測度論基礎(chǔ)知識總結(jié)

1、測度論根底知識總結(jié)1集合論1.1集合與根本運算概念：具有一定性質(zhì)的對象構(gòu)成的全體不嚴(yán)格定義。中間含有的對象叫元素。全集：要研究的問題涉及到的最大集合?？占簺]有任何元素的集合。表達(dá)方法：X集合元素X|x應(yīng)該有的性質(zhì)元素與集合的關(guān)系：xA, x?A集合之間的關(guān)系只有包含或者不包含假設(shè)對于任意元素 xA, xB那么A包含于B證明就用這個方法，A是B的子集AB 那么為B的真子集包含的特殊情況相等：A=B就是A包含于B同時B包含于A真子集：A包含于B但AMB集合的運算 單個元素的幕集2X對于一個集合X,它的幕集2X表示所有其子集為元素構(gòu)成的集合。這種以集合為元素的集合，也叫集合族。 兩個集合的運算交：

2、AnB=x| x 6A 且 xB并：A UB=x| x CA 或 x B差：AB或?qū)懗?A-B=x| x A 且 x?B補：AC=UA U是問題要研究的全集于是有等式 ab=a nBC積：直積AX B=(x,y)| x CA且yB 把A、B中元素構(gòu)成有序?qū)?多個元素的運算多個交？入giA入表示所有以入為角標(biāo)的集合的并，要求入 I,稱為指標(biāo)集。類似有多個并注：可以是無窮個1【例】An x| x> , A=x| x>0，那么 A=?n=1 Ann集合的分析相關(guān)性質(zhì) 上限集：一列集合An，定義上限集為？n=1 ?k=n Ak。類似于數(shù)列的上極限。 下限集：一列集合An，定義下限集為？n=

3、1 ?k=n Ak。類似于數(shù)列的下極限。 集合列的極限：當(dāng)上限集等于下限集時極限存在，就是上限集或下限集。 單調(diào)集合列：假設(shè)始終有An包含于An+1 ,也就是集合越來越大，那么為遞增集合列；反之，假設(shè)始終有An+1包含于An ,那么為遞減列。假設(shè)An為遞增列，那么有極限lim An =? n=1 An ；假設(shè)為遞減列，那么有l(wèi)im An =? n=1 An。ngng映射定義：X、Y是兩個集合，對任意x欣，存在唯一的y=f(x) Y與之對應(yīng)，那么對應(yīng)法那么f為X 到Y(jié)的一個映射，記為f:X tY。像集：對于X的一個子集A，像集f(x)| x A記為f(A)，顯然包含于Y原像集：對于Y的一個子集B

4、,原像集x| x A且f(x) B記為f-1 (B)滿射：單射:f(X)=Y,即Y中所有兀素都是像X中不冋兀素一定對應(yīng) Y中不冋的像雙射:既是單射又是滿射。雙射是一一對應(yīng)的映射。逆映射：對于雙射，建立一種Y到X的雙射，將像映射到原像上。記為f-1 ：Yt X復(fù)合映射：f：XT Y, g:YT乙它們的復(fù)合g o f:XT乙寫成g(f(X)-函數(shù)，一個？n維實數(shù)向量到 R實數(shù)上的映射性質(zhì)映射與交并運算順序可交換性對于f：XT Y, X假設(shè)干個子集A a, Y假設(shè)干個子集B af(UA a) = Uf(Aa)f-1 ( UBa)=Uf-1 (B af( nA a包含于只有這一個不一定等于！ ！Q f

5、(A a)不等于的例子：A=1 , B=-1, f(x)=|x|，貝U f(A AB)#f(A) n(B)f-1 (nBa)=nf-1 (B a)用集合相等定義可證明。集合的勢對等：如果集合 A和B之間可以建立雙射，那么 A對等于B。記為AB性質(zhì)：A到B有單射t A與B子集對等A到B有滿射t B與A子集對等 AB, BC,貝U AC傳遞性 AC, BD，貝U AX BCX D判定：康托一伯恩斯坦定理假設(shè)集合X與Y的一個真子集對等而且 Y與X的一個真子集對等，那么XY基數(shù)：有限個元素的集合為元素個數(shù)。勢：假設(shè)兩個集合對等，那么定義它們的勢相等。在有限個元素的情況下，勢就是基數(shù)。無限個元素的情況下

6、，定義自然數(shù)集的勢是？。阿列夫0。A的勢用|A|表示。假設(shè)A與B的一個子集對等，那么|A| W|B|，假設(shè)與B的真子集對等，那么可數(shù)集可數(shù)集：與自然數(shù)集對等的稱為可列集，元素有限的集合和可列集統(tǒng)稱可數(shù)集。性質(zhì)：任何無窮集合都包含可列子集 可數(shù)集的子集還是可數(shù)集 兩個可數(shù)集的交、并還是可數(shù)集 可數(shù)集和可數(shù)集的直積還是可數(shù)集定理：有理數(shù)集是可列集，實數(shù)不是可列集。有理數(shù)可列證明就把每一個有理數(shù)p/q映射到(p,q)點，那么有理數(shù)和ZX N對等。實數(shù)不可列證明方法有多種，可用閉區(qū)間 套定理、有限覆蓋定理、十進(jìn)制小數(shù)展開等方法定義實數(shù)的勢是 c=?1-定理：單調(diào)函數(shù)的間斷點集是可數(shù)集證明思路：不妨設(shè)單

7、調(diào)遞增。間斷點x0左右必有界，否那么不單調(diào)。 f(xO-O)和f(xO+O)之間必有有理數(shù)rx0，而且x0不同的話每個區(qū)間(f(xO-O),f(xO+O)不會相交，否那么不單 調(diào)。所以間斷點和有理數(shù)子集rxO建立雙射，是可數(shù)的。不可數(shù)集性質(zhì)：一個集合子集不可數(shù)，那么它不可數(shù) A不可數(shù)，B可數(shù)，那么 AAUB維歐式空間極其簡單的性質(zhì)定義向量與運算：略這局部詳見線性代數(shù)或者解析幾何書定義的向量及運算加、減、模、內(nèi)積、距離等。一些常用的集合：開球：B(x,r)以x為球心，r為半徑的球內(nèi)部就是y ?n|d(x,y)<rd(x,y)是x、y的距離 閉球：上面改為 d(x,y)wr有界集：包含于一個

8、開球的集合。分析相關(guān)的概念 點列的極限點： 風(fēng)在k趨于g時與定點x的距離趨向于0,那么x為Xk極限點。聚點和導(dǎo)集：假設(shè)對于xk，點xo為圓心的任何開球內(nèi)都有無數(shù)個 xk中的點，那么xo為xk 聚點。一個集合A的所有聚點構(gòu)成的集合叫 A的導(dǎo)集，記為A'假設(shè)xo A且不是A的聚點 那么為A的孤立點，孤立點集記為 AA'注：聚點未必屬于集合，比方0,1所有有理數(shù)構(gòu)成的集合聚點是 0,1中所有數(shù)，包括無理數(shù)。 但是定義孤立點屬于集合。定理：假設(shè)x0是點集A的聚點，貝U A中存在一個點列趨向x0。內(nèi)點和邊界點內(nèi)點記為A°：存在一個以它為球心有一個開球包含在A中邊界點記為？A：以

9、它為圓心有一個所有開球不包含在A中，但都有A中的點用幾何圖像很好理解定理：AAA=?AA用集合相等的定義證出A=A° U (?A AA)用幾何圖像很好理解閉包A的閉包定義為 A與A'的并。稱A在A的閉包中稠密。閉包在幾何圖像上可以理解為一個 圖形加上它的邊界組成的封閉圖形有假設(shè)干性質(zhì)，略2.3 n維歐式空間中的集合閉集：閉包等于自己的集合。開集：閉集的補集。閉集性質(zhì)：有限個閉集并還是閉集，任意個閉集交還是閉集。無限個閉集并可能是開集，比方 ？寫：，1專=(0,1)開集類似：有限個開集交還是開集，任意個開集并還是開集。為集和Gg集。F。集：可數(shù)個閉集的并。Gg集：可數(shù)個開集的交

10、。性質(zhì)：F。集的補集是Gs集注意：一個集合有可能既是 Gg集又是F。集！比方半開半閉區(qū)間。與矩體的關(guān)系矩體：假設(shè)干個 R上的區(qū)間直積。半開半閉矩體就是假設(shè)干個前開后閉區(qū)間的直積。性質(zhì)：開集一定是可列個互不相交的半開半閉矩體的并?？低屑疌。開始是0,1區(qū)間，然后挖掉中間的三分之一開區(qū)間得到0,1/3U2/3,1，再把每個區(qū)間挖掉中間1/3的開區(qū)間，如此往復(fù)，無數(shù)次的極限就是康托集。康托集對應(yīng)三進(jìn)制小數(shù) 0.XXXXX中只有0,2數(shù)字，沒有1數(shù)字的小數(shù)。這個結(jié)論可以從每 次區(qū)間的端點都保存在集合里來得到性質(zhì)：康托集是非空有界閉集。 勢是?i。 是完全集C=C' 沒有內(nèi)點。代數(shù)和博雷爾集 0

11、代數(shù)：設(shè)F是X的一些子集構(gòu)成的集合，而且 ？ F;假設(shè)A F那么XA F;假設(shè) 一列集合A. F,那么？莒An F。那么稱F是X的一個(代數(shù)。 博雷爾集：n維歐式空間的一切開集的最小o代數(shù)中的集合。2.4連續(xù)函數(shù)定義：設(shè)f是集合E上面的實值函數(shù)，假設(shè)對任一點x0 E，任何?> 0，均存在g使得x B(xo g時|f-f(xo)|< ?，那么f為E上連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與微積分中一元函數(shù)類似，不詳述。特殊判定方法： 對于任何t ? x| f>t , xE(記為E(f>t)是開集，那么f在E上連續(xù)。大于號可換為大于等于、小于、小于等于。 假設(shè)R任意開集在f的原像是開集，那

12、么f在E上連續(xù)?！伴_集可換為“閉集。2.5 n維歐式空間的完備性定理有柯西收斂準(zhǔn)那么、閉集套定理、有限覆蓋定理、聚點原理，類似于R的情況，不詳細(xì)表達(dá)。3. 勒貝格測度勒貝格外側(cè)度勒貝格測度的定義開矩體的體積n 維歐式空間中的開矩體I=(X1,X2 Xn )|X1 (a1,b1),X2 (a2,b2)Xn (a n,bn)= (a1,b1)X (a2,b2)x-x (an,bn) (an,bn)都是 R 中的開區(qū)間定義它的體積 |I|=| a1-b 1| x | a2 - b2| X-X | an - bn|勒貝格外側(cè)度對于任意n維歐式空間的集合 E,總有可數(shù)個開矩體可以將其覆蓋。定義E外側(cè)度為

13、可數(shù)個覆蓋它的開矩體體積和的下確界，記為m?(E)。性質(zhì)： 非負(fù)性：m?(E)A 0 平移不變性：m?(E)= m?(E+x), E+x為把集合E向右平移X。 子集的外側(cè)度：假設(shè) Ei包含于E2，那么m?(Ei)w m?(E2) 集合的并的外側(cè)度：n維歐式空間中，m?! Ek)<J1 m?(Ek) 一些集合外側(cè)度的例子： m?(?)=0 單個點構(gòu)成的集合外側(cè)度為0。 可數(shù)集的外側(cè)度是 0定義：外側(cè)度為0的集合稱為零測集。 平面2為歐式空間上的任意直線外側(cè)度為 0即直線面積是 0 開矩體與它的閉包外側(cè)度相等，都等于它的體積。而且還等于有一局部邊界的矩體的外側(cè)度可測集勒貝格測度 可測集：如果

14、對于一個n維歐式空間中的集合 E,任意n維歐式空間中的集合 T,都有m?(T)= m?(EAT)+ m?(EC AT)，那么稱E為可測集。n維歐式空間中的所有可測集的全體記為 M(?)。理解：就是用任意一個集合 T去“檢驗這個E,與E相交的局部外側(cè)度和 E以外局部的外 側(cè)度加起來還等于原來 T的外測度，那么E就是一個“可以用常理理解的集合，不至于太“奇怪，這樣的集合E叫做可測集。這個概念不要記錯注1:不可測集一定是存在的，但是要舉出不可測集的例子非常麻煩，要有很多鋪墊，所以 略去。注2:條件可以減弱，只要把任意集合T換成任意開矩體I成立即可。證明略?？蓽y集例子： 零測集可測，顯然測度為0 開矩

15、體可測勒貝格測度：當(dāng)一個集合 E是可測集的時候，它的外側(cè)度定義為它的勒貝格測度，簡稱測 度，記為m(E)?？蓽y集族M(?)是n維歐式空間上的(代數(shù) 空集可測 假設(shè)E可測，那么EC可測 假設(shè)一列集合An可測，那么？ An可測勒貝格測度的性質(zhì) 可列可加性：假設(shè)一列可測集合An兩兩不交，那么m(?n=i An) = m=1 m(A n) 上連續(xù)：假設(shè)遞增集合列 An都可測那么m(limA n) = limm(An)nxn 下連續(xù)：假設(shè)遞減集合列 An都可測，而且？?測度有限，那么m (limA n) = lim m( An) nx 、注：康托集可測，測度為 0。證明很容易，因為康托集是一些區(qū)間的極限

16、 故測度為 0 的集合不一定可數(shù)，康托集不可數(shù)卻測度為0?？蓽y集的性質(zhì) 假設(shè)E是可測集，那么任給？> 0存在一個開集 G包含E,且m(E/F)< ? 假設(shè)E是可測集，那么任給？> 0存在一個閉子集F且m(E/F)< ?證明思路：分情況討論有界與無界證明，有界時用定義的開矩體證明，無界時En = E nB(0, n)，開集Gn包含En且差集測度任意小，G=? n=i G。對于取補集再用證。 假設(shè)E是可測集，那么存在 包含E且與E差集測度為0。這個Gg集稱為E的包。 假設(shè)E是可測集，那么存在F。包含于E且與E差集測度為0。這個F。集稱為E的F。核。 證明較簡單，用直接證。取

17、 ？=1/n構(gòu)造集合列。3.2 測度的公理化定義 概率測度空間設(shè)X是非空集，F(xiàn)是X上的。代數(shù)，假設(shè)存在把 F子集映射為非負(fù)實數(shù)的函數(shù)耳滿足： 解)=0 ； 假設(shè)F中集合列An兩兩不交，就有 (I? n=i An)=耳=1卩(A) 那么稱 內(nèi)(X,F上的一個測度，稱(X,F，M為一個測度空間。 很容易驗證勒貝格測度滿足上述性質(zhì)，故是一個特殊的測度。性質(zhì) 單調(diào)性：假設(shè) A包含于B那么MA)W KB) 次可加性：K?k：iEk)Wl£i卩際) 上、下連續(xù)性同勒貝格測度概率假設(shè)上述測度遜滿足卩(F)=1，那么稱為一個概率測度，簡稱概率，記為P。上述集合X記為Q,稱為樣本空間，實際表示隨機試驗

18、結(jié)果構(gòu)成的集合；Q內(nèi)的元素為根本領(lǐng)件。概率滿足測度的所有性質(zhì)。在下面的討論中不涉及一般測度空間的性質(zhì)，只涉及勒貝格測度和少量概率的相關(guān)問題。4. 勒貝格可測函數(shù)廣義實數(shù)將看成兩個數(shù)參加實數(shù)系中，稱為廣義實數(shù)。定義土*的性質(zhì)和運算 任意實數(shù)X, a<X<+8 略假設(shè)干符合直觀意義的運算，比方+8 + (+8 )= +8等加減乘除運算 無意義的運算+8-(+8)、±8- ±8 0X ±8有意義，規(guī)定為0,為了今后證明的方便廣義實值函數(shù)把n維歐式空間的點映射到廣義實數(shù)的函數(shù)。4.2 可測函數(shù)定義：對于可測集 E上定義的函數(shù)f,如果對于任意實數(shù) t, E(f&

19、gt;t)是可測集，那么稱f在E 上可測。E可測函數(shù)全體記為 M(E)。還有一些等價定義,即把上述大于號改成大于等于、小于、小于等于都等價。注：概率論中的“隨機變量實際上就是樣本空間上對于概率測度來說的可測函數(shù)。而上述 的可測函數(shù)是n維歐式空間中相對于勒貝格測度而言的。定理：可測集上定義的連續(xù)函數(shù)可測?？蓽y集上的指示函數(shù)X E可測。X E即E上恒為1,其余為0的函數(shù) R上的單調(diào)函數(shù)可測。 E假設(shè)為零測集那么 E上任何函數(shù)可測。 a,b上定義的間斷點集為零測集的函數(shù)可測。性質(zhì)：f為E上可測函數(shù)，那么 E(f=±旳、E(f<s)均可測。假設(shè)f在集合列Ei上可測，那么f在？昌Ei上也

20、可測。函數(shù)正負(fù)部正負(fù)部概念：對于函數(shù)f,定義f+=maxf,0要是f大于零那么為f，小于零那么為0，f-=max-f,0。 定理：f可測那么f+、f-可測。Ei簡單函數(shù)：設(shè)E是可測集，對于E的有限個可測子集Ei、E2Em上定義的指示函數(shù)XX匚的線性組合?(x)=孚1 a X匚稱為簡單函數(shù)。EmEi性質(zhì)：可測函數(shù)可以表示成假設(shè)干個兩兩不交子集上指示函數(shù)之和。簡單函數(shù)可測。 對于任意一個有界非負(fù)可測函數(shù)f,都存在一個可簡單函數(shù)列?n一致收斂到f0任意有界可測函數(shù)可以劃分為負(fù)部和正部，分別用簡單函數(shù)逼近那么非負(fù)條件可以去掉。注：直觀上面好理解， 將有界函數(shù)值域每次二等分，然后每個值域區(qū)間可以對應(yīng)到一

21、個定義域子集Ei , Ei上面定義最大值的常數(shù)函數(shù)只是函數(shù)的實數(shù)倍代替，劃分次數(shù)越多越接 近f?？蓽y函數(shù)四那么運算設(shè)f、g是兩個各自定義域上的可測函數(shù)，E0為使得它們作下面運算有意義的集合那么cf c是常數(shù)、f+g、fg、f/g均在各自的Eo上為可測函數(shù)。證明思路：cf可測顯然；對于f+g用f+g>t等價于任意有理數(shù) r, f>r且g>t-r;對于fg先證f2可(f+g) 2 -(f-g)2f/g只證1/g可測。測，再用fg=(來做;44.3可測函數(shù)列極限的可測性對于一列E上的可測函數(shù)fk, supfk、inffk均可測進(jìn)而fk上下極限都可測。幾乎處處成立的命題：指在集合E上，除去零測集Eo以外，其他地方處處成立的命題假設(shè)E0= ?那么處處成立，記為a.e.Eo注：一個函數(shù)幾乎處處等于一個連續(xù)函數(shù)，未必幾乎處處連續(xù)，反例是狄利克雷函數(shù)。由于有理數(shù)集可數(shù)所以有理數(shù)集測度為0,狄利克雷函數(shù)幾乎處處等于0。但是狄利克雷函數(shù)不但不是幾乎處處連續(xù)，而且是處處都不連續(xù)?？蓽y函數(shù)列的三種收斂 fk在 E上幾乎處處收斂到f，記為fk t f a.e