概率論復(fù)習(xí)提綱

1、概率論復(fù)習(xí)提綱第一章 隨機(jī)事件和概率 （11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)B A時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時(shí)，P( )=1- P(B)第二章 隨機(jī)變量及其分布 （5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在 重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件 發(fā)生的概率為 。事件 發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為 ，則 可能取值為 。， 其中 ，則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 ， 的二項(xiàng)分布。記為 。當(dāng) 時(shí)， ， ，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為， ， ，則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的泊松分布，記為 或者P( )。泊松分布

2、為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量 的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù) 在a，b上為常數(shù) ，即axb其他，則稱隨機(jī)變量 在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為axb0， x<a，1， x>b。當(dāng)ax1<x2b時(shí)，X落在區(qū)間（ ）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布,0, ,其中 ，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為,x<0。記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為， ，其中 、

3、 為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 、 的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為 。具有如下性質(zhì)：1° 的圖形是關(guān)于 對稱的；2° 當(dāng) 時(shí)， 為最大值；若 ，則 的分布函數(shù)為。參數(shù) 、 時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 ，其密度函數(shù)記為， ，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0) 。如果 ，則 。 第三章 二維隨機(jī)變量及其分布（2）期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差

4、的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩 為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為 ，即與記號 相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記

5、為 與 。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作 （有時(shí)可簡記為 ）。| |1，當(dāng)| |=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng) 時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的： ；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機(jī)變量X與Y，如果有 存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為 ；k+l階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y)

6、;(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）獨(dú)立和不相關(guān)（i） 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則 ；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（ ），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）<C(i=1,2,),則對于任意的正數(shù)，有特殊情形：若X1，X2，具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次

7、試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1，X2，Xn，是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=，則對于任意的正數(shù)有（2）中心極限定理列維林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差： ，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實(shí)數(shù)x，有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量 為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對于任意實(shí)數(shù)x,有第六章 樣本及抽樣分布（1）數(shù)理

8、統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。樣本我 們把從總體中抽取的部分樣品 稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分 布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)， 表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后， 表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本 值）。我們稱之為樣本的兩重性。第七章 參數(shù)估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù) ，則其分布函數(shù)

9、可以表成 它的k階原點(diǎn)矩 中也包含了未知參數(shù) ，即 。又設(shè) 為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù) 即為參數(shù)（ ）的矩估計(jì)量。若 為 的矩估計(jì)， 為連續(xù)函數(shù)，則 為 的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為 ，其中 為未知參數(shù)。又設(shè) 為總體的一個(gè)樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為 ，則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) 在 處取到最大值，則稱 分別為 的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若 為 的

10、極大似然估計(jì)， 為單調(diào)函數(shù)，則 為 的極大似然估計(jì)。（2）估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)無偏性設(shè) 為未知參數(shù) 的估計(jì)量。若E （ ）= ，則稱 為 的無偏估計(jì)量。E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性設(shè) 和 是未知參數(shù) 的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若 ，則稱 有效。一致性設(shè) 是 的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù) ，都有則稱 為 的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若 為 的無偏估計(jì)，且 則 為 的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù) 。如果我們從樣本 出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 與 ，使得區(qū)間 以

11、的概率包含這個(gè)待估參數(shù) ，即那么稱區(qū)間 為 的置信區(qū)間， 為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì)設(shè) 為總體 的一個(gè)樣本，在置信度為 下，我們來確定 的置信區(qū)間 。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度 ，查表找分位數(shù)；（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間 。已知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii) 查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間未知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間方差的區(qū)間估計(jì)（i）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出 的置信區(qū)間第八章 假設(shè)檢驗(yàn)基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中可以認(rèn)為基

12、本上是不會發(fā)生的，即小概率原理。為 了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)H0是否成立。我們先假定H0是成立的。如果根據(jù)這個(gè)假定導(dǎo)致了一個(gè)不合理的事件發(fā)生，那就表明原來的假定H0是不正確的，我們拒絕接受 H0；如果由此沒有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受H0，我們稱H0是相容的。與H0相對的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用H1表示。這里所說的小概率事件就是事件 ，其概率就是檢驗(yàn)水平，通常我們?nèi)?0.05，有時(shí)也取0.01或0.10。基本步驟假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟如下：(i) 提出零假設(shè)H0；(ii) 選擇統(tǒng)計(jì)量K；(iii) 對于檢驗(yàn)水平查表找分位數(shù)；(iv) 由樣本值 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量之值K；將 進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng) 時(shí)否定H0，否則

13、認(rèn)為H0相容。兩類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤當(dāng)H0為真時(shí)，而樣本值卻落入了否定域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)否定H0。這時(shí)，我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯(cuò)誤為“以真當(dāng)假”的錯(cuò)誤或第一類錯(cuò)誤，記 為犯此類錯(cuò)誤的概率，即P否定H0|H0為真= ；此處的恰好為檢驗(yàn)水平。第二類錯(cuò)誤當(dāng)H1為真時(shí)，而樣本值卻落入了相容域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)接受H0。這時(shí)，我們把客觀上H0。不成立判為H0成立（即接受了不真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯(cuò)誤為“以假當(dāng)真”的錯(cuò)誤或第二類錯(cuò)誤，記 為犯此類錯(cuò)誤的概率，即P接受H0|H1為真= 。兩類錯(cuò)誤的關(guān)系人們當(dāng)然希望犯兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)都很小。但是

14、，當(dāng)容量n一定時(shí)， 變小，則 變大；相反地， 變小，則 變大。取定 要想使 變小，則必須增加樣本容量。在實(shí)際使用時(shí)，通常人們只能控制犯第一類錯(cuò)誤的概率，即給定顯著性水平。大小的選取應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況而定。當(dāng)我們寧可“以假為真”、而不愿“以真當(dāng)假”時(shí)，則應(yīng)把取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，則應(yīng)把取得大些。第一章講隨機(jī)事件及其概率的一些相關(guān)公式和運(yùn)用。很多高中就有涉及，如果你真理不清其中的關(guān)系，我建議可以先畫韋恩圖取得一個(gè)感性的認(rèn)識，再去推導(dǎo)記憶公式。我把公式分為兩類：基本公式，條件概率公式。當(dāng)然基本概念是必須搞清楚的，這一章大多數(shù)基本概念大家都比較熟悉，除了條件概率相對陌生。我相信大家都

15、不會存在概念上的問題?；竟骄褪且恍┒珊托再|(zhì)公式，已經(jīng)很熟悉的公式跳過，相對陌生的重點(diǎn)記憶一下，會用就行了。目測比較陌生的也就是德·摩根率的兩個(gè)公式和任意n個(gè)事件的并集概率公式。條件概率那一節(jié)主要是理解記憶全概率公式和貝葉斯公式，課后相關(guān)習(xí)題會做就達(dá)到要求了。獨(dú)立事件這一部分記得它的條件就夠了，做題需要用的時(shí)候能用上就可以了。這兒強(qiáng)調(diào)一下，注意區(qū)別一下相互獨(dú)立事件和互斥事件、對立事件的關(guān)系，尤其注意一下各個(gè)隨機(jī)事件概率之間的數(shù)量關(guān)系。 第二、三、四章都是講隨機(jī)變量的相關(guān)計(jì)算，首先注意分清離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量的相關(guān)表示方法和稱謂。比如f(x)和P(X=xi)，相同含義，離散型叫做概率分布律，而連續(xù)性稱謂概率密度函數(shù)，類似的還有許多。掌握兩類函數(shù)中各自的基本函數(shù)。離散型：0-1分布（xB(1,p)），二項(xiàng)分布（xB(n,p)），幾何分布，泊松分布（x()這個(gè)比較陌生，重點(diǎn)看看）；連續(xù)性：均勻分布（xU（a，b），正態(tài)分布（xN(，2)），指數(shù)分布（這個(gè)也相對陌生，重點(diǎn)看看）。熟記這些基本分布的表達(dá)式、均值和方差。 掌握表征隨機(jī)變量的一些量，諸如概率密度函數(shù)（概率分布律），概率分布函數(shù)（第二章）；聯(lián)合分布律，聯(lián)合概率分布函數(shù)，邊緣分布律（邊緣概率密度），邊緣分布函數(shù)（第三章）；均值，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)（第四章）等，注意各自表征的含義，區(qū)別一維和二維，特