數(shù)學(xué)分析不定積分

1、第八 5 章 不定積分教學(xué)要求：1. 積分法是微分法的逆運算。 要求學(xué)生：深刻理解不定積分的概念， 掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別； 掌握不定積分的線性運算法則， 熟練掌握不定積分的基本積分公式。2. 換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù) （或湊微分） 的原則，并能恰當?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運用分部積分公式，并能恰當?shù)貙⒈环e表達式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式； 獨立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達到快而準的求出不定積分。3. 有理函數(shù)

2、的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。教學(xué)重點： 深刻理解不定積分的概念；熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；教學(xué)時數(shù)： 18 學(xué)時§ 1不定積分概念與基本公式（ 4 學(xué)時 ）教學(xué)要求：積分法是微分法的逆運算。要求學(xué)生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定

3、積分的線性運算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。教學(xué)重點： 深刻理解不定積分的概念。一、新課引入：微分問題的反問題，運算的反運算.二、講授新課：（一）不定積分的定義 :1. 原函數(shù)：例1 填空: ;( ; ; ;.定義 .注意 是 的一個原函數(shù) .原函數(shù)問題的基本容：存在性，個數(shù)，求法 .原函數(shù)的個數(shù) :Th若 是 在區(qū)間上的一個原函數(shù) ,則對 ， 都是 在區(qū)間上的原函數(shù)；若 也是 在區(qū)間 上的原函數(shù)，則必有.(證 )可見，若有原函數(shù)，則 的全體原函數(shù)所成集合為 .原函數(shù)的存在性 :連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù) .(下章給出證明 ).可見 ,初等函數(shù)在其定義域有原函數(shù);若 在區(qū)間上有原函數(shù) ,則 在

4、區(qū)間 上有介值性 .例2.已知為的一個原函數(shù) , =5.求 .2. 不定積分 原函數(shù)族： 定義； 不定積分的記法；幾何意義 .例3;.（二）不定積分的基本性質(zhì):以下設(shè) 和 有原函數(shù) . .( 先積分后求導(dǎo) ,形式不變應(yīng)記牢！ ). .( 先求導(dǎo)后積分 ,多個常數(shù)需當心！ )時，（被積函數(shù)乘系數(shù)，積分運算往外挪?。┯?、可見 ,不定積分是線性運算 ,即對 ,有(當 時, 上式右端應(yīng)理解為任意常數(shù)例4.求.(=2).（三） .不定積分基本公式 :. )基本積分表.1P180 公式1 14.例 5.（四） 利用初等化簡計算不定積分:例 6.求 .例 7.例 8.例 9.例10 ;例11 .例12 .三

5、、小結(jié)§2換元積分法與分部積分法（1 0 學(xué)時 ）教學(xué)要求：換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運用分部積分公式，并能恰當?shù)貙⒈环e表達式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式；獨立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達到快而準的求出不定積分。教學(xué)重點： 熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；一、新課引入： 由直接積分的局限性引入二、講授新課：（一） .第一類換元法湊微分法：由引出湊微公式 .

6、Th1若連續(xù)可導(dǎo),則該定理即為：若函數(shù)能分解為就有.例 1.例 2 .例 3常見微分湊法：湊法 1例 4例 5例 6例 7由例 47 可見，?？捎贸醯然啺驯环e函數(shù)化為型，然后用湊法1.例8.湊法2.特別地,有.和 .例 9.例 10例11 .例 12=.湊法 3例13例 14例15.例 16湊法4.例 17湊法 5例 18湊法 6.例 19.其他湊法舉例:例 20.例 21例 22.例23.例24.例 25例26 .三、小結(jié)（二）第二類換元法 拆微法：從積分出發(fā)，從兩個方向用湊微法計算，即= =引出拆微原理 .Th2設(shè) 是單調(diào)的可微函數(shù) , 并且 又 具有原函數(shù) .則有換元公式( 證)常用代

7、換有所謂無理代換,三角代換 ,雙曲代換 ,倒代換 ,萬能代換 ,Euler 代換等 .我們著重介紹三角代換和無理代換.1. 三角代換 :正弦代換 :正弦代換簡稱為“弦換”.是針對型如的根式施行的 ,目的是去掉根號 .方法是 :令 ,則例 27解法一直接積分 ;解法二用弦換 .例28.例 29.正切代換 :正切代換簡稱為 “切換” .是針對型如的根式施行的 ,目的是去掉根號 . 方法是 : 利用三角公式 即 令 . 此時有 變量還原時 , 常用所謂輔助三角形法 .例30.解令有 .利用例 22 的結(jié)果 ,并用輔助三角形 ,有=例 31正割代換 :正割代換簡稱為“割換”.是針對型如的根式施行的 ,

8、目的是去掉根號 .方法是 :利用三角公式令 有變量還愿時 ,常用輔助三角形法 .例 32解.例33.解法一（用割換）解法二（湊微）2.無理代換 :若被積函數(shù)是 的有理式時 , 設(shè) 為 的最小公倍數(shù) , 作代換 , 有 . 可化被積函數(shù)為 的有理函數(shù) .例34.例 35.若被積函數(shù)中只有一種根式或 可試作代換或從中解出來 .例36.例 37例 38( 給出兩種解法 )例 39.本題還可用割換計算 ,但較繁 .3. 雙曲代換 : 利用雙曲函數(shù)恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式 . . 化簡時常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式 , 如 :例 40.本題可用切換計算 , 但歸結(jié)為積分,該積分計算較繁 .參

9、閱后面習(xí)題課例3.例 41解.例42.解4. 倒代換 : 當分母次數(shù)高于分子次數(shù) , 且分子分母均為“因式”時 , 可試用倒代換例 43.5. 萬能代換 : 萬能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分 ( 參 1P261).令 ，就有，例44.解法一 (用萬能代換 ) .解法二 ( 用初等化簡 ) .解法三 (用初等化簡 ,并湊微 )例 45解=.代換法是一種很靈活的方法.三、小結(jié)（三） .分部積分法 : 導(dǎo)出分部積分公式 . 介紹使用分部積分公式的一般原則 .1. 冪 X 型函數(shù)的積分 : 分部積分追求的目標之一是 : 對被積函數(shù)兩因子之一爭取求導(dǎo) , 以使該因子有較大簡化 , 特別是能降冪或變成代

10、數(shù)函數(shù) .代價是另一因子用其原函數(shù)代替( 一般會變繁 ),但總體上應(yīng)使積分簡化或能直接積出 .對“冪 ” 型的積分 ,使用分部積分法可使“冪”降次,或?qū)Α?”求導(dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).例 46(冪對搭配，取對為u)例 47(冪三搭配，取冪為u)例 48(冪指搭配，取冪為u)例 49 ( 冪指搭配，取冪為 u)例 50例 51( 冪反搭配，取反為 u)例 522 建立所求積分的方程求積分 : 分部積分追求的另一個目標是 : 對被積函數(shù)兩因子之一求導(dǎo) , 進行分部積分若干次后 , 使原積分重新出現(xiàn) , 且積分前的符號不為 1. 于是得到關(guān)于原積分的一個方程 . 從該方程中解出原積分來 .例 53例5

11、4 求和解解得例 55解 =（參閱例 41）解得例56=，解得.例 57= ,解得.三、小結(jié)§ 3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分( 2 學(xué)時 )教學(xué)要求：有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧； 掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。教學(xué)重點： 使學(xué)生掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；求四種有理最簡真分式的不定積分， 學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法， 從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。一、新課引入： 由積分應(yīng)用的廣泛性引入二、講授新課：（一）有理函數(shù)的積分 :1. 代數(shù)知識 :1P190例 11P190 ，2. 部分分式的積分 : 1P192 例 2 1P192例 3 2P26