《導(dǎo)數(shù)的概念》

1、導(dǎo)數(shù)的概念教案本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（A版）數(shù)學(xué)選修22第一章第一節(jié)的變化率與導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的概念是第2課時教學(xué)內(nèi)容分析1導(dǎo)數(shù)的地位、作用導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它是一種特殊的極限，反映了函數(shù)變化的快慢程度導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的切線以及一些優(yōu)化問題的重要工具，同時對研究幾何、不等式起著重要作用導(dǎo)數(shù)概念是我們今后學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)同時，導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，是開展科學(xué)研究必不可少的工具.2本課內(nèi)容剖析教材安排導(dǎo)數(shù)內(nèi)容時，學(xué)生是沒有學(xué)習(xí)極限概念的教材這樣處理的原因，一方面是因為極限概念高度抽象，不適合在沒有任何極限認(rèn)識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)所以，讓

2、學(xué)生通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這個特殊的極限去體會極限的思想，這為今后學(xué)習(xí)極限提供了認(rèn)識基礎(chǔ)另一方面，函數(shù)是高中的重要數(shù)學(xué)概念，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，因此，安排先學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)方便學(xué)生學(xué)習(xí)和研究函數(shù)基于學(xué)生已經(jīng)在高一年級的物理課程中學(xué)習(xí)了瞬時速度，因此，先通過求物體在某一時刻的平均速度的極限去得出瞬時速度，再由此抽象出函數(shù)在某點的平均變化率的極限就是瞬時變化率的的模型，并將瞬時變化率定義為導(dǎo)數(shù)，這是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)時還應(yīng)該看到，通過若干個特殊時刻的瞬時速度過渡到任意時刻的瞬時速度；從物體運動的平均速度的極限是瞬時速度過渡到函數(shù)的平均變化率的極限是瞬時變化率，我們可以向?qū)W生滲透從特殊到一般的

3、研究問題基本思想教學(xué)目的1使學(xué)生認(rèn)識到：當(dāng)時間間隔越來越小時，運動物體在某一時刻附近的平均速度趨向于一個常數(shù)，并且這個常數(shù)就是物體在這一時刻的瞬時速度；2使學(xué)生通過運動物體瞬時速度的探求，體會函數(shù)在某點附近的平均變化率的極限就是函數(shù)在該點的瞬時變化率，并由此建構(gòu)導(dǎo)數(shù)的概念；3掌握利用求函數(shù)在某點的平均變化率的極限實現(xiàn)求導(dǎo)數(shù)的基本步驟；4通過導(dǎo)數(shù)概念的構(gòu)建，使學(xué)生體會極限思想，為將來學(xué)習(xí)極限概念積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗；5通過導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)教程，使學(xué)生體會到從特殊到一般的過程是發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的重要過程教學(xué)重點通過運動物體在某一時刻的瞬時速度的探求，抽象概括出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)難點使學(xué)生體會運動物體在某一時

4、刻的平均速度的極限意義，由此得出函數(shù)在某點平均變化率的極限就是函數(shù)在該點的瞬時變化率，并由此得出導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)準(zhǔn)備1查找實際測速中測量瞬時速度的方法；2為學(xué)生每人準(zhǔn)備一臺Tinspire CAS圖形計算器，并對學(xué)生進(jìn)行技術(shù)培訓(xùn)；3制作數(shù)學(xué)實驗記錄單及上課課件教學(xué)流程框圖教學(xué)流程設(shè)計充分尊重學(xué)生認(rèn)知事物的基本規(guī)律，使學(xué)生在操作感知的基礎(chǔ)上形成導(dǎo)數(shù)概念的表象，再通過表象抽象出導(dǎo)數(shù)概念，并通過運用導(dǎo)數(shù)概念解決實際問題使學(xué)生進(jìn)一步體會導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)教學(xué)的主要過程設(shè)計如下：復(fù)習(xí)準(zhǔn)備理解平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系體會模型感受當(dāng)t0時，平均速度逼近于某個常數(shù)提煉模型從形式上完成從平均速度向瞬時速度的過渡形成

5、概念由物體運動的瞬時速度推廣到函數(shù)瞬時變化率，并由此得出導(dǎo)數(shù)的定義應(yīng)用概念理解導(dǎo)數(shù)概念，熟悉求導(dǎo)的步驟，應(yīng)用計算結(jié)果解釋瞬時變化率的意義小結(jié)作業(yè)通過師生共同小結(jié)，使學(xué)生進(jìn)一步感受極限思想對人類思維的重大影響教學(xué)過程設(shè)計預(yù)計時間（分）教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動教學(xué)評價5分鐘1復(fù)習(xí)準(zhǔn)備設(shè)計意圖：讓學(xué)生理解平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系，感受到平均速度在時間間隔很小時可以近似地表示瞬時速度 （1）提問：請說出函數(shù)從x1到x2的平均變化率公式（2）提問：如果用x1與增量x表示平均變化率的公式是怎樣的？（3）高臺跳水的例子中，在時間段里的平均速度是零，而實際上運動員并不是靜止的這說明平均速度不能準(zhǔn)確反映他

6、在這段時間里運動狀態(tài).（4）提問：用一個什么樣的量來反映物體在某一時刻的運動狀態(tài)？（5）提問：我們?nèi)绾蔚玫轿矬w在某一時刻的瞬時速度？例如，要求物體在2S的瞬時速度，應(yīng)該怎么解決？（6）我們一起來看物理中測即時速度（瞬時速度）的視頻： （7）提問：這里所測得的真的是瞬時速度嗎？（8）提問：怎樣使平均速度更好的表示瞬時速度？（9）在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上講述：真正的瞬時速度根本無法通過儀器測定，我們將平均速度作為瞬時速度的近似值；為了使平均速度更好的表示瞬時速度，應(yīng)該讓時間間隔盡量小回答問題后理解：（1）（2）（3）學(xué)生在教師的講述中思考用什么量來反映運動員的運動狀態(tài)（4）讓學(xué)生體會并明確瞬時速度的作用

7、（5）學(xué)生思考（6）學(xué)生觀看視頻并思考（7）期望或引導(dǎo)答出“是平均速度”（8）學(xué)生回答，得出“時間間隔越小越好！”（9）學(xué)生體會教師所講結(jié)論（1）復(fù)習(xí)過程應(yīng)使學(xué)生明確函數(shù)的平均變化率表示（2）應(yīng)使學(xué)生明確平均速度與瞬時速度的關(guān)系，為下一階段實驗活動作鋪墊15分鐘2體會模型設(shè)計意圖：讓學(xué)生在信息技術(shù)平臺上，通過定量分析感受平均速度在時間間隔越來越小時向瞬時速度逼近的過程（1）向?qū)W生提出數(shù)學(xué)實驗任務(wù)：已知跳水運動員在跳水過程中距離水面的高度與時間的函數(shù)h(t)=4.9t2+6.5t+10，請你用計算器完成下列表格中t0=2秒附近的平均速度的計算并填充好表格，觀察平均速度的變化趨勢 數(shù)學(xué)實驗記錄單（

8、1）x0時，在2，2+x內(nèi)，x0時，在2+x，2內(nèi)，Xx0.10.10.010.010.0010.0010.00010.00010.000010.000010.0000010.000001你認(rèn)為運動員在t0=2秒處的瞬時速度為 m/s（2）提問：x、g(x)的含義各是什么？ （3）提問：觀察你自己的實驗記錄單，你能發(fā)現(xiàn)平均速度有什么變化趨勢嗎？ 先展示一個同學(xué)的實驗結(jié)果，并讓他說說他的發(fā)現(xiàn)，再將計算器的結(jié)果投影，引導(dǎo)同學(xué)們一起觀察（4）將學(xué)生分四個組，讓他們分別完成 t0=1.6、1.7、1.8、1.9時的實驗記錄單（2）的填寫，說出他們觀察的結(jié)果，并將4個結(jié)果寫列在黑板上t0=1.6 9.1

9、8t0=1.7 10.16t0=1.8 11.14t0=1.9 12.12t0=2 13.1在學(xué)生實驗與觀察的基礎(chǔ)上指出：當(dāng)趨近于0時，平均速度都趨近于一個確定的常數(shù)，這個常數(shù)就是瞬時速（1）學(xué)生在TInspire CAS上完成以下操作：（2）學(xué)生操作得出如下結(jié)果，完成數(shù)學(xué)實驗記錄單（1）的填寫：（3）讓學(xué)生講他所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（4）學(xué)生分4個組再次實驗，分別完成本組的數(shù)學(xué)實驗記錄單（2）的填寫，并觀察平均速度的變化趨勢，回答教師的提問（1）應(yīng)使學(xué)生在技術(shù)平臺上通過多次實驗感受到平均速度在0時趨近于一個常數(shù)，并理解這個常數(shù)的意義（2）應(yīng)使學(xué)生從感性上獲得求瞬時速度的方法103提煉模型設(shè)計意圖：使學(xué)

10、生認(rèn)識到平均速度當(dāng)時間間隔趨向于零時的極限就是瞬時速度，為給出導(dǎo)數(shù)概念提煉出一個具體的極限模型（1）提問：你認(rèn)為通過實驗所得結(jié)果（常數(shù)）就是瞬時速度嗎？這個數(shù)據(jù)到底是精確值還是近似值？（2）讓學(xué)生動筆化簡t0=2對應(yīng)的平均速度的表達(dá)式（化簡結(jié)果為） （3）引導(dǎo)學(xué)生從化簡的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)當(dāng)t®0時，®13.1 （4）讓學(xué)生動手化簡t0=1.6對應(yīng)的平均速度的表達(dá)式（化簡結(jié)果為） 啟發(fā)學(xué)生歸納出結(jié)論：t®0時，平均速度所趨近的這個常數(shù)是可以得到的，它不是近似值，是一個精確值，它與變量t無關(guān)，只與時刻t0有關(guān)（5）提問：我們得到了t0=1.6、1.7、1.8、1.9時的瞬

11、時速度，但這還不足以代表所有時刻的瞬時速度，能不能用同樣的辦法，得到t0時的瞬時速度？啟發(fā)學(xué)生化簡平均速度的表達(dá)式，并與學(xué)生一起總結(jié)出： （6）教師講解：用表示所趨近的常數(shù)，即今后把這個常數(shù)叫做在處，當(dāng)趨近于0時，平均速度的極限比如，13.1是在處，當(dāng)t趨近于0時的極限（1）學(xué)生思考，也可以討論（2）學(xué)生化簡t0=2處對應(yīng)的平均速度的表達(dá)式，觀察當(dāng)t®0時平均速度表達(dá)式的變化趨勢（3）學(xué)生化簡t0=1.6處對應(yīng)的平均速度的表達(dá)式，觀察當(dāng)t®0時平均速度表達(dá)式的變化趨勢（3）學(xué)生化簡任意時刻t0處對應(yīng)的平均速度的表達(dá)式，觀察當(dāng)t®0時平均速度表達(dá)式的變化趨勢（4）學(xué)

12、生根據(jù)教師的講解理解平均速度的極限的意義應(yīng)使學(xué)生通過動手計算，得到平均速度在0時趨近于一個常數(shù)，并且這個常數(shù)就是瞬時速度使學(xué)生理解極限符號表示的意義54形成概念設(shè)計意圖：完成從運動物體的瞬時速度到函數(shù)瞬時變化率的過渡，形成導(dǎo)數(shù)的概念并給出定義（1）給出下列圖示：（2）針對上述圖示，教師在啟發(fā)后提問：通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道平均速度就是函數(shù)h(t)的平均變化率瞬時速度就是函數(shù)h(t)的瞬時變化率同時，我們已經(jīng)知道：平均速度在t0時的極限就是瞬時速度那么，你能否說說，一般情況下，函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率是一個什么關(guān)系？（3）在學(xué)生理解了函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系后提問：函數(shù)f(x)在x

13、=x0處的瞬時變化率怎樣表示？教師介紹如下的的表示方法：函數(shù)f(x)在x= x0處的瞬時變化率可表示為（4）教師給出導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在處的瞬時變化率稱為在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即（1）在教師的啟發(fā)下思考函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率之間的關(guān)系（2）回答教師的提問（3）理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的表示方法應(yīng)使學(xué)生從“平均速度的極限是瞬時速度”這個具體的模型中抽象出導(dǎo)數(shù)的概念，并能理解導(dǎo)數(shù)是一個極限，明確導(dǎo)數(shù)的表示55應(yīng)用概念設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)概念，體會導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價值，熟悉求導(dǎo)數(shù)的步驟（1）提問：你能說說求函數(shù)y=f(x)在x= x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？教師在學(xué)生說的基礎(chǔ)上要總結(jié)出步驟（2）講解

14、例1：將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱如果第 x(h)時，原油的溫度（單位:）為:f(x)=x2-7x+15(0x8).計算第2（h) 和第6（h）時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義強(qiáng)調(diào)：第2小時的瞬時變化率為3，說明在第2小時附近，原油大約以的速度下降（3）提出練習(xí)：計算3h時原油溫度的瞬時變化率，表述你所得結(jié)果的意義（1）學(xué)生思考并交流求函數(shù)在 x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟（2）在教師講解完后完成教師提出的練習(xí)（3）求出后，回答的意義（1）檢查學(xué)生是否清楚求導(dǎo)數(shù)的步驟（2）檢查學(xué)生能否準(zhǔn)確地求出函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)（3）應(yīng)使學(xué)生能利用計算結(jié)果解釋導(dǎo)數(shù)（即瞬時變化率）的意義56小結(jié)作業(yè)設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過總結(jié)，進(jìn)一步體會導(dǎo)數(shù)的意義及極限的思想，訓(xùn)練學(xué)生的概括能力通過布置作業(yè)，鞏固所學(xué)內(nèi)容 （1）讓學(xué)生小結(jié)并交流 （2）教師總結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念，在這個過程中我們看到：數(shù)學(xué)使不可能的事情變成現(xiàn)實；導(dǎo)數(shù)的概念表明：當(dāng)自變量的增量趨向于零時，函數(shù)在某點的平均變