附錄、平面圖形的幾何性質

1、1附錄附錄 I I平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質2 I-1 靜矩和形心靜矩和形心 I -2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑 I-4 平行移軸公式平行移軸公式 3oxyI-1 靜矩和形心靜矩和形心一一, 定義定義dA xy截面對截面對 y , x 軸的軸的靜矩靜矩為為： AyxdAS AxydAS靜矩可正，可負，也可能等于零靜矩可正，可負，也可能等于零。4xyo dA xyy yxcASAxdAxyA ASAydAyxA xASy yASx 截面的形心截面的形心 C 的坐標公式為的坐標公式為：5xyo dA xyy yxc截面對通過形心的軸的靜矩等于零。截面對通過形心的軸的靜矩等于零。若

2、截面對某一軸的靜矩等于零，則該軸必過形心。若截面對某一軸的靜矩等于零，則該軸必過形心。xASy yASx 6 二二, 組合截面組合截面 由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面截面各組成部分對于某一軸的靜矩之代數(shù)和，就等于該截面各組成部分對于某一軸的靜矩之代數(shù)和，就等于該截面對于同一軸的靜矩。截面對于同一軸的靜矩。7其中：其中： Ai 第第 i個簡單截面面積個簡單截面面積 第第 i個簡單截面的形心坐標個簡單截面的形心坐標)(yxii組合截面靜矩的計算公式為組合截面靜矩的計算公式為xASiniiy 1 niiixyAS18 計算組合截面形心坐標的公式如下：計算組合

3、截面形心坐標的公式如下： niiniiiAxAx11 niiniiiAyAy11ASAxdAxyA ASAydAyxA xASiniiy 1 niiixyAS191010120o解：解： 將截面分為將截面分為 1，2 兩個矩形。兩個矩形。12yx例例 1-1 試確定圖示截面形心試確定圖示截面形心 C 的位置的位置。 取取 x 軸和軸和 y 軸分別與截面軸分別與截面的底邊和左邊緣重合的底邊和左邊緣重合8010AAxAxAAxAxniiniii21221111 AAyAyAy212211 1010120o12x2y2x1y1yx8011矩形矩形 1mmA21120012010 mmx51 mmy6

4、01 矩形矩形 2mmA227007010 mmx45270102 mmy52 1010120o12x2y2x1y1yx8012所以所以mmAAyAyAymmAAxAxAx4019007550020190037500212211212211 1010120o12x2y2x1y1yx8013 I2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑 xy0dAxy 截面對截面對 o 點的極慣性矩為點的極慣性矩為定義：定義：dAyIdAxIAAxy22 截面對截面對 y ,x軸的慣性矩分別為軸的慣性矩分別為dAAPI214I = Ix + Iy所以所以 xy0dAxy yx222xydAIAxy 截面對截面對 x

5、, y 軸的慣性積為軸的慣性積為15xydxdxydAdAAIiyy 截面對截面對 x , y 軸的軸的慣性半徑（回轉半徑）慣性半徑（回轉半徑）為為AIixx 16dA = b dy解解：bhxyCydy1232222bhdybydAyIhhAx dAyIAx 2123hbIy 例例 2 _ 1 求矩形截面對其對稱軸求矩形截面對其對稱軸 x , y 軸的慣性矩。軸的慣性矩。17 所以所以644dIIyx 324dIPIIIyxIIyx 解：因為截面對其圓心解：因為截面對其圓心 O 的極慣性矩為的極慣性矩為 例例 2 - 2 求圓形截面對其對稱軸的慣性矩求圓形截面對其對稱軸的慣性矩 。yxd18

6、xyoC(a,b)ba一一 。平行移軸公式。平行移軸公式（a , b ) _ 形心形心 c 在在 xoy 坐標系下的坐標系下的 坐標。坐標。I4 平行移軸公式平行移軸公式x, y 任意一對坐標軸任意一對坐標軸C 截面形心截面形心19 則平行移軸公式為則平行移軸公式為AaIIxcx2 AbIIycy2 abAIIyxccxy xyoC(a,b)baycxc20二。二。組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩 慣性積慣性積 Ixi , Iyi , 第第 i個簡單截面對個簡單截面對 x ,y 軸的慣性矩軸的慣性矩、 慣性積。慣性積。Ixyi nixixII1 niyiyII1 nixyixyII1組合截面的慣性矩，慣性積組合截面的慣性矩，慣性積21例例 4 -1 求梯形截面對其形心軸求梯形截面對其形心軸 yc 的慣性矩的慣性矩。解解：將截面分成兩個截面將截面分成兩個截面。截面的形心必在對稱軸截面的形心必在對稱軸 zc 上上。取過矩形取過矩形 2 的形心且平行于底邊的軸作為參考軸記作的形心且平行于底邊的軸作為參考軸記作 y軸軸 。2014010020y21zcyc140201 A801 Z201002 A02 ZmmAAZAZAZC746212211. 所以截面的形心坐標為所以截面的形心坐標