全等三角形的經典模型一

1、全等三角形的經典模型（一）3滿分晉級三角形9級全等三角形的經典模型（二）三角形8級全等三角形的經典模型（一）三角形7級倍長中線與截長補短秋季班第四講秋季班第三講秋季班第二講漫畫釋義 作弊？知識互聯(lián)網 題型一：等腰直角三角形模型思路導航等腰直角三角形數學模型思路：利用特殊邊特殊角證題（AC=BC或）.如圖1；常見輔助線為作高，利用三線合一的性質解決問題.如圖2；補全為正方形.如圖3，4. 圖1 圖2 圖3 圖4 典題精練【例1】 已知：如圖所示，RtABC中，AB=AC，O為BC的中點，寫出點O到ABC的三個頂點A、B、C 的距離的關系（不要求證明）如果點M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移

2、動中保持AN=CM.試判斷OMN的形狀，并證明你的結論.如果點M、N分別在線段CA、AB的延長線上移動，且在移動中保持AN=CM，試判斷中結論是否依然成立，如果是請給出證明【解析】 OA=OB=OC連接OA,OA=OC AN=CMANOCMO ON=OM OMN是等腰直角三角形ONM依然為等腰直角三角形，證明：BAC=90°，AB=AC，O為BC中點BAO=OAC=ABC=ACB=45°，AO=BO=OC，在ANO和CMO中，ANOCMO（SAS）ON=OM，AON=COM，又COMAOM=90°，OMN為等腰直角三角形【例2】 兩個全等的含，角的三角板和三角板，

3、如圖所示放置，三點在一條直線上，連接，取的中點，連接，試判斷的形狀，并說明理由【解析】是等腰直角三角形證明：連接由題意，得 為等腰直角三角形.，又，是等腰直角三角形【例3】 已知：如圖，中，是的中點，于，交于，連接求證：【解析】 證法一：如圖，過點作于，交于，在和中，在和中，證法二：如圖，作交的延長線于，在和中，在和中，【例4】 如圖，等腰直角中，為內部一點，滿足，求證：【解析】 補全正方形，連接DP，易證是等邊三角形，【探究對象】等腰直角三角形添補成正方形的幾種常見題型 在解有關等腰直角三角形中的一些問題，若遇到不易解決或解法比較復雜時，可將等腰直角三角形引輔助線轉化成正方形，再利用正方形的

4、一些性質來解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。例4為求角度的應用，其他應用探究如下：【探究一】證角等【備選1】如圖，RtABC中，BAC=90°，AB=AC，M為AC中點，連結BM，作ADBM交BC于點D，連結DM，求證:AMB=CMD【解析】 作等腰RtABC關于BC對稱的等腰RtBFC，延長AD交CF于點N，ANBM，由正方形的性質，可得AN=BM，易證RtABM RtCAN，AMB=CND，CN=AM，M為AC中點，CM=CN，1=2，可證得CMDCND，CND=CMD，AMB=CMD【探究二】判定三角形形狀【備選2】如圖，RtABC中，BAC= 90°，

5、AB=AC，AD=CE，ANBD于點M，延長BD交NE的延長線于點F，試判定DEF的形狀【解析】 作等腰RtABC關于BC對稱的等腰RtBHC，可知四邊形ABHC為正方形，延長AN交HC于點K，AKBD，可知AK=BD，易證:RtABDRtCAK，ADB=CKN，CK=AD，AD=EC，CK=CE，易證CKNCEN，CKN=CEN，易證EDF=DEF，DEF為等腰三角形【探究三】利用等積變形求面積【備選3】如圖，RtABC中，A=90°，AB=AC，D為BC上一點，DEAC，DFAB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE【解析】 作等腰RtABC關于BC的對稱的等腰RtGCB，可知

6、四邊形ABGC為正方形，分別延長FD、ED交BG、CG于點N、M，可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形對稱性質，可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12【探究四】求線段長【備選4】如圖，ABC中，ADBC于點D，BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的長【分析】此題若用面積公式結合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但BAC=45°，若分別以AB、AC為對稱軸作RtADB的對稱直角三角形和RtADC的對稱直角三角形，這樣就出現(xiàn)兩邊相等且夾角為90°的圖形，滿足等腰直角三角形的條件

7、，然后再引輔助線使之轉化為正方形【解析】 以AB為軸作RtADB的對稱的RtAEB，再以AC為軸作RtADC的對稱的RtAFC可知BE=BD=3，F(xiàn)C=CD=2，延長EB、FC交點G，BAC=45°，由對稱性，可得EAF=90°，且AE=AD=AF，易證四邊形AFGE為正方形，且邊長等于AD，設AD=x，則BG=x3，CG=x2，在RtBCG中，由勾股定理，得，解得x=6，即AD=6【探究五】求最小值【備選5】如圖，RtABC中，ACB=90°，AC=BC=4，M為AC的中點，P為斜邊AB上的動點，求PM+PC的最小值【解析】 將原圖形通過引輔助線化歸為正方形，即

8、作RtACB關于AB對稱的RtADB，可知四邊形ACBD為正方形，連接CD，可知點C關于AB的對稱點D，連接MD交AB于點P，連接CP，則PM+PC的值為最小，最小值為:PM+PC=DM=題型二：三垂直模型思路導航常見三垂直模型例題精講【引例】 已知ABBD，EDBD，AB=CD，BC=DE，求證：ACCE；若將CDE沿CB方向平移得到等不同情形， 其余條件不變，試判斷ACC1E這一結論是否成立？若成立，給予證明；若不成立，請說明理由. 【解析】 ABBD，EDBD 在與中（SAS）,即ACCE 圖四種情形中，結論永遠成立，證明方法與完全類似，只要證明 ACC1E典題精練【例5】 正方形中，點

9、、的坐標分別為，點在第一象限求正方形邊長及頂點的坐標（計算應用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）【解析】 過點C作CGx軸于G，過B作BEy軸于E，并反向延長交CG于F點、的坐標分別為，BE=8， AE=6，AB=10四邊形ABCD是正方形，AB=BC AEBBFCCF=BE=8，BF=AE=6 CG=12 EF=14C(14，12)，正方形的邊長為10【點評】 此題中三垂直模型：【例6】 如圖所示，在直角梯形中，是的中點， 求證：； 求證：是線段的垂直平分線； 是等腰三角形嗎？請說明理由 【解析】，是中點，由得：，由等腰三角形的性質，得：即是線段的垂直平分線是等腰三角形，

10、由得：，由得：，是等腰三角形【例7】 如圖1，ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點，且BD=CE，連接AE、CD相交于點P請你補全圖形，并直接寫出APD的度數= ；如圖2，RtABC中，B=90°，M、N分別是AB、BC上的點，且AM=BC、BM=CN，連接AN、CM相交于點P請你猜想APM= °，并寫出你的推理過程（2013平谷一模）【解析】 圖略，60°45°證明：作AEAB且.可證， 是等腰直角三角形, 又AEC CAN（SAS） ECAN. 思維拓展訓練(選講)訓練1. 已知：如圖，中，AC=BC，是上一點，AEBD的延長線于E，并且

11、，求證：BD平分.【解析】 延長AE交BC的延長線于FBEAF ， 在AFC和BDC中，AFCBDC（ASA）AF=BD又 BE是AF的中垂線BA=BF BD平分訓練2. 已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DGCE于G，DG交AC于F.求證：OE=OF【解析】 ABCD是正方形OD=OC DGCE 在DOF和COE中，DOFCOE（ASA） OE=OF訓練3. 已知：如圖，中，是的中點，于求證：【解析】 ，是的中點AD=BD=CD， ADBC在BDH和ADF中，BDHADF（ASA）DH=DF訓練4. 如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，F(xiàn)是AB上的一點，EFEC，且EF=EC，D

12、E=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長【解析】 在RtAEF和RtDEC中， EFCE， FEC=90°， AEF+DEC=90°，而ECD+DEC=90°，AEF=ECD 又FAE=EDC=90°EF=ECRtAEFRtDCE AE=CD AD=AE+4矩形ABCD的周長為32 cm， 2（AE+AE+4）=32 解得AE=6 cm 復習鞏固題型一 等腰直角三角形模型 鞏固練習【練習1】 如圖，ACB、ECD均為等腰直角三角形，則圖中與BDC全等的三角形為_.【解析】 AEC【練習2】 如圖，已知中，是的中點，垂足為，交的延長線于點求證：

13、【解析】 ，又，是的中點，即題型二 三垂直模型 鞏固練習【練習3】 已知：如圖，四邊形ABCD是矩形（ADAB），點E在BC上，且AE =AD，DFAE，垂足為F請?zhí)角驞F與AB有何數量關系？寫出你所得到的結論并給予證明FADCEB【解析】 經探求，結論是：DF = AB 證明如下：四邊形ABCD是矩形， B = ， ADBC， DAF = AEB DFAE， AFD = ， AE = AD ， AB = DF【練習4】 如圖，中，是上任意一點，交延長線于，于求證：【解析】 根據條件，、都與互余，在和中，則，【練習5】 四邊形ABCD是正方形如圖1，點G是BC邊上任意一點(不與B、C兩點重合)

14、，連接AG，作BFAG于點F，DEAG于點E求證：ABF DAE；在中，線段EF與AF、BF的等量關系是 (直接寫出結論即可，不需要證明)；如圖2，點G是CD邊上任意一點(不與C、D兩點重合)，連接AG，作BFAG于點F，DEAG于點E那么圖中全等三角形是 ，線段EF與AF、BF的等量關系是 (直接寫出結論即可，不需要證明)【解析】 在正方形ABCD中，AB=AD，在ABF和DAE中（AAS）ABFDAE課后測測試1. 問題：已知中，點是內的一點，且，探究與度數的比值請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明當時，依問題中的條件補全右圖觀察圖形，與的數量關系為_；當推出時，可進一步推出的度數