概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案-

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第一章1.寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)：(1)擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).A'出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)；(2)將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).A '兩次點(diǎn)數(shù)之和為10', B '第 一次的點(diǎn)數(shù)，比第二次的點(diǎn)數(shù)大2'；(3) 一個(gè)口袋中有5只外形完全相同的球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5;從中同時(shí)取出3只球，觀察其結(jié)果，A'球的最小號(hào)碼為1'(4)將a,b兩個(gè)球，隨機(jī)地放入到甲、乙、丙三個(gè)盒子中去，觀察放球情況，A'甲盒中至少有一球；(5)記錄在一段時(shí)間內(nèi)，通過某橋的汽車流量，A'通過汽車不足

2、5臺(tái)，B'通過的汽車不少于3臺(tái)解 (1)S e ©9©©色其中 s '出現(xiàn) i 點(diǎn)'i 1,2,L ,6 ,A e1 ,e3, es。(2) S (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)(2,(1) (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

3、(6,1), (6, 2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) ；A (4,6), (5,5), (6,4)；B (3,1), (4,2), (5,3), (6,4)。(3) S(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5), (1,3,4), (1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)A(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5), (1,3,4), (1,3,5),(1,4,5)(4) S(ab, ,), ( ,ab,), ( , ,ab), (a,b, ), (a,b), (b,a,),(b, ,a), ( ,a,b

4、,), ( ,b,a)，其中表示空盒；A(ab, ,), (a,b,), (a, , b), (b,a, ), (b, a)。(5) S 0,1,2,L , A 0,1,2,3,4, B 3,4,L。2.設(shè)A, B,C是隨機(jī)試驗(yàn)E的三個(gè)事件，試用 A,B,C表示下列事件：(1) 僅A發(fā)生；(2) A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；(3) A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生；(4) A, B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生；(5) A,B,C中至多有一個(gè)發(fā)生。解(1) ABC(2) ABUACU BC或 ABCU ABCU ABC U ABC ；(3) Au BuC或 ABC U ABC U Abc U ABC U Abc

5、 u ABc u Abc ;(4)abc u abc u Abc ；(5)AB u AC u BC或 Abc u abc u Abc u Abc ；3. 一個(gè)工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)品，以 A (i 1,2,3)表示第i件產(chǎn)品是正品，試 用A表示下列事件：(1)沒有一件產(chǎn)品是次品；(2)至少有一件產(chǎn)品是次品；(3)恰有一件產(chǎn)品是次品；(4)至少有兩件產(chǎn)品不是次品。解 (1) A1A2A3； (2) A U A2UA3； (3) A A2A3 UA1A2A3 UA A2A3； (4) A1 A2 U A A3 U A2A3。4. 在電話號(hào)碼中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)字全不相同的概率。解 設(shè)A &#

6、39;任取一電話號(hào)碼后四個(gè)數(shù)字全不相同，則P0126P(A) T 0.504 104 2505. 一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取 5只，求(1) 5只全是好的的概率；(2) 5只中有兩只壞的的概率。解 (1)設(shè)A '5只全是好的，則C5P(A) 47 B 0.662；C0(3) 設(shè)B'5只中有兩只壞的，則CHP(B) c!_3L B0.0354.C06.袋中有編號(hào)為1到10的10個(gè)球，今從袋中任取 3個(gè)球，求(1) 3個(gè)球的最小號(hào)碼為 5的概率；(2) 3個(gè)球的最大號(hào)碼為 5的概率.解 (1)設(shè)A '最小號(hào)碼為5',則P(A) CC10(2)設(shè)

7、BP(B)'最大號(hào)碼為c21CI 205',則(2)解設(shè)B '至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月'P(B)2 1 2 2 2 3 2 1=4=12 11=4=12=4 12=12124,則41一;96P(B) 1 P(B) 1124 96-8 .設(shè)一個(gè)人的生日在星期幾是等可能的，求 期中的某兩天，但不是都在同一天的概率.6個(gè)人的生日都集中在一個(gè)星解 設(shè)A '生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天'C2 (26 2)P(A) -7-6-0 0.01107.? ? ? ?為什么9 .將C,C,E,E,I,N,S等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單

8、 詞SCIENCE的概率是多少？解1設(shè)A '恰好排成SCIENCE '將7個(gè)字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有的排法：2字母C在7個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有C7種占法，字母E在余下的5個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有C2種占法, 共3!種，故基本事件總數(shù)為 C"字母I, N,C剩下的3個(gè)位置上全排列的方法2C5 3! 1260,而A中的基本事件只有一個(gè)，P(A)c2 c2 3!1260解2七個(gè)字母中有兩個(gè)E,兩個(gè)C ,把七個(gè)字母排成一排，稱為不盡相異7. (1)教室里有r個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率;房間里有四個(gè)人，求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率(1)設(shè)A &#

9、39;他們的生日都不相同，則P，P(A) T；365r元素的全排列。一般地，設(shè)有 n個(gè)元素，其中第一種元素有 n1個(gè)，第二種元素有1個(gè)，第k種元素有nk個(gè)(ni n2 Lnk n),將這n個(gè)元素排成一排稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為n!n1 ! n2 !L nk!對(duì)于本題有1 41P(A)-.ZL 7! 12602!2!10 .從0,1,2,L ,9等10個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事 件的概率：A '三個(gè)數(shù)字中不含 0和5',A2 '三個(gè)數(shù)字中不含 0或5', A3'三個(gè)數(shù)字中含0但不含5'.解 P(A)P(A2)C

10、C30 c3 a3。7_15C；C；0C8314C13015P(A2)1 P(A2)c814 一C3015P(A3)C827c303011 .將n雙大小各不相同的鞋子隨機(jī)地分成 堆各成一雙的概率.解 n雙鞋子隨機(jī)地分成 n堆屬分組問題,n堆，每堆兩只，求事件A '每不同的分法共(2n)!2!2! L 2!(2n)!(2!)每堆各成一雙共有 n!種情況，故P(A)2n n! (2n)!0.3 ,求 P(AB)與12 .設(shè)事件 A與B互不相容， P(A) 0.4, P(B)P(AU B)解 P(AB) 1 P(AU B) 1 P(A) P(B) 0.3 因?yàn)锳,B不相容，所以 A B,于是

11、P(AU B) P(A) 0.613 .若 P(AB) P(AB)且 P(A) P,求 P(B).解 P(AB) 1 P(AUB) 1 P(A) P(B) P(AB) 由 P(AB) P(AB)得P(B) 1 P(A) 1 p14 .設(shè)事件A, B及AU B的概率分別為p,q,r ,求P(AB)及P(AUB) 解 P(AB) P(A) P(B) P(AUB) p q rP(AU B) P(A) P(B) P(AB) P(A) 1 P(B) P(A) P(AB) 1 q p q r 1 p r .15 .設(shè)P(A) P(B) 0.7,且A,B僅發(fā)生一個(gè)的概率為 0.5,求A,B都發(fā) 生的概率。解

12、1由題意有0.5 P(AB AB) P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.7 2P(AB), 所以P(AB) 0.1 .解2 A, B僅發(fā)生一個(gè)可表示為 AUB AB ,故0.5 P(AU B) P(AB) P(A) P(B) 2P(AB), 所以P(AB) 0.1 .16 .設(shè) P(A) 0.7, P(A B) 0.3, P(B A) 0.2 ,求 P( AB)與 P(AB). 解 0.3 P(A B) P(A) P(AB) 0.7 P(AB),所以P(AB) 0.4,P(AB) 0.6；0.2 P(B) P(AB) P(B) 0.4.所以P(B) 0.6P

13、(AB) 1 P(AU B) 1 P(A) P(B) P(AB) 0.117 .設(shè) AB C ,試證明 P(A) P(B) P(C) 1證因?yàn)锳B C ,所以P(C) P(AB) P(A) P(B) P(AU B) P(A) P(B) 1P(A) P(B) P(C) 1 .證畢.18 .對(duì)任意三事件 A,B,C,試證P(AB) P(AC) P(BC) P(A).證P(AB) P(AC) P(BC) P(AB) P(AC) P(ABC)P(ABU AC) P A(BUC) P(A).證畢.1 _ _19.設(shè) A,B,C 是二個(gè)事件，且 P(A) P(B) P(C) -, P(AB) P(BC)

14、0,4-1,八一，P(AC)求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。8解 P(AUBUC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) 因?yàn)?0 P(ABC) P(AB) 0,所以 P(ABC) 0,于是20.隨機(jī)地向半圓x2 ( a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于P(AU B UC)0y 21 .解1則0 x/4 a把長(zhǎng)為設(shè)Aa, 0a/2A的面積( )半園的面積21 2a a212a2a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率'三段可構(gòu)成三角形，又三段的長(zhǎng)分別為y a, 0x y a

15、 ,不等式構(gòu)成平面域A發(fā)生 0 x與，02不等式確定s的子域A,所以a/2 aP(A)A的面積S的面積x, y, aS.a2,/ 4的概率.解：半圓域如圖設(shè)A '原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與 x軸夾角小于 /4' 由幾何概率的定義解2設(shè)三段長(zhǎng)分別為 x,y,z,則0 x a, 0 y a, 0 z a且x y zZ a,不等式確定了三維空間上的有界平面域S.A發(fā)生 x y zx z y y z x不等式確定S的子域A,所以P(A)A的面積S的面積22.隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù) x和y ,這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過1，試求x與y之和不超過1,積不小于0.09的概率.1 ,不等式確定平面域S.解 0 x 1, 0 yA 'x y 1,xy 0.09'則 A發(fā)生的 充要條件為0 x y 1, 1 xy 0.09不 等式確定了 S的子域A,故A的面積0.90.9P(A)(1 x