絕對值化簡專題訓練2(有難度)

1、鄭州郭氏數學內部資料；更多學習資料及學習方法、考試技巧請百度郭氏數學公益教學博客。絕對值化簡專題訓練2 （有難度）絕對值是初中代數中的一個基本概念，在求代數式的值、化簡代數式、證明恒等式與不等式，以及求解方程與不等式時， 經常會遇到含有絕對值符號的問題，同學們要學會根據絕對值的定義來解決這些問題.下面我們先復習一下有關絕對值的基本知識，然后進行例題分析.一個正實數的絕對值是它本身； 一個負實數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零.即I當技0時？|a|= J 0,當邊二 0時|-a,當刊0時.絕對值的幾何意義可以借助于數軸來認識，它與距離的概念密切相關. 在數軸上表示個數的點離開原點的距離叫這個

2、數的絕對值.結合相反數的概念可知， 除零外，絕對值相等的數有兩個，它們恰好互為相反數. 反之,相反數的絕對值相等也成立.由此還可得到一個常用的結論：任何一個實數的絕對值是非負數.例1 a, b為實數，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件?(1) I a+b | = | a | + | b |;丨 ab | = | a | b | ; (3) | a-b | = | b-a | ;若 | a | =b，則 a=b ;若 | a | v | b |，貝U avb;若 a b，則 | a | | b | .解 不對.當a, b同號或其中一個為 0時成立.(2)對.對.不對.當a 0時成立.不對.當b

3、 0時成立.不對.當a + b0時成立.例2設有理數a,b ,c在數軸上的對應點如圖1-1所示，化簡| b-a | + | a+c | + | c-b | .* Scb o2團1-1解 由圖1-1可知，a 0, bv 0, cv 0，且有| c | a | b | 0 .根據有理數加 減運算的符號法則，有b-a v 0, a + cv 0, c-b v0.再根據絕對值的概念，得| b-a | =a-b , | a+c | =-(a+c) , | c-b | =b-c .于是有原式 =(a-b )-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.例 3 已知 xv -3，化簡：| 3+

4、| 2- | 1+x | |.分析 這是一個含有多層絕對值符號的問題，可從里往外一層一層地去絕對值符號.解 原式=| 3+ | 2+(1+x) | (因為 1+x v 0)=| 3+ | 3+x |=| 3-(3+x) | (因為 3+x v 0)-x | =-x.例4若如,貝骨話評為有可能值是什么?解因為 abc豐0 ,所以a豐0 , b豐0 , cm 0 .當a, b, c均大于零時，原式=3 ;當a , b, c均小于零時，原式=-3 ;(3) 當a , b, c中有兩個大于零，一個小于零時，原式=1 ;(4) 當a, b, c中有兩個小于零，一個大于零時，原式=-1 .所吩喘諮麗酈值心

5、，-說明 本例的解法是采取把 a, b, c中大于零與小于零的個數分情況加以解決的，這種 解法叫作分類討論法，它在解決絕對值問題時很常用.例 5 若丨 x | =3 , | y | =2，且丨 x-y | =y-x，求 x+y 的值.解 因為 | x-y | 0,所以 y-x 0, y x .由 | x | =3, | y | =2 可知，x v 0，即 x=-3 .(1) 當 y=2 時，x+y=-1 ;(2) 當 y=-2 時，x+y=-5 .所以x+y的值為-1或-5.例 6 若 a, b, c 為整數，且 | a-b | 19+ | c-a | 99=1，試計算 | c-a | + |

6、 a-b | + | b-c | 的值.解a, b, c均為整數，則a-b , c-a也應為整數，且| a-b | 19, | c-a | 99為兩個非負 整數，和為1，所以只能是I a-b | 19=0 且 | c-a | 99=1 ,I a-b | 19=1 且 | c-a | 99=0 . 由有 a=b 且 c=a 1 ,于是 | b-c | = | c-a | =1 ;由有 c=a 且 a=b 1,于是 | b-c |=I a-b | =1 .無論或都有I b-c | =1 且 | a-b | + | c-a | =1 ,所以I c-a | + | a-b | + | b-c | =2

7、 .例孑若I x-y+3 I與lx+y-1999 I互為相反數，求的值.x - y解依相反數的意義有I x-y+3 | =- | x+y-1999 | .因為任何一個實數的絕對值是非負數，所以必有|x-y+3 | =0 且 | x+y-1999 | =0 .即fx-y+3=0, x + y-1999 = 0.由有x-y=-3，由有x+y=1999 .-得2y=2002 ,y=1001 ,所以=1999 + 1001 = iQoox - y例 8 化簡：| 3x+1 | + | 2x-1 |.分析 本題是兩個絕對值和的問題.解題的關鍵是如何同時去掉兩個絕對值符號.若分別去掉每個絕對值符號，則是很

8、容易的事.例如，化簡|3x+1 |,只要考慮3x+1的正負,即可去掉絕對值符號.這里我們是分兩種惰況加以討論的，此瞅 趙是一個分界 點-類似地，對于丨而言，耳=土是一個分界點.為同時去掉 兩個絕對值符號，我們把兩個分界點-+和丄標在谿由上，把數軸分為三個部分（如圖1 - 2所示），即x-p 4xr鄭州郭氏數學內部資料；更多學習資料及學習方法、考試技巧請百度郭氏數學公益教學博客。鄭州郭氏數學內部資料；更多學習資料及學習方法、考試技巧請百度郭氏數學公益教學博客。這樣我們就可以分類討論化簡了.鄭州郭氏數學內部資料；更多學習資料及學習方法、考試技巧請百度郭氏數學公益教學博客。鄭州郭氏數學內部資料；更多

9、學習資料及學習方法、考試技巧請百度郭氏數學公益教學博客。原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x;(2)當時，原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2;(3) 當龍扌時，原式=(3x+1)+(2x-1)=5x一 1-5盟，當-二時；= x +當一 *瓦 時;當X吋.說明 解這類題目，可先求出使各個絕對值等于零的變數字母的值，即先求出各個分界 點，然后在數軸上標出這些分界點，這樣就將數軸分成幾個部分，根據變數字母的這些取值范圍分類討論化簡，這種方法又稱為“零點分段法”.例 9 已知 y= | 2x+6 | + | x-1 | -4 | x+1 求 y 的最大值.分析 首先使用“零點分段法”將y化

10、簡，然后在各個取值范圍內求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者.解 有三個分界點：-3 , 1, -1 .(1) 當 x -3 時，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,由于x -3，所以y=x-1 -4 , y的最大值是-4 .(2) 當-3 x 1時，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,由于x 1,所以1-x w 0 , y的最大值是0 .綜上可知，當x=-1時，y取得最大值為6.例 10 設 a v bv cv d,求I x-a | + | x-b | + | x-c | + | x-d |的最小值.分析本題也可用“零點分段法”討論計算，但比較麻煩.

11、若能利用| x-a | , | x-b | , |x-c | , | x-d |的幾何意義來解題，將顯得更加簡捷便利.解設a, b, c, d , x在數軸上的對應點分別為A, B , C, D, X，則| x-a |表示線段AX之長，同理，| x-b | , | x-c | , | x-d |分別表示線段 BX , CX, DX之長.現要求|x-a | , | x-b | , | x-c | , | x-d |之和的值最小，就是要在數軸上找一點X,使該點到A,B, C, D四點距離之和最小.因為a v b v cv d,所以A, B , C, D的排列應如圖1 3所示：圖1-3D所以當X在B

12、，C之間時，距離和最小，這個最小值為AD+BC，即(d-a)+(c-b).例11若2x+ | 4-5x | + | 1-3x | +4的值恒為常數，求 x該滿足的條件及此常數的值.分析與解 要使原式對任何數 x恒為常數，則去掉絕對值符號，化簡合并時，必須使含x的項相加為零，即 x的系數之和為零.故本題只有2x-5x+3x=0 一種情況.因此必須有| 4-5x | =4-5x 且 | 1-3x | =3x-1 .故x應滿足的條件是|3x-l0.解之得討懇？此時原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7 .練習二1 . x是什么實數時，下列等式成立:(1) | (x-2)+(x-4)| = | x-2 | + | x-4 | ;(2) | (7x+6)(3x-5)| =(7x+6)(3x-5)2 .化簡下列各式:(2) | x+5 | + | x-7 | + | x+103 .若 a + b v 0,化簡 | a+b-1 | - | 3-a-b | .4 .已知 y= | x+3 | + | x-2 | - | 3x-9 |,求 y 的最大值.5 .設 T= | x-p | + | x-15 | + | x-p-15 |，其中 0 v