曲線的切線方程

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線的切線方程：一、框架1 .命題分析：本題型在高考解答題主要是在第(1)問(wèn)中出現(xiàn)，也有可能在選擇題或填空題中出現(xiàn)，若為解答題，主要考點(diǎn)為：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義；(2)直線與函數(shù)圖象相切的條件。2 .幾何意義：函數(shù)f(x廬Xo處的導(dǎo)數(shù)就是曲線 y = f (X詐點(diǎn)(%, f (% )處的切線的斜率，即斜率為f'(% 3 .物理意義：函數(shù)s = f(t癡to處的導(dǎo)數(shù)就是曲線 s = f(t)在to時(shí)刻的速度._ _ , _ 1 . 4 .曲線 y = f (x)上在點(diǎn)(Xo, f (Xo)處的切線萬(wàn)程為 y _f (x0)= f (x0)(x -x0).5 .切線方程的求

2、解方程問(wèn)題：第一步：判切點(diǎn)：求曲線的切線方程時(shí)先分清是在點(diǎn)處”的切線方程還是 過(guò)點(diǎn)”的切線方程。切點(diǎn)已知直接求，切點(diǎn)未知設(shè)切點(diǎn)；第二步：求斜率(導(dǎo)數(shù))：通常若切點(diǎn)為(Xo，f(Xo),則在該點(diǎn)處曲線的斜率為f'(Xo )；，一 , 一一 .、 Q ， 、 _ 、_ '第二步：用公式： 所對(duì)應(yīng)的曲線y = f (x)上在點(diǎn)(x0, f (%)處的切線方程為 y - f (x0) = f (x0)(x-x0)。6 .利用切線方程(或切線的性質(zhì))判斷參數(shù)的值(或取值范圍)第一步：求斜率(導(dǎo)數(shù))：求出函數(shù)y=f(x揮x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),即函數(shù)y= f(x)的圖象在點(diǎn)

3、(Xo, f (Xo)處切線的斜率；第三步：求解即可得出結(jié)論。第二步：列關(guān)系式：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式;7 .注意點(diǎn)：求曲線的切線方程時(shí)先分清是在點(diǎn)處”的切線方程還是 過(guò)點(diǎn)”的切線方程。切點(diǎn)已知直接求,切點(diǎn)未知設(shè)切點(diǎn)。、方法詮釋 類型一：在某點(diǎn)的切線方程例1 .求曲線y=x3-2x+1在點(diǎn)(1,。)處的切線方程。解：y =3x2 2,k= y' |x=1 = 32= 1,切線方程為 y=x 1.類型二：過(guò)某點(diǎn)(某點(diǎn)不在曲線上)的切線方程例2.求過(guò)點(diǎn)(2,o)且與曲線y=x3相切的直線方程.解：點(diǎn)(2,o)不在曲線y=x3上，可令切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo, X3),由題意， X3-o

4、cV3c所求直線方程的斜率k=- = y |x= xo=3xo,即 = 3xo,解得Xo=o或x0=3.xo 2xo 2當(dāng)x0 = o時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(o,o),斜率k=o,則所求直線方程是y=o；當(dāng)xo = 3時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(3,27),斜率k= 27,則所求直線方程是y-27=27(x-3),即27xy54=o. 綜上，所求的直線方程為 y= o或27xy 54= o.類型三：過(guò)某點(diǎn)(某點(diǎn)在曲線上)的切線方程，例如例3的第(2)問(wèn)例3. (1)求曲線f(x)=x3-3x2+2x在原點(diǎn)(o,o)處的切線方程。(2)求過(guò)原點(diǎn)(o,o)且與曲線f(x)=x33x2+2x相切的切線方程.解：(1

5、)f'x) = 3x2 6x+2,設(shè)切線的斜率為k, k= f' (o) = 2, f(o) = o,所求的切線方程為 y= 2x.(2)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)k=f' (o) = 2, f(o) = o,所求的切線方程為y=2x.當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(xo, yo)(x°wo),則有 yo= Xo3Xo + 2xo, k = f (xo) = 3xo 6xg+ 2,又 k= X= x2-3xo+2,由得xo=3, k = yo=-1.所以所求曲線的切線方程為丫=2乂或丫= -1X.2xo44三、鞏固訓(xùn)練1 .已知函數(shù)f(x)=xln x,若直線l過(guò)點(diǎn)(0, 1

6、),并且與曲線y=f(x)相切，則直線l的方程為()A . x+ y- 1 = 0 B . x-y- 1 = 0 C. x+y+1 = 0 D . xy+1 = 02 .已知f(x) = ln x, g(x)=$2+mx + 7(m<0),直線l與函數(shù)f(x), g(x)的圖象都相切，與 f(x)圖象的切點(diǎn)為(1 , f(1),則 m 等于()A. - 1 B.3 C. 4 D.23.設(shè)曲線yj.c0s x在,氏(口1)處的切線與直線x-ay+ 1 = 0平行，則實(shí)數(shù)a等于()sin x 2， 一 1A. - 1 B/2 C. 2 D. 24 .已知直線y=kx是曲線y=ex的切線，則實(shí)

7、數(shù)k的值為()A.1B. -1C. - eD. eee5 .已知y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線 y=kx+2是曲線y= f(x)在x=3處的切線，令 g(x) = xf(x), g ' (x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g' (3)等于()A. - 1 B. 0 C. 2 D. 46 .曲線y= log2x在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積等于 .7 .曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0, 2)處的切線方程是 .8 .已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)xv 0時(shí)，f(x)=ln(x)+3x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, 3)處的切線方程是 39 .已知函數(shù) f(x)=x +x16,

8、(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,6處的切線的方程；(2)直線l為曲線y = f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；1.(3)如果曲線y = f (x)的某一切線與直線 y = - x + 3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程410.已知函數(shù) f (x )=excosx-x.(1)求曲線y = f(x *£點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程;(2)求函數(shù)f(X詐區(qū)間jo,上的最大值和最小值曲線的切線方程答案:1.丁點(diǎn)(0, 1)不在曲線f(x) = xln x上，,設(shè)切點(diǎn)為(I, Y0),一 一一Y0 = x0ln xo,一一又. f (x) = 1 + ln x, . .

9、*斛得 x0= 1, y0= 0.松+1 =(1 + 皿 x°x0,切點(diǎn)為(1,0), .f/ (1) = 1 + ln 1 = 1.直線 l 的方程為 y=x-1,即 x-y1=0.故選 B.2. . f，(x) = 1,直線 l 的斜率 k=f' (1)=1.又 f(1)=0, 切線 l 的方程為 y=x-1.x1 2 . 7g (x) = x+ m,設(shè)直線 l 與 g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0, y0),則有 x0 + m=1, y0 = x01, ¥0=30+mx0+2, m<0,于是解得m= 2.故選 D.3.A .y1 cos xsin2x，: y

10、'= T.24.D設(shè)切點(diǎn)為(x0, y°).由y' = ex,彳導(dǎo)V,由條件知|x=x0=ex0,，過(guò)切點(diǎn)的切線為yex0= ex0(xx0),即 y= ex0x+(1 x0)ex0,又丫=卜*是切線，k= ex。,(1 x0 /0= 0,5.答案B解析由題圖可知曲線y=f(x)在x= 3處切線的斜率等于一k= e.13, f，(3) = -. 3. g(x) = xf(x), .g' (x)=f(x) + xf' (x), .g' (3) = f(3)+3f' (3),又由題圖可知 f(3)=1, .g, (3)=1+3X(-A=0.

11、111112ln 2.6答案需！斛析y =忘, *lnp .切線萬(wàn)程為片筱a1).三角形面積7 .答案5x+ y+2=0 解析 因?yàn)?y' |x=0= 5e°= 5,所以曲線在點(diǎn)(0, 2)處的切線方程為 y-(-2) = -5(x-0),即5x+y+2=0.18 .設(shè) x> 0,則一xv 0, f( x) = ln x 3x,又 f(x)為偶函數(shù)，f(x)= ln x 3x, f (x) = _ - 3, f (1) = - 2, x切線方程為y=2x1,即2x + y+1 = 0.9 .【解析】(1) ; f (2) =23+216 = -6,點(diǎn)(2,-6 依曲線上

12、. '3'2 f (x) =(x +x16)=3x +1, 在點(diǎn)(2,-6 處的切線白斜率為 k= f (2) = 3x22+1 = 13.切線的方程為 y +6 = 13(x2).即 y =13x32. 設(shè)切點(diǎn)為(刈*)，則直線l的斜率為k= f'(x0) =3x2+1,直線 l 的方程為：y(x03 + x016) = (3x；+1)(x x0).又.直線 l 過(guò)點(diǎn)(0,0) , 0 -(x03+x0-16) = (3x； +1)(0-x0)，整理得x03= 8 ,x0=2 ,y0= -26,2. k = f (-2) =3(2% + 1=13, .直線 l 的方程

13、為 y=13x 切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).(3) 切線與直線y =1x+3垂直，斜率k=4, .設(shè)切點(diǎn)為(%,%),則f'(x0) = 3x2+1 = 4 , 4X0= 1X0= 1Xo =±1 , J - 或 do .即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,_14)或(1,18).|yo= - 14|yo= 18故切線方程為 y +14 =4(x 1)或 y + 18=4(x+1).即 y=4x_18 或 y=4x 1410. (1)因?yàn)?f(x) =excosx x ,所以 f'(x) = ex(cosx sinx) 1, f'(0)=0.又因?yàn)閒 (0)=1,所以曲線y = f(x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為y=1.(2)設(shè) h(x) =ex(cosxsinx) -1 ,貝U h(x) =ex(cosx sinxsinxcosx) =_2exsi