圓錐曲線解答題基礎(chǔ)練習(xí)題

1、圓錐曲線解答題基礎(chǔ)練習(xí)1求曲線的離心率。2若橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，且離心率為，一條準(zhǔn)線的方程為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。3已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)作焦點(diǎn)所在軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程。4設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值。5求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程。6試證明：橢圓與曲線有相同的焦點(diǎn)。7求以橢圓的兩頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線方程。8已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的倍，且過(guò)點(diǎn)，并且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。9已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍。10已知橢圓的左焦

2、點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓的方程。11分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是面積為的正三角形，求的值。12已知點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離之比為，求點(diǎn)的軌跡方程。13求與橢圓共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程。14已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。15已知橢圓的兩焦點(diǎn)為和，并且過(guò)點(diǎn)，求橢圓的方程。16橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，在橢圓上有一點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為，求點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離。17設(shè)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，相應(yīng)準(zhǔn)線為，離心率為。（1）求橢圓的方程；（2）求過(guò)另一焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被曲線所截得的弦長(zhǎng)。18（本小題滿分14分）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，且（為原點(diǎn)）.（1）求證：為定值；（2）若離心率，求橢圓長(zhǎng)軸的取值

3、范圍。19橢圓的焦距是長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的等比中項(xiàng)，求橢圓的離心率。20已知中，且三邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)的軌跡。21如果橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值。22如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍。23根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（1）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)24已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，求的范圍。25已知的雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，求雙曲線的方程。26求焦距為，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。27已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)。（1）求此雙曲線的方程；（2）若點(diǎn)在雙曲線上，求證：。28橢圓與雙曲線且有相同的焦點(diǎn)，求值。29已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

4、，一個(gè)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。30已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線上一點(diǎn)到的距離的差的絕對(duì)值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。31設(shè)雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求雙曲線的方程。32的兩個(gè)端點(diǎn)是,另兩邊所在的直線的斜率之積等于，求頂點(diǎn)的軌跡方程。33經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，求：（1）；（2）的周長(zhǎng)（是雙曲線的左焦點(diǎn)）。34 求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率以及漸近線的方程。35已知雙曲線的離心率，虛半軸長(zhǎng)為，求雙曲線的方程。36過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與的斜率之和為，求直

5、線的方程。37求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。38已知雙曲線，雙曲線存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。39已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值。40如果直線與雙曲線的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍。41雙曲線的一條準(zhǔn)線是，求的值。42在雙曲線的一支上有不同的三點(diǎn)，它們與點(diǎn)的距離依次成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求證：線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。43若雙曲線的右支上存在與右焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線距離相等的點(diǎn)，求離心率的取值范圍。44求的準(zhǔn)線方程。45在直角坐標(biāo)系中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，記的軌跡為又直線的一個(gè)方

6、向向量且過(guò)點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)46（本題滿分12分）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F和橢圓的右焦點(diǎn)重合，直線過(guò)點(diǎn)F交拋物線于A、B兩點(diǎn)（1）求拋物線C的方程；（2）若直線交y軸于點(diǎn)M，且，m、n是實(shí)數(shù)，對(duì)于直線，m+n是否為定值？若是，求出m+n的值，否則，說(shuō)明理由47(本小題滿分13分)已知拋物線上一動(dòng)點(diǎn),拋物線內(nèi)一點(diǎn),為焦點(diǎn)且的最小值為。求拋物線方程以及使得|PA|+|PF|最小時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo);過(guò)(1)中的P點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點(diǎn),直線CD是否過(guò)一定點(diǎn)? 若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo); 若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。48（本小題滿分12分）已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)

7、，且與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).XOBYAF（）證明：為鈍角.（）若的面積為，求直線的方程;49(本小題13分)曲線上任意一點(diǎn)M滿足, 其中F(-F( 拋物線的焦點(diǎn)是直線yx1與x軸的交點(diǎn), 頂點(diǎn)為原點(diǎn)O.（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線滿足條件：過(guò)的焦點(diǎn)；與交于不同兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由 50已知拋物線C的準(zhǔn)線為x =（p>0），頂點(diǎn)在原點(diǎn)，拋物線C與直線l:y =x-1相交所得弦的長(zhǎng)為3，求的值和拋物線方程參考答案1【解析】由得，。2【解析】，橢圓的方程為。3橢圓的方程為或【解析】設(shè)兩焦點(diǎn)為，且，由橢圓的定義知：，。，由題意知為直角三

8、角形，在中，。因?yàn)榻裹c(diǎn)可以在軸上，也可能在軸上，橢圓的方程為或。4當(dāng)時(shí)，最小，為【解析】由定義得，由三角形的性質(zhì)，當(dāng)、共線時(shí)取“=”號(hào)，+得，同樣，設(shè)，=，當(dāng)時(shí)，最大為，當(dāng)時(shí)，最小，為。5略【解析】把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，這里，因此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為：。6證明略【解析】證明：當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，與橢圓有相同的焦點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)曲線也與有相同的焦點(diǎn)，綜上，曲線與有相同的焦點(diǎn)。7【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)、，而，故所求的雙曲線的方程為8橢圓的方程為：或【解析】解法一：若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為由題意得：，解得

9、，橢圓方程為；若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，由題意得：，解得，橢圓的方程為，綜上得：橢圓的方程為：或。解法二：設(shè)橢圓的方程為：，則由題意得：或，解得：或，所以橢圓的方程為：或。9【解析】由題意得，解得。名師點(diǎn)金：與原題中的焦點(diǎn)在軸上相比，變式中焦點(diǎn)在軸上，相應(yīng)地求得的的范圍發(fā)生了變化，另外，本題也可以改成：方程表示橢圓，求的范圍，則相應(yīng)地應(yīng)分兩種情況，所得的的范圍恰好是原題的解集與變式解集的并集。10【解析】橢圓方程可化為：，左焦點(diǎn)為，由解得：，所求的橢圓方程為。11【解析】設(shè)，由是正三角形，知點(diǎn)的坐標(biāo)為。，所以。又點(diǎn)在橢圓上，即。，又，即。12【解析】由知：兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，設(shè)，則由題意知：，

10、即，化簡(jiǎn)得：，這就是點(diǎn)的軌跡方程。名師點(diǎn)金：原題和變式可以合寫為：已知點(diǎn)與點(diǎn)，的距離之比為一定值，求點(diǎn)的軌跡方程，這里要分開(kāi)進(jìn)行討論。13【解析】橢圓可先化為：，焦點(diǎn)為、，且過(guò)點(diǎn)，而點(diǎn)到、的距離之和為：=，橢圓方程為14【解析】不能確定橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，若焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)方程為，將點(diǎn)，分別代入方程得，看成是和的二元一次方程組，解得，橢圓方程為，若焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)方程為，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入后同樣可以得到（舍去），所求橢圓的方程為：。15【解析】由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)其方程為，焦點(diǎn)為和，橢圓方程可改寫為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入后解得：，橢圓的方程為：。名師點(diǎn)金：把原題中的焦點(diǎn)在軸上換成了焦點(diǎn)在軸

11、上并將這一條件與焦距為合寫成一個(gè)條件：兩焦點(diǎn)為和，再通過(guò)代入一點(diǎn)得出橢圓的方程。雖然兩者的本質(zhì)都是利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，但是變式對(duì)能力的要求更高。1610【解析】，兩準(zhǔn)線的方程為，兩準(zhǔn)線之間的距離為=，又到左準(zhǔn)線的距離為，到右準(zhǔn)線的距離為，即點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為。17【解析】（1）設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)，由圓錐曲線的共同性質(zhì)知，化簡(jiǎn)得：。（2）橢圓的另一焦點(diǎn)為，過(guò)的傾斜角為的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，設(shè)，則，由焦半徑公式=。18（1）略 （2）【解析】（1）由，得，設(shè)，即，又， 代入，得，故 （2），而 代入得 所以橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍是. 19【解析】由題設(shè)得：，又，展開(kāi)后等式兩邊同除以得：，即

12、，即，。20【解析】。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，化簡(jiǎn)得。21【解析】。橢圓的方程可以化為：，而焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，。22【解析】方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，因?yàn)榍€表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故23【解析】（1）方法一：雙曲線的焦點(diǎn)為，=，方程為，方法二：焦點(diǎn)為，只須，因此可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入得或，將舍去，所以所求方程為。（2）方法一：若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程解得（舍去）。若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程解得，所求雙曲線的方程為：。方法二：設(shè)所求雙曲線的方程為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程得：，所求雙曲線的方程為：。24【解析】由題意得得。本題可以改為：方程表示橢圓，求的取值范圍。這時(shí)除了

13、外，還應(yīng)當(dāng)注意到。25雙曲線的方程為?！窘馕觥坑傻?，橢圓焦點(diǎn)（也就是雙曲線的焦點(diǎn)）為，又，又焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的方程為。26當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程為?！窘馕觥浚?dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程為。27略【解析】（1）由離心率得，設(shè)雙曲線方程為，將代入得，此雙曲線的方程為。（2）將代入雙曲線方程，得，則。28【解析】由得，焦點(diǎn)在軸上，。29【解析】方法一：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為知：橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為和，所以，雙曲線的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上且。設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由雙曲線的定義知，=。，又，。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。方法二：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，知橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為和，所以，

14、雙曲線的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上且。設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，。又，舍去，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。30【解析】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所在設(shè)雙曲線的方程為：，所求雙曲線的方程為：。31【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)是代入，得，解之得或（舍去），所以所求的雙曲線的方程是。32【解析】設(shè)點(diǎn)，化簡(jiǎn)得頂點(diǎn)的軌跡方程為：。333，【解析】（1）右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，把代入并整理得：。（2）由方程得：，兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上，不妨設(shè)，。的周長(zhǎng)是。34同解析【解析】雙曲線可化為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，離心率為，漸近線的方程為。35【解析】，所求的雙曲線的方程為。36直線的方程為【解析】設(shè)直線的方程為

15、代入中可得，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，又，于是有，解得，并驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果是符合的約束的，直線的方程為。37【解析】，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為（），則，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。名師點(diǎn)金：此題的答案與變式的答案是相同的，變式的目的是幫助掌握等軸雙曲線的離心率為，另外，本題若改為：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且兩漸近線相互垂直的雙曲線的方程，結(jié)果仍是一樣的。38的取值范圍是?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，由，可設(shè)直線的方程為，代入中得：，顯然，即-，由根與系數(shù)的關(guān)系，得中點(diǎn)的坐標(biāo)：，在直線上，即-，把代入式得：，解得：。，即。的取值范圍是。39【解析】，應(yīng)該將坐標(biāo)化，再結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)求解。（1）由消去得：，依題意得

16、：，即。（2）設(shè)，則，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，即，即，滿足。40【解析】聯(lián)立消去得方程：，由題意，這個(gè)方程有兩個(gè)不等的正根，即，解得：。41【解析】雙曲線為，且，解得。42證明略【解析】（1），為上焦點(diǎn)，上準(zhǔn)線方程為，根據(jù)圓錐曲線的共同性質(zhì)有：，由知。（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為，在雙曲線上，作差得，故，的垂直平分線的方程為，令得，故的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)。43【解析】設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，依題意，點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離等于它到左準(zhǔn)線的距離，即，則，但是，。44【解析】，又焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線的方程是。455【解析】試題分析：解 由拋物線的定義知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，方程 3分直線的方程為，即 6分設(shè)

17、、，代入，整理，得 8分所以 12分考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。46（1）（2）m+ n為定值-1【解析】試題分析：（1）橢圓的右焦點(diǎn)拋物線C的方程為 3分（2）由已知得直線l的斜率一定存在，所以設(shè)l：與y軸交于，設(shè)直線l交拋物線于由， 5分， 7分又由即m=,同理， 9分 11分所以，對(duì)任意的直線l，m+ n為定值-1. 12分考點(diǎn)：本小題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的判定和應(yīng)用，和向量的坐標(biāo)運(yùn)算.點(diǎn)評(píng)：遇到直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，一般離不開(kāi)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，此時(shí)不要忘記驗(yàn)證判別式大

18、于零.47 (2,2). 過(guò)定點(diǎn)。【解析】試題分析：(1)過(guò)A,P分別做準(zhǔn)線的垂線,設(shè)垂足為,則|PF|=|PH|,由圖象可知,當(dāng)|PA|+|PF|取最小值即是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,此時(shí)P點(diǎn)為AA0與拋物線的交點(diǎn).故,此時(shí)拋物線方程為, P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2). (2)設(shè),直線即即, 由PAPB有得代入到中，有,即即,故直線AB過(guò)定點(diǎn)?？键c(diǎn)：拋物線的定義；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與拋物線的綜合應(yīng)用。點(diǎn)評(píng)：拋物線的定義在考試中經(jīng)?？嫉?，我們要熟練掌握。此題的第一問(wèn)解答的關(guān)鍵是：利用拋物線的定義把“的最小值”抓化為“點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離?！?8(I)見(jiàn)解析；()直線方程為?！窘馕觥吭囶}分析：(I)依題意設(shè)直線的方程為：（必存在），設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，依向量的數(shù)量積定義，即證為鈍角() 由（I）可知: , , 直線方程為考點(diǎn)：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系；弦長(zhǎng)公式。點(diǎn)評(píng)：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題進(jìn)行了等價(jià)轉(zhuǎn)化。49 (1) 的方程為：， 的方程為：。（2）存在直線滿足條件，且的方程為或【解析】試題分析：（1）由題意結(jié)合橢圓的定義和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)系式。（2）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)