劍橋模型推導

1、比容的定義： (1) (2) (3) (4)注意： 在lnp-v平面上，回彈線SL盡管穿過了CSL線，但并不意味等壓卸載過程中應力點曾達到CSL線上，因為此坐標系中CSL為空間CSL曲線的投影，而SL始終在lnp-v平面上，并不能達到空間的CSL線上的應力狀態(tài)。圖1 土的物態(tài)全界面歸一化后土的物態(tài)全界面R在上圖2-34中AR為卸載回彈線（其方程如式（4），過其作的豎直曲面，此曲面位于物態(tài)全界面(Roscoe面、 Hvorslev面及無拉力墻構(gòu)成)以下的陰影部分，即為一彈性墻，此彈性墻交物態(tài)邊界面Roscoe面于AF，在AR線上荷載變化時，無塑性體積變化，亦即在彈性墻上，塑性體應變保持為常數(shù)。如

2、果選擇塑性體應變?yōu)橛不瘏?shù)，那么等塑性體應變面就是屈服面，等塑性體應變線AF就是屈服軌跡。AF在p-q平面上的投影AF為屈服面在p-q平面上的屈服軌跡。在圖2-35中回彈曲線與比容軸截距代表其塑性比容，在同一彈性墻上，或同一屈服線上，彈性墻的塑性比容，也就是說其塑性體應變?yōu)槌?shù)。劍橋模型基于傳統(tǒng)塑性位勢理論，采用單屈服面和相關(guān)聯(lián)流動法則。屈服面形式(方程) AF不是基于試驗而提出的，上面已根據(jù)物理意義在幾何上表示出屈服面AF ，但還無法用數(shù)學表達式表示，劍橋模型是依據(jù)能量理論得出的其屈服面方程，實質(zhì)上是一種假設(shè)。依據(jù)能量方程，外力(荷載)做功一部分轉(zhuǎn)化為變形體的彈性變形能(可儲存在變形體內(nèi)，外

3、力或荷載卸除時，可完全釋放出來)，另一部分轉(zhuǎn)化為耗散能(或稱塑性變形能，外力或荷載卸除時，不能再釋放出來) ，因而有 (5)兩種變形能可表示如下： (6) (7)關(guān)于彈塑性變形能，Roscoe作了如下的假設(shè)：(1) 假定一切剪切應變都是不可恢復的, 亦即無彈性剪應變, 只有不可恢復的塑性剪應變(總剪應變等于塑性剪應變) (8) (9)(2)假定彈性體應變可從各向等壓固結(jié)試驗中所得的回彈曲線求取,即由式(4)可得 (10) (11) (12)故: (13)(3)假定全部耗散能(塑性變形能)等于由摩擦產(chǎn)生的能量耗散, 即: (14)式中 為內(nèi)摩擦系數(shù), 其值等于p-q平面上臨界狀態(tài)線CSL的斜率M

4、 (三軸壓縮) (15)或 (三軸伸長) (16)所以 (17)而單位體積的土在p,q應力作用下如產(chǎn)生應變和, 變形能為 (18)則由式(17)和式(18)可得能量方程: (19)于是 將式(13)代入上式, 則 或 (20)式(20)實際表示了流動法則, 即表示了塑性應變增量在p-q平面上的方向, 與這一方向正交的軌跡就是在這個平面上土的屈服軌跡(相適應的流動法則),如圖2-34所示.設(shè)此屈服軌跡的方程為: (21)則 (22)因為在同一屈服面上硬化參數(shù)為常數(shù), 所以, 則 (23) 根據(jù)相適應流動法則 (24) (25)將以上兩式代入式(23),則得 (26)將式(20)代入上式,則得 (

5、27)將此微分方程變換可得到積分得到 (28)式中 C為積分常數(shù). 利用p軸上起始各向等壓固結(jié)試驗點A, 對應, 代入上式,則得 , 將之代入式(28), 則得得到濕粘土(正常固結(jié)和輕超固結(jié)土)的屈服軌跡方程為 (29)其在p-q平面上的形狀如圖2-34和圖2-35(a)所示, 像一個”帽子”, 是子彈頭形,以為硬化參數(shù).由于NCL上每一個都對應于一個(或), 所以實際上這一模型是以塑性體應變?yōu)橛不瘏?shù). 對于重超固結(jié)土, 可得到類似的屈服面, 只是對應的不同.空間無拉力墻的方程為 (30)Hvoslev面的方程為 (31)式中 h為Hvoslev線的斜率.空間Roscoe面的方程為: (32

6、)由濕粘土對應, 的不排水試驗路徑在p-q平面上的投影或歸一化的Roscoe面, 由式(2)得 (33)將式(33)代入式(32),則得對應不排試驗路徑在p-q平面上的方程為 (34)也為指彈頭形, 但顯然此不排水路徑與屈服軌跡并不重合, 不排水路徑在屈服軌跡以外.劍橋模型增量型應力-應變本構(gòu)關(guān)系將式(32)微分, 可得 (35)因由式(11)知 所以 (36)又因 , (37)于是 (38)將式(38)代入能量方程(19), 可得 (39)于是劍橋模型的彈塑性矩陣可表示為: (40)修正劍橋模型:1965年, 英國劍橋大學的Burland采用了一種新的能量方程形式, 得到了修正劍橋模型.他建議以下式代替式(14) (41)即假定總的塑性變形能等于塑性體變能和由摩擦耗散能的算術(shù)平方根,以之代替式(19)右邊第二項, 則 即 故可得: (42)此即修正劍橋模型的流動法則. 將其代入式(26), 得到 在p-q平面上的屈服軌跡方程為 (43a)或 (43b) 或 (43c)或 (43b) 即為橢圓方程. 其頂點在線上, 以為硬化