:設(shè)是的一個緊致區(qū)間, 是一個距離空間. 根據(jù)前面的定義, 所有從到內(nèi)的連續(xù)映射定義一條參數(shù)化曲線, 于是可以考慮從到內(nèi)的連續(xù)映射的集合作為上的的參數(shù)化曲線的集合. 取與由定義的一致收斂的與這個距離關(guān)聯(lián)的拓撲作為上的拓撲對于, 用表示由定義的曲線的長度. 我們有了一個定義在拓撲空間上的數(shù)值函數(shù)定理2.11 長度是的的下半連續(xù)函數(shù)證 對于的所有有限子集, 其中, 對于所有令對于所有, 從到內(nèi)的映射是連續(xù)的, 于是對于所有, 映射是連續(xù)的推論2.11 從到內(nèi)的映射 (的全變差) 是下半連續(xù)的對于變分法的應(yīng)用：單變量變分法的問題直譯是在給定的曲線集合里求一條曲線,

31、其長度是最小的第3章 半連續(xù)函數(shù)的異同3.1 半連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的比較半連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)聯(lián)系非常的緊密. 正如上面所提到的, 實際上半連續(xù)函數(shù)就是連續(xù)函數(shù)的拓展所形成的, 它們具體有多少聯(lián)系我們舉例來說明例3.1 如果函數(shù)在閉區(qū)間上(下)半連續(xù), 那么函數(shù)在上有上(下)界證 假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上半連續(xù)但沒有上界, 由假設(shè)得到, 存在一數(shù)列得, 因為為有界數(shù)列, 必有收斂的子數(shù)列設(shè)因為有, 從而函數(shù)在點上半連續(xù) 由定義, , , 當 () 有又因為對于, 時有, 從而當時有 () 即 (), 它與題意矛盾, 因而上半連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有上界同理證得函數(shù)在閉區(qū)間上(下)半連續(xù)有下界. 進而得出上

32、 (下) 半連續(xù)函數(shù)不僅有界, 而且還能達到上 (下) 確界例3.2 如果函數(shù)在閉區(qū)間上上半連續(xù), 那么在使得證 假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上取不到上確界, 即對, , 令, . 因為函數(shù)在閉區(qū)間上上半連續(xù), , , 使得當時, 有 () ，即, 得到為下半連續(xù)函數(shù), 因而函數(shù)上半連續(xù), 所以函數(shù)在閉區(qū)間上有界, 設(shè)為函數(shù)的一個上界, 有, 得到 () 與相互矛盾, 因而結(jié)論成立. 同理得到：下半連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必能取到下確界3.2 半連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)區(qū)別兩個連續(xù)函數(shù)的和仍然是連續(xù)函數(shù), 但是兩個半連續(xù)函數(shù)的和不一定是半連續(xù)函數(shù)反例3.3 假設(shè), 得到函數(shù)處處上半連續(xù), 而處處下半連續(xù), 但是在點處

33、是不連續(xù)的 反例3.4 假設(shè), () 、都是處處半連續(xù)的, 但是是無處半連續(xù)的設(shè)為閉區(qū)間上對來說的單調(diào)不增的上半連續(xù)函數(shù)列且有下界, 則存在且函數(shù)在閉區(qū)間上上半連續(xù)證 因為是對來說的單調(diào)不增且有下界的函數(shù)列, 從而存在證明 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).證 假設(shè)函數(shù)不是上半連續(xù)的, 則及收斂于點的數(shù)列使得當充分大時有又由于得到這與上半連續(xù)相互矛盾. 因而函數(shù)在閉區(qū)間上上半連續(xù)同理得到, 如果函數(shù)是閉區(qū)間上對來說的單調(diào)非減的下半連續(xù)函數(shù)列而且有上界, 那么存在, 并且函數(shù)在閉區(qū)間上下半連續(xù)半連續(xù)的這一個性質(zhì)是連續(xù)函數(shù)所沒有的, 就是說單調(diào)有界連續(xù)的函數(shù)列的極限函數(shù)未必是連續(xù)的假設(shè), 因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),

34、 單調(diào)有界, 的極限函數(shù)為所以函數(shù)在區(qū)間上不是連續(xù)函數(shù)假設(shè)函數(shù)在所有有理點為上半連續(xù), 在所有的無理點為下半連續(xù), 但是函數(shù)處處不連續(xù) (只要把2與-2改寫成一相同數(shù)值, 函數(shù)變?yōu)樵谟欣頂?shù)與無理數(shù)上處處連續(xù)) 第4章 運用連續(xù)函數(shù)解決半連續(xù)函數(shù)問題 在我們所學(xué)習的教材中連續(xù)函數(shù)章節(jié)提到過黎曼函數(shù), 那是我們初學(xué)函數(shù)時, 證明過程比較簡單. 現(xiàn)在我就用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)進行拓展, 進而去解決半連續(xù)函數(shù)上黎曼函數(shù)的證明Riemann 函數(shù) 在無理點處, 既是上半連續(xù)又是下半連續(xù), 在有理點時上半連續(xù), 但不下半連續(xù) (函數(shù)在某點處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在點處同時上、下半連續(xù))假設(shè)為無理數(shù), , 滿足

35、的正整數(shù), 顯然只有有限個 (但至少有一個, 例), 從而使的有理數(shù)只有有限個 (至少有一個, 例), 設(shè)為取則對, 當為有理數(shù)時, 有；當為無理數(shù)時于是有證明了在無理點處連續(xù), 即在此點處既是上半連續(xù)又是下半連續(xù)同理設(shè)為內(nèi)任意有理數(shù), 取, , 在內(nèi), , 使得因此在有理點處上半連續(xù), 而非下半連續(xù)的我們可以自己構(gòu)造下半連續(xù)函數(shù)半連續(xù)函數(shù)至少像連續(xù)函數(shù)一樣接近于我們的感覺經(jīng)驗下面例舉一個實例, 已便于我們理解當我們注視不透明的物體時, 在所有從我們的眼睛出發(fā)的任意半直線上, 僅能看到此物體的單獨一個點, 這個點到我們眼睛的距離是這條半直線的方向函數(shù). 這個函數(shù)不是連續(xù)的, 而是下半連續(xù)的,

36、只要我們認為所觀察的物體是一個閉集事實上, 給定一個拓撲空間, 設(shè)是乘積空間的一個閉子集. 對于所有, 設(shè)是橫坐標為的的點的縱坐標的下確界, 這個例子可以試用到上所有下半連續(xù)的函數(shù)的證明. 結(jié) 論半連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的拓展, 它弱于連續(xù)函數(shù). 對半連續(xù)函數(shù)的問題的解決, 通過研究連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的方法，去剖析半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用問題. 本文是從上連續(xù)函數(shù)的定義著手, 進而討論在不同空間中的半連續(xù)函數(shù),文獻4-14對拓撲空間上半連續(xù)函數(shù)運算性、確界性的性質(zhì)定理進行闡述. 文章首先是簡單介紹連續(xù)函數(shù)理論, 在實數(shù)集中是分層敘述半連續(xù)函數(shù)的運算性、保號性、無介值性、界的存在性理論問題，但是本

37、文在研究實數(shù)集理論, 又通過對文獻4-14的研究在拓撲空間上半連續(xù)函數(shù), 運算性、確界性的應(yīng)用得以證明, 而對緊致空間上半連續(xù)函數(shù)簡介, 將其應(yīng)用到長度的半連續(xù)性, 達到本文的升華. 在第三章中就是對連續(xù)函數(shù)與半連續(xù)函數(shù)的總結(jié), 運用舉例證明, 進行對比分析, 明晰連續(xù)函數(shù)與半連續(xù)函數(shù)的差異, 解決問題.最后運用我們熟知黎曼函數(shù)在無理點時既是上半連續(xù)又是下半連續(xù), 但是在有理點處運用連續(xù)性質(zhì)理論, 以及半連續(xù)性質(zhì)定理, 得出了黎曼函數(shù)在有理點處上半連續(xù), 而非下半連續(xù)的結(jié)論. 半連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理是固定的. 但是半連續(xù)函數(shù)在我們生活與實踐中的應(yīng)用卻是隨處可見. 就如文中所提的實例中的情況而言, 對于半連續(xù)問題是我們知識積累過少, 在實際的生活上應(yīng)用不能得心應(yīng)手. 因此在以后進一步的研究中, 應(yīng)該熟知理論與實際的結(jié)合, 最大程度的發(fā)揮理論與實踐集合理論, 把數(shù)學(xué)知識運用到生活中去. 對于半連續(xù)函數(shù)在生活中的理論研究會進一步在社會時間中得到拓展. 參考文獻1