多元函數(shù)微分學習題解1

1、第8章 多元函數(shù)微分學§8.1 多元函數(shù)的基本概念內(nèi)容概要區(qū)域定義鄰域空間中點的鄰域為 平面上點的鄰域為 點集開集所有點都是內(nèi)點的點集閉集開集連同邊界構(gòu)成的點集連通集任意兩點都可用一條完全在點集中的折線連接的點集區(qū)域連通的點集。開區(qū)域、閉區(qū)域；有界區(qū)域、無界區(qū)域多元函數(shù)定義D為平面上非空點集，如果對D中任一點，按某種法則，都有唯一確定的實數(shù)與之對應，則稱為D上的二元函數(shù)，記，D為定義域。幾何意義：為空間曲面，D為曲面在面上投影?？啥x三元及以上函數(shù)。二重極限當時，恒有，則稱。注：其中為任意方式。從而若以不同方式趨于時，無限靠近不同的常數(shù)，則二重極限不存在。多元函數(shù)連續(xù)若，則函數(shù)在連續(xù)

2、。初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)。閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)必有最大、最下值；有界；滿足介值定理。課后習題全解習題8-11.設 ，求。解：2. 已知函數(shù)，試求。解： 3.設，且當時，求。解：將代入原式得： ，故 4.求下列函數(shù)的定義域： （1）解：要使表達式有意義，必須 所求定義域為 （2）解：要使表達式有意義，必須， （3）解：要使表達式有意義，必須 （4）解：要使表達式有意義，必須 （5）解：要使表達式有意義，必須 5.求下列極限：（1） 知識點：二重極限。思路：為函數(shù)定義域內(nèi)的點，故極限值等于函數(shù)值。 解： （2）知識點：二重極限。思路： 應用有理化方法去根號。解： （3） 解： 原式， ， （4）解

3、：方法一： （應用二重極限定義，語言） 當時 恒有 方法二： （夾逼定理） ，又 方法三： （極坐標代換） 令 ，則當 時， （5）知識點：二重極限。思路：先作變量替換，然后對未定型應用洛必達法則及等價無窮小量替換。 解： 令，則 時，原式。（6） 解： 6.證明下列極限不存在知識點：二重極限。思路：若沿不同曲線趨于時，極限值不同，則二重極限不存在。（1） 證：取 ，則 ，易見極限會隨值的變化而變化，故原式極限不存在。（2）證：方法一：現(xiàn)考慮 ，若沿軸趨于，則 上式，從而 若沿曲線趨于，則，從而 故原式極限不存在。方法二： 若取，則 若取，則 故原式極限不存在。（3） 解： 若沿軸趨于，則 上

4、式 若沿曲線趨于，則上式故原式極限不存在。注：若沿曲線趨于，則從而 。7.研究下列函數(shù)的連續(xù)性（1） 解：當時函數(shù)無定義，故函數(shù)的間斷點集為（2）解： 函數(shù)間斷點為 ， 由 又 故由夾逼定理 ，故為可去間斷點。8.設，討論在處是否連續(xù)？知識點：二元函數(shù)連續(xù)思路：若，則函數(shù)在連續(xù)。討論處二重極限的存在性，若沿不同曲線趨于時，極限值不同，則二重極限不存在。解：若沿軸趨于，則 若沿軸趨于，則 故不存在，從而函數(shù)在處是不連續(xù)。§8.2 偏導數(shù)內(nèi)容概要偏導數(shù)偏導數(shù)定義性質(zhì)也記為同理可定義幾何意義：的偏導數(shù)表示空間曲線在點處的切線關于軸的斜率偏導函數(shù)的求法：（1）多元函數(shù)對某自變量求偏導時，只需

5、將其余自變量看為常數(shù)，按一元函數(shù)求導法則計算導數(shù)。（2）多元分段函數(shù)在分段點處偏導數(shù)要用偏導數(shù)定義來求。高階偏導數(shù)若函數(shù)的偏導數(shù)在區(qū)域D內(nèi)偏導數(shù)也存在，稱它們?yōu)槎A偏導數(shù)。二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)。如果的二階混合偏導數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi)這兩個偏導數(shù)相等。課后習題全解習題8-21. 求下列函數(shù)的偏導數(shù)：（1）；知識點：二元函數(shù)偏導數(shù)思路：函數(shù)對自變量x（y）求導時將另一自變量y（x）看為常量，按一元函數(shù)求導法則求導。解： ； （2） ；解： ， 故（3） ；解： ；注：該題中應用一元函數(shù)商式求導法則及復合函數(shù)求導法則。（4） ； 解：； （5） ；解： （6） ；知識點：二元函

6、數(shù)偏導數(shù)思路：函數(shù)對自變量x（y）求導時將另一自變量y（x）看為常量，按一元函數(shù)求導法則求導。在本題中對自變量x求偏導時，函數(shù)為x的冪函數(shù)；對自變量y求偏導時，函數(shù)為y的冪指函數(shù)。 解： 方法一 方法二：（求時也可利用下邊第5節(jié)的隱函數(shù)求導法則）在方程兩邊同時取自然對數(shù)得 方程兩邊同時對自變量求偏導數(shù)，注意為的函數(shù) （7） ；解： ； （8） ；知識點：多元函數(shù)偏導數(shù)思路：函數(shù)對自變量x（y或z）求導時將另兩自變量y，z（x，z或x，y）看為常量，按一元函數(shù)求導法則求導。 解： ； ； 2. 設 ，求 。 解： 法一： ，； 法二： ， 3.設 ，求知識點：多元分段函數(shù)偏導數(shù)。思路：分段函數(shù)分

7、段點處偏導數(shù)用定義求；非分段點處應用法則求導。 解：當時， 不存在。 當 時， 4.曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角是多少？知識點：多元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義。思路：的偏導數(shù)表示空間曲線在點處的切線關于軸的斜率，。解： ， ，5. 求下列函數(shù)的和：（1）； 解： ；（2） ； 解： ； ； （3）。解： ； 6. 設，求及。解：，又 ， 所以 ，7. 設，其中可導，證明。證： ， 左邊； 右邊， 所以 左邊=右邊，題目得證。注： 本題中對抽象函數(shù)應用了一元復合函數(shù)求導法則。8. 設，求及。解： ，； §8.3 全微分及其應用內(nèi)容概要全微分及其應用定義 如果函數(shù)在點的全增量可表示為，其

8、中與無關，則稱函數(shù)在點可微，全微分。性質(zhì)（1）若函數(shù)在可微，則在連續(xù)（2）若函數(shù)在可微，則；從而若，則函數(shù)在不可微。（3）若函數(shù)在可微，則在偏導數(shù)存在，且（4）若函數(shù)在的某鄰域存在偏導數(shù)且，在連續(xù)，則函數(shù)在可微，且全微分應用若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)偏導數(shù)，在連續(xù)，且都比較小時，有全增量近似公式 函數(shù)值近似公式課后習題全解習題 8-31.求下列函數(shù)的全微分： （1）；知識點：全微分。思路：求出函數(shù)的偏導數(shù)，代入全微分公式 。解： 所以 （2） ；解： 所以 （3）；解： 所以 2. 求函數(shù)在時的全微分。解：所以 3. 設，求解： 故 從而 4. 求函數(shù)在時的全增量和全微分。解： 將 代入得： 全增量

9、全微分5. 計算的近似值 知識點：全微分思路：應用全微分近似計算公式 解： 設 ，則要計算的近似值就是該函數(shù)在時的函數(shù)值的近似值。 取 又 應用公式 所以 6. 計算的近似值知識點：全微分思路：應用全微分近似計算公式 解： 設，則要計算的近似值就是該函數(shù)在時的函數(shù)值的近似值。取 又 所以 所以 7. 已知邊長為與的矩形，如果邊增加，而邊減少，問這個矩形的對角線的近似變化怎樣？知識點：全微分思路：應用全微分近似計算公式 解：由題意知矩形的對角線為 則有 ，其中 ，所以 即矩形的對角線近似減少2.8cm。8. 用某種材料做一個開口長方體容器，其外形長，寬，高，厚，求所需材料的近似值與精確值。解：設

10、容器的長寬高分別為，則長方體體積為，從而所需材料的精確值為 由題意可知， 故 精確值 近似值9. 有歐姆定律，電流I，電壓V及電阻R有關系。若測得V=110V，測量的最大絕對誤差為2V，測得I=20A，測量的最大絕對誤差為0.5A。問由此計算所得到的R的最大誤差和最大相對誤差是多少？解： 其中，分別為測量電壓和電流的絕對誤差；故 又 ， 故 從而R的最大誤差為，最大相對誤差是。§8.4 復合函數(shù)微分法內(nèi)容概要復合函數(shù)微分法類型求導法則復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形如果函數(shù)及在點處可導，函數(shù)在對應點出具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在對應點處可導，且復合函數(shù)中間變量為多元函數(shù)情形如果函

11、數(shù)及在點處可導，函數(shù)在對應點出具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在對應點處可導，且，復合函數(shù)中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形如果函數(shù)及在點處可導函數(shù)在點可導，函數(shù)在對應點出具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在對應點處可導， 且，注：若，則；其中為對中間變量的偏導數(shù)，此時應將中變量看做常數(shù)；而為對自變量的偏導數(shù)，此時將自變量看為常數(shù)。與區(qū)別同上。課后習題全解習題 8-41. 設，而，求 解： 2. 設，而，求解： 3. 設，而，求 解： 4.設，求解： 令 則函數(shù)可看為復合而成的函數(shù)，從而 注：本題也可根據(jù)冪指函數(shù)求導法則計算或用對數(shù)求導法。5.設，求解： （指對中間變量的偏導數(shù)，此時將中看為常量） 6.

12、 求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)（其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)）：（1） 解：令，則原函數(shù)為復合而成的函數(shù)，按多元復合函數(shù)求道法則有： （2） 解： 令，則原函數(shù)為復合而成的函數(shù)，按多元復合函數(shù)求導法則有： （3） 知識點：多元復合函數(shù)求導法則。思路：函數(shù)有三個中間變量，其中變量既是中間變量又是自變量。解： 令，則函數(shù)為復合而成，按復合函數(shù)求導法則有： （其中 為函數(shù)對中間變量的導數(shù)） 7.設，其中為可導函數(shù)，驗證：。知識點：多元復合函數(shù)微分法。思路：本題為抽象函數(shù)的復合函數(shù)，故要用商式求導法則，再按復合函數(shù)求導法則求導。 證：令，則 ， 所以有： 。8.設，其中有二階連續(xù)偏導數(shù)，求 解： 令 ，則函數(shù)可看

13、為復合而成的函數(shù)，由求導法則有：， 函數(shù)仍為復合而成的復合函數(shù)，依然以為中間變量以為自變量，且由有二階連續(xù)偏導數(shù)，得 又由函數(shù)對自變量的對稱性可得： ，9.設，其中具有連續(xù)二階偏導數(shù)，求解： 令 ， 則函數(shù)為復合而成，按復合函數(shù)求導法有：，由為的函數(shù)，所以仍為以為中間變量，以為自變量的函數(shù)，故 （具連續(xù)二階偏導數(shù)）（與課后答案不同。）10.求下列函數(shù)的（其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)） （1） 解：令，則函數(shù)為復合而成的函數(shù)，其中變量既是中間變量又是自變量，按復合函數(shù)求導法有： ，（其中是函數(shù)對中間變量的偏導數(shù)，求解時將中間變量看作常量）又由為的函數(shù)，所以仍為以為中間變量，以為自變量的函數(shù)，故 （2）

14、 解：令 ， 則函數(shù)為復合而成，按多元復合函數(shù)求導法： ，由為的函數(shù)，所以仍為以為中間變量，以為自變量的函數(shù)，故 （具連續(xù)二階偏導數(shù)） （具連續(xù)二階偏導數(shù)）與書后答案不同（具連續(xù)二階偏導數(shù)）11.設二次可微，且，試證： 知識點：多元復合函數(shù)的求導法則思路：在本題中將函數(shù)看為的函數(shù)時，是中間變量的角色。按鏈式法則對自變量求導即得右邊；將函數(shù)看為的函數(shù)時按求導法則即得左邊。證：； （二次可微，故）（二次可微，故）；又 故 左邊右邊，得證。12.設，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，驗證： 。證： 令，則； ；故 ，得證。§8.5 隱函數(shù)微分法內(nèi)容概要隱函數(shù)微分分類法則一個方程情形若二元方程確定

15、一元隱函數(shù)，則若三元方程確定二元隱函數(shù)，則方程組情形若方程組確定二元函數(shù)則，課后習題全解習題8-5 1.已知，求。 知識點：隱函數(shù)求導。 思路：設左端函數(shù)為，先求出，代入。 解 ：設 ， 所以 注： 本題也可通過一元函數(shù)隱函數(shù)求導法則求解。 2.設，求 解： 方法一; （應用隱函數(shù)存在定理公式）設 ， ，故 ；。方法二：（在方程兩邊對自變量求偏導，注意變量為的函數(shù)） 方程兩邊同時對自變量求偏導，得：，整理可得： 故 方程兩邊同時對自變量求偏導，得：，整理可得 故 3.設函數(shù)由方程所確定，證明 。證：方法一：（應用隱函數(shù)存在定理公式） 設 ，令 則 ； 故 ； 方法二： 方程兩邊同時關于求偏導，

16、注意是的函數(shù)。 令 ，方程兩邊同時關于求偏導，得： ，故 又由 變量的對稱性同樣可得： ， 故 方法三：（利用全微分公式及全微分形式的不變性） 方程兩邊同時取微分得 故 整理得 由全微分公式可知 故 4. 設，其中可導，求 解： 方法一： 設 其中 則 故 ；方法二：方程兩邊同時關于求偏導，注意是的函數(shù)。方程兩邊同時對自變量求偏導 得： 整理得 方程兩邊同時對自變量求偏導 得： 故 。5. 設具連續(xù)偏導數(shù)，證明由方程所確定的隱函數(shù)滿足 。證：在方程兩邊關于求偏導得： 同樣地，方程兩邊關于求偏導得： ，得證。6. 設，求 解：方法一： （用隱函數(shù)求偏導公式）設 ，則 故 所以 （求導時注意此式中

17、仍為的函數(shù)） （求導時注意此式中仍為的函數(shù)） 方法二：（直接法） 方程兩邊同時關于求偏導得： （1） 整理得 方程（1）兩邊再關于求偏導得： 故 同樣的 方程兩邊同時對求偏導得： （2） 整理得 方程（2）兩邊再關于求偏導得： 故 7. 設 ，求。解： 設 ，則有： 故 又 時 ，故8. 設，求 解：方法一：由題意知，方程組確定隱函數(shù)組 ，在方程組兩邊同時對求導得 ， 整理得 當 時 ，方法二：（利用微分形式不變性）由題意知，方程組確定隱函數(shù)組 ，在方程組兩邊同時求微分得 將方程組中看為未知量，從中消去得 ， 即 同理可得 9. 設，求 解：由題意知，方程組確定隱函數(shù)組 ，在方程組兩邊同時對求

18、導得 整理得 當時 ；與課后答案不同。注：本題也可采用8題方法二解決。10. ，求 解：方法一：由題意知，方程組確定隱函數(shù)組 ，在方程組兩邊同時對求偏導得，整理得 故 ，同理可得， 。方法二：（利用全微分形式的不變性與全微分公式，將用表示，則表示系數(shù)即為所求）由題意知，方程組確定隱函數(shù)組 ，在方程組兩邊同時求微分得把 看成未知量， 消去方程組中得： ，由全微分公式可得： ；同理可得 ：；11.設，證明： 證：方程兩邊同時取對數(shù) 設 ，得 故 。得證。注：本題也可以按一元函數(shù)隱函數(shù)求導法則來求解。§8.6 微分法在幾何上的應用內(nèi)容概要微分法在幾何上的應用空間曲線的切線與法平面（1）曲線

19、的參數(shù)方程為，三個函數(shù)均可導，導數(shù)不全為零。則曲線在某點處的切向量為記，則切線方程 法平面方程為 （2）曲線的方程為，在可導，則曲線在某點處的切向量為，則切線方程 法平面方程為 （3）曲線方程為，具連續(xù)偏導數(shù)，則曲線在點處切向量為，則切線方程為 法平面方程為空間曲面的切平面與法線（1）曲面方程為，則曲面在點處法向量為，則切平面方程為 法線方程為 （2）曲面方程為則曲面在點處的法向量為切平面方程為 或（上式表明函數(shù)在點處的全微分，在幾何上表示曲面在點處的切平面上點的豎坐標的增量。）法線方程為 課后習題全解習題8-61.求曲線在處的切線方程與法平面方程。 解： 又 時 ，故 曲線在處的切向量 于是

20、，所求切線方程為 法平面方程為 2.求曲線在點處的切線方程及法平面方程。解： 由題設可知 ，故 故曲線在點處的切向量 于是，所求切線方程為 法平面方程為 3.求曲線在點處的切線方程與法平面方程。解：設， 則 故曲線在點處的切向量為故所求切線方程為，法平面方程為，即。4找出曲線上的點，使在該點的切線平行于平面。知識點：空間曲線的切線 、數(shù)量積、平面法向量思路：先求出曲線的切向量，再求出平面的法向量，已知切線平行于平面從而垂直于法向量，利用向量垂直的條件的出所求點對于的參數(shù)值，然后代入曲線方程即可。解：設該點為，其對應參數(shù) 又，故該點的切線向量為 平面的法向量為 ，由題意有 故 即 解得： 從而

21、所求點為 或 5求曲面上平行于平面的切平面方程知識點：空間曲面的切平面方程、向量平行條件思路：先求出空間曲面切平面的法向量表達式，解：設 ，則 設切點為，曲面在點M處的法向量為又切平面和已知平面平行，所以切平面的法向量和平面的法向量平行 故 ，又 所以切點為 故切平面方程為 即。6.求曲面在點處的切平面方程與法線方程。解：這里 ，則切平面的法向量公式為 從而在點處的法向量為 故切平面方程為 即 法線方程為 7.證明：曲面在任意一點出的切平面都平行于直線 其中F具有連續(xù)的偏導數(shù)。知識點： 空間曲面的切平面、多元隱函數(shù)偏導思路：先根據(jù)隱函數(shù)微分法求出曲面上點的法向量，然后根據(jù)向量數(shù)量積驗證與直線方

22、向向量是否垂直。證：設，則曲面上任一點處的法向量為 又已知直線的方向向量為，且故，從而曲面在任意一點出的切平面都平行于已知直線。8.證明曲面方程（，常數(shù)）上任意點處的切平面與三個坐標面所形成的四面體的體積為常數(shù)。知識點：空間曲面的切平面，四面體體積。思路：先求出曲面在任一點處的切平面，然后求出切平面的截距式方程，求出截距，再求四面體體積。證：設，則曲面上任取一點，則曲面在該點的法向量為切平面方程為 從而截距式方程為 ，故四面體體積為 得證。§8.7 方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容概要方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)定義性質(zhì)函數(shù)在某領域有定義，為自點出發(fā)的射線，記，函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)為1.函數(shù)在處可

23、微，則 ，為軸正向到方向的轉(zhuǎn)角。2.函數(shù)在點可微，則其中為方向的方向余弦。梯度函數(shù)函數(shù)在處有一階連續(xù)偏導數(shù)，梯度為函數(shù)函數(shù)在處有一階連續(xù)偏導數(shù)，梯度為注：梯度為一向量：其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，它的模為方向?qū)?shù)的最大值。課后習題全解習題8-71.求函數(shù)在點處沿向量的方向?qū)?shù)。 解：向量的方向余弦為 又 故 （與答案不同）2.求函數(shù)在拋物線上的點處，沿著此拋物線在該點處偏向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù)。解：將兩邊同時對求導得：，則 故點在拋物線上切線斜率為，從而方向的傾角為。 又 故 3.求函數(shù)在點處沿點的向徑方向的方向?qū)?shù)。解：向徑，其方向余弦為 4.求函數(shù)在曲線上點沿曲線在該點的切線

24、正方向的方向?qū)?shù)。解：當時，曲線上點為又 曲線的切向量為故處切線的方向為，從而方向余弦為 5.設，求。解： 故 6.確定常數(shù)，使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，其中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)。 解： 由 故 又具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，故即 整理得 ，由，得 。7.求函數(shù)在點的梯度之間的夾角。解： 故又 故，從而兩梯度的夾角為。8.設函數(shù)，其中，試討論在空間哪些點處等式成立。解：故 ，同理可得 ，所以 若，則，即在空間球面上。§8.8多元函數(shù)的極值內(nèi)容概要多元函數(shù)極值多元函數(shù)極值定義性質(zhì)函數(shù)在點某領域內(nèi)有定義，對領域內(nèi)任一異于的點，如果，則稱函數(shù)在點取得極大（?。┲担瑸闃O值點。1.（必要

25、條件）函數(shù)在點處具有連續(xù)偏導數(shù)，且在點有極值，則必有。（可推廣至多元函數(shù)）2.（充分條件）函數(shù)在點處具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且，令，則（1）當時，函數(shù)在處有極值，且時有極小值，時有極大值。（2）當時，函數(shù)在處沒有極（3）當時，不確定。條件極值求函數(shù)在條件下的極值的方法：方法一：化為無條件極值。即在方程下解出，代入目標函數(shù)，按無條件極值計算。方法二：拉格朗日乘子法。即作輔助函數(shù)由解出可能極值點，而后判斷是否為所求。注：若約束條件不止一個，可增加拉格朗日乘子。如：函數(shù)在條件，下的極值，則作輔助函數(shù)課后習題全解習題8-81.求函數(shù)的極值。知識點：多元函數(shù)極值思路：解方程組得出函數(shù)的駐點，然后求出函數(shù)二階

26、偏導數(shù)，確定駐點處A,B,C 的值，依據(jù)符號判定是否為極值點。解：解方程組 由得，代入得 ，故 故有兩駐點 又 ， 駐點 ，故不是極值點；駐點， ，又，所以函數(shù)在點處取得極大值。（與習題答案不同）2.求函數(shù)的極值。解：解方程組 由（2）得 ，代入（1）得 ，故有駐點 對 ，且 ，所以函數(shù)在點取得極小值，同樣可得函數(shù)在點也取得極小值。（函數(shù)及偏導數(shù)關于均為偶函數(shù)），對，所以不是極值點。3.求函數(shù)的極值。解：解方程組 由（2）得 ，代入（1）得 ，故駐點為又 故 ，又，所以函數(shù)在點處取得極小值4.求函數(shù)的極值。解：解方程組 （1）+（2）并代入（1）得 得 駐點 對 ，且，所以函數(shù)在處取得極大值，

27、5求由方程確定的函數(shù)的極值。知識點：多元函數(shù)極值、隱函數(shù)求導思路：先按隱函數(shù)求導法則求出函數(shù)偏導數(shù)，然后解方程組得出函數(shù)的駐點，然后求出函數(shù)二階偏導數(shù)，確定駐點處A,B,C 的值，依據(jù)符號判定是否為極值點。解： 方法一：在方程兩邊同時對x求偏導得 在方程兩邊同時對求偏導得: 解方程組得 駐點 ，且時或又 故 時 ，又，故函數(shù)在點處取得極小值時 ，又，故函數(shù)在點處取得極小值方法二：（本題特殊性，可用配方法）原方程可變?yōu)?（以為中心，為半徑的球面）故 ，當時，取得極大值4，故為極大值，為極小值。6.欲圍一個面積為60平方米的矩形場地，正面所用材料每米造價10元，其余三面每米造價5元，求場地的長、寬

28、各為多少米時，所用材料費最?。糠椒ㄒ唬褐R點：多元函數(shù)條件極值思路：根據(jù)題意給出目標函數(shù)（材料費）及約束條件（面積60），根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法求解。解：設場地的長為米，寬為米，則問題歸結(jié)為在約束條件 下求的最小值。 作拉格朗日函數(shù) 由（1），（2）可得代入（3）得 ，由問題本身的意義知，該點就是所求最小值。即當長為，寬為時所用材料費最省。方法二： （一元函數(shù)最值）設場地的長為米，則寬為米，由題意知目標函數(shù)為， 令 ，得唯一駐點又 ，故為極小值點，由實際問題可知即為最小值點。即當長為，寬為時所用材料費最省。7.將周長為的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個圓柱體，問矩形的邊長各為多少時，才能使圓柱體的體積最

29、大？解：設矩形的長為則寬為，將矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個圓柱體，則圓柱體的底面半徑為，高為，從而體積為 ，令 ，得唯一駐點 又故為極大值點，由問題的實際意義，從而為最大值點。即當長為，寬為時圓柱體取得最大體積。注：本題也可采用二元函數(shù)條件極值解決，其中目標函數(shù)為圓柱體體積，約束條件為周長。8.拋物面被平面截成一橢圓，求原點到此橢圓的最長和最短距離。知識點：多元函數(shù)條件極值思路：根據(jù)題意給出目標函數(shù)及約束條件，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法求解。該題中如果將原點到點的距離作為目標函數(shù)的話，約束條件應該有兩個。解：設橢圓上點的坐標為，則原點到橢圓的距離為，故距離的平方為 ，其中 ，（約束條件） 作拉格朗日函數(shù)

30、 （1）-（2）得 即若，帶回（1）得，由（3）可得，這與（4）矛盾。故 ，由（4），可得 ，代入（5）式 解之得 ，從而 由問題本身的意義知為最小值點，為最大值點。因為，從而最短距離為，最長距離為。9.某工長生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A與B，出售單價分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品A與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品B的總費用是 （元）求取得最大利潤時，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？解：利潤函數(shù) ，得：，又 ， ，故，為極大值點，由問題的實際意義知，也為最大值點。即當生產(chǎn)120件產(chǎn)品A，80件產(chǎn)品B時所得利潤最大。10.某種合金的含鉛量百分比為，其溶解溫度為，由實驗測得與的數(shù)據(jù)如下表：36.946.763.777.884.

31、087.5181197235270283292試用最小二乘法建立與之間的經(jīng)驗公式。解：方程組 其中 代入方程組得解得： 所以經(jīng)驗公式為。11.已知一組實驗數(shù)據(jù)為?，F(xiàn)若假定經(jīng)驗公式是。試按最小二乘法建立應滿足的三元一次方程組。解：設M是各個數(shù)據(jù)的偏差的平方和 令 整理得 即 為所求三元一次方程。12.某工長建造甲、乙兩種產(chǎn)品。單價分別為2萬元和5萬元。設制造一個單位的甲產(chǎn)品至多需要A類原料一個單位，電力1000度；制造一個單位的乙產(chǎn)品至多需要B類原料3個單位，電力2000度。現(xiàn)有A類原料4個單位，B類原料9個單位，電力8000度。問該廠在現(xiàn)有條件下，應如何決定甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量，才能使收益最大？解

32、：設生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為，則收益函數(shù)為，其中 即本題為求線性規(guī)劃問題 ODCBA0由上圖可知由直線所圍區(qū)域的邊界交點分別為,，且,，由線性規(guī)劃問題最優(yōu)解在區(qū)域邊界處取得，故最大收益為，即甲產(chǎn)量為2，乙產(chǎn)量為3時獲得最大收益。 總復習題八1.求函數(shù)的定義域。解：函數(shù)的定義域為 故 2.求下列極限： （1） 知識點：二重極限思路：由題目知該函數(shù)為型的冪指函數(shù)未定型，可根據(jù)重要極限計算。解： 原式 （2） 解： 又 ，由夾逼定理知 3.求極限 知識點：二重極限思路：二重極限中是指以任意方式趨于該點，若沿不同曲線趨于時，極限值不同，則二重極限不存在。解：取 ，則 ，易見題設極限的值隨的變化而變化

33、，故題設極限不存在。4.討論二元函數(shù) 在點的連續(xù)性。知識點：二元函數(shù)連續(xù)思路：先求出函數(shù)在該點的二重極限，若極限值等于函數(shù)值則連續(xù)。解： 為有界函數(shù)，由無窮小量與有界變量乘積仍為無窮小， 函數(shù)在點連續(xù)。5.求下列函數(shù)的偏導數(shù)（1） 知識點：二元函數(shù)偏導數(shù)、積分上限函數(shù)思路：積分上限函數(shù)求導法則，及二元函數(shù)求偏導法則。解： （2） 解： 6.設 ，試證明解： 由函數(shù)對變量的對稱性可得： ， 得證。7.求函數(shù) 的全微分。解： 由函數(shù)對的對稱性可知 注：該題也可用全微分形式的不變性計算，鑒于函數(shù)過于繁瑣，不再重述。8.求的全微分解：方法一： 由函數(shù)對變量的對稱性可知 方法二： 函數(shù)兩邊去自然對數(shù)得

34、方程兩邊同時關于求偏導（注意為的函數(shù)）得 同理可得： 9.設 ，求 解： 10.設 ，求 。解：當時， 當 時， ， 11.設，討論在處的可微性。知識點：全微分思路：可微的必要條件，若，則函數(shù)不可微。解： 假設在處的可微，則考慮 在處不可微。12.設，問在點處，（1）偏導數(shù)是否存在？ （2）偏導數(shù)是否連續(xù)？ （3）是否可微？知識點：二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)、可微性。思路：通過偏導數(shù)定義判斷偏導數(shù)存在性；求出偏導函數(shù)，注意分段函數(shù)偏導函數(shù)求法；全微分定義。 解：（1）函數(shù)在點處偏導數(shù)存在。（2）當 時， 又 沿軸趨于時，上式 不存在， 故偏導數(shù)在點不連續(xù)。由函數(shù)關于變量的對稱性可知 同理可得 不存在

35、，故偏導數(shù)在點不連續(xù)。（3） 即 ，故，函數(shù)在可微。13.設，求知識點：多元復合函數(shù)求導思路：變量是以為中間變量，以為自變量的函數(shù)。按復合函數(shù)求導鏈式法則求導，中間注意與的區(qū)別。解：（其中為將中間變量看為常量，對的偏導數(shù)） 14.設，而，為可導函數(shù)，證明。解： 15.設，其中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求。解： 易知，仍為以為中間變量，以為自變量的函數(shù) 16.設，求（為自然數(shù)）。解： ， ， 為便于計算，將整理如下 17.設為由方程所確定的隱函數(shù)，求和。解：方法一 設 ， 方法二： 方程兩邊同時關于求偏導，注意，得 整理得 同理可得 18.設方程確定了函數(shù)，求，解：令 ，方程兩邊同時關于求偏導，注意

36、 整理得 同理可得： 19.設為由方程所確定的函數(shù)，求。解：方法一：函數(shù)為 ，；令 方程兩邊同時關于求偏導 ，（1） 整理得 方程兩邊同時關于求偏導 ，整理得 在（1）式兩邊再關于求偏導 （注意為的函數(shù)） 整理得 方法二 ： 求時也可用全微分形式的不變性 故 整理得 故 ，20.設，求。解：令 由隱函數(shù)求導公式可得： 21.，求解：方法一：在方程組兩邊同時求微分得： 消去可得 故 消去可得 故 方法二：方程兩邊同時關于求導，注意其中均為的函數(shù) 可解得 ，22.求橢球面上平行于平面的切平面方程。解： 設所求切平面的切點為,則 設 則切平面的法向量為 由題意可知 ，其中為已知平面的法向量故 聯(lián)合可

37、得切平面方程為 即23.求螺旋線在點處的切線方程及法平面方程。解：在點處， 又 曲線的切向量為切線方程為，即法平面方程為，即24.在曲面上求一點，使這點處的法線垂直于平面，寫出該法線的方程。解： 設該點為，則曲面的在該點的法向量為由題設可知，其中為已知平面的法向量，又 ，法線方程為。25.試證曲面上任何點的切平面在各坐標軸上的截距之和等于。解：設，則設點為曲面上任一點，則該點處曲面的法向量為 切平面方程為 即 又故平面在坐標軸上的截距分別為切平面在各坐標軸上的截距之和，得證。26.求函數(shù)在球面上點處，沿球面在該點的外法線方向的方向?qū)?shù)。解：設，則 故球面在點處的法向量為 ，從而向量的方向余弦為

38、 （為球面上點，故） 又 所以 27.求函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)，并求在這點的梯度和最大的方向?qū)?shù)及最小的方向?qū)?shù)。解： ，為單位向量 故函數(shù)沿方向的方向?qū)?shù)為：同時可知函數(shù)在該點的梯度為 又 ，故最大的方向?qū)?shù)為，最小的方向?qū)?shù)為28.曲面上點處指向外側(cè)的法向量為，求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)。解：設，則 故曲面在點處外法向量為從而的方向余弦為又 故 。29.設都是的函數(shù)，的各偏導數(shù)存在且連續(xù)，證明：（1）（2）證：（1） （2） 30.求函數(shù)的極值。解： 令 得駐點又，對點，且，故函數(shù)在處取得極小值1對點，故函數(shù)在點沒有極值。（與習題答案不同）31.將正數(shù)分成三個正數(shù)，并使最大，其中均為已

39、知數(shù)。解：方法一：由題意，該題即求函數(shù)在約束條件下的最大值問題。令 則 ， 得： 代入得： 故函數(shù)的最大值為。方法二： 也可將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在約束條件下的最大值問題，函數(shù)與函數(shù)有相同的最值。令 則 ， 代入得： 故原函數(shù)的最大值為。32.某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場上銷售，售價分別為和，銷售量分別為和，需求函數(shù)分別為和，總成本函數(shù)為。試問：廠家如何確定兩個市場的售價，才能使得獲得的最大利潤最大？最大利潤為多少？解：設售價分別為和，則總成本函數(shù)利潤函數(shù) 由 得唯一駐點由實際問題可知，時廠家可獲得最大利潤（萬元）。33.某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告。根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入（萬元）與電臺廣告費用（萬元）及報紙廣告費用（萬元）之間的關系有如下的經(jīng)驗公式： （1） 在廣告費用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略；（2） 若廣告費用為萬元，求相應的最優(yōu)廣告策略。解：（1） 由題意可知，收入函數(shù)為 由 得 ，故又，故函數(shù)在處取得極大值，由問題實際意義，函數(shù)在此處取得最大值。（2）由題意可知，收入函數(shù)為 ，約束條件為，該小題為