高中數(shù)學(xué)-不等式選講各年高考題

1、五年高考真題分類匯編：不等式選講一.選擇題1.（2014·安徽高考文科·9）與（2014·安徽高考理科·9）相同若函數(shù)的最小值為3，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A.5或8 B.或5 C.或 D.或8【解題提示】 以a為目標(biāo)進(jìn)行分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)?！窘馕觥窟xD.（1）當(dāng)a<2時(shí)， ；（2）當(dāng)a>2時(shí)，由（1）（2）可得，解得a=-4或8。2（2012湖北高考理）設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則 ()A. B. C. D.【解析】選C 由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axby

2、cz)2400，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此有.3（2011山東高考理）不等式|x5|x3|10的解集是 ()A5,7 B4,6C(，57，) D(，46，)【解析】選D |x5|x3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到3,5的距離之和，不等式|x5|x3|10的解集是(，46，)二.填空題4. （2014· 湖南高考理科·13）若關(guān)于的不等式的解集為，則 【解題提示】求解絕對(duì)值不等式。【解析】由得到，又知道解集為所以。答案：5.(2014·廣東高考理科)不等式+5的解集為.【解析】方法一:由得x-3;由無解;由得x2.即所求的解集為x|x-3或x2.方法二:在數(shù)軸上,點(diǎn)-2與點(diǎn)1的距離

3、為3,所以往左右邊界各找距離為1的兩個(gè)點(diǎn),即點(diǎn)-3到點(diǎn)-2與點(diǎn)1的距離之和為5,點(diǎn)2到點(diǎn)-2與點(diǎn)1的距離之和也為5,原不等式的解集為x|x-3或x2.答案:x|x-3或x2.【誤區(qū)警示】易出現(xiàn)解集不全或錯(cuò)誤.對(duì)于含絕對(duì)值的不等式不論是分段去絕對(duì)值號(hào)還是利用幾何意義,都要不重不漏.6.(2014·陜西高考文科·T15)（文理共用）A.(不等式選做題)設(shè)a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為.【解題指南】本題考查運(yùn)用柯西不等式求最值的問題.【解析】由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2,即5(m2+n2)25,(m2+n2)5,所以

4、的最小值為.答案:7.(2014·江西高考文科·T15)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,則x+y的取值范圍為.【解題指南】利用絕對(duì)值不等式及絕對(duì)值的幾何意義求解.【解析】由|a|+|b|a-b|知,|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|1,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以0x1且0y1,即0x+y2.答案:0,28（2013湖南高考理）已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_【解析】本小題主要考查應(yīng)用柯西不等式求最小值由柯西不等式，得(a24b29c2)·(121212)(a&#

5、183;12b·13c·1)236，故a24b29c212，從而a24b29c2的最小值為12.【答案】129（2013陜西高考文）設(shè)a，bR，|ab|>2，則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|xa|xb|2的解集是_【解析】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法、絕對(duì)值的幾何意義和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，該題實(shí)質(zhì)是給定條件最值的題目的變形呈現(xiàn)|xa|xb|ab|2，|xa|xb|2恒成立，則解集為R.【答案】(，)10（2013重慶高考理）若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|<a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】本題主要考查絕對(duì)值不等式問題，意在考查考生轉(zhuǎn)化與化歸的能力|x5|x3|(

6、x5)(x3)|8，故a8.【答案】(，811（2013陜西高考理）已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_【解析】本題考查使用基本不等式求最值的技巧和方法，意在考查考生的轉(zhuǎn)化化歸能力和運(yùn)算能力(ambn)·(bman)ab(m2n2)mn(a2b2)2abmnmn·(a2b2)4ab2(a2b2)2(2aba2b2)2(ab)22(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào))【答案】212（2013江西高考理）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1的解集為_【解析】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力依題意得1|x2|11，即|x2|

7、2，解得0x4.【答案】0,413（2012江西高考理）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x1|2x1|6的解集為_【解析】 原不等式可化為或或解得x，即原不等式的解集為x|x【答案】x|x14（2012陜西高考理）若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】|xa|x1|a1|，則只需要|a1|3，解得2a4.【答案】2a415（2011江西高考理）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_【解析】|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值為5.【答案】516（2011湖南高考理）設(shè)x，yR，且xy0，則

8、(x2)(4y2)的最小值為_.【解析】(x2)(4y2)144x2y21429，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2時(shí)等號(hào)成立，即|xy|時(shí)等號(hào)成立【答案】917（2011陜西高考）若關(guān)于x的不等式|a|x1|x2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以只需|a|3即可，所以a3或a3.【答案】(，33，)三.解答題18. (2014·福建高考理科·21)不等式選講已知定義在上的函數(shù)的最小值為(1)求的值；(2)若是正實(shí)數(shù)，且滿足，求證：【解析】(1)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為；3分(2)由(1)知，又是正實(shí)數(shù)，即.7分19. (20

9、14·新課標(biāo)全國卷高考文科數(shù)學(xué)·T24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x) =+ (a>0)(1)證明:f2.(2)若f<5,求a的取值范圍.【解題提示】(1)利用絕對(duì)值不等式和均值不等式的性質(zhì)證明.(2)通過討論脫去絕對(duì)值號(hào),解不等式求得a的取值范圍.【解析】(1)由a0，有f（x）= +|x-a| = +a2.所以f(x)2.（2）f(3)= +|3-a|.當(dāng)a3時(shí)，f(3)=a+,由f(3)5,得3a.當(dāng)0a3時(shí)，f(3)=6-a+,由f(3)5，得a3.綜上，a的取值范圍是.20.(2014·新課標(biāo)全國卷高考理科數(shù)學(xué)

10、83;T24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x) =+ (a>0)(1)證明:f2.(2)若f<5,求a的取值范圍.【解題提示】(1)利用絕對(duì)值不等式和均值不等式的性質(zhì)證明.(2)通過討論脫去絕對(duì)值號(hào),解不等式求得a的取值范圍.【解析】(1)由a0，有f（x）= +|x-a| = +a2.所以f(x)2.（2）f(3)= +|3-a|.當(dāng)a3時(shí)，f(3)=a+,由f(3)5,得3a.當(dāng)0a3時(shí)，f(3)=6-a+,由f(3)5，得a3.綜上，a的取值范圍是.21（2013江蘇高考）已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a

11、2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.22（2013新課標(biāo)全國高考文）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.證明：本題主要考查不等式的證明與均值不等式的應(yīng)用，意在考查考生的運(yùn)算求解能力與推理論證能力(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎

12、2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.23（2013新課標(biāo)全國高考文）已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)設(shè)a>1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍解：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，分段函數(shù)等，考查考生分析問題、解決問題的能力(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)<g(x)化為|2x1|2x2|x3<0.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖像如圖所示從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí)，y<0.所以原不等式的解集是x|0<x<2(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)

13、1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對(duì)x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.24（2013遼寧高考文）已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解：本題主要考查分段函數(shù)、絕對(duì)值不等式及其運(yùn)用，考查分類討論思想在解題中的靈活運(yùn)用(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x

14、)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.25（2013福建高考理）設(shè)不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A.求a的值；求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值解：本小題主要考查絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想因?yàn)锳，且A，所以<a，且a，解得<a.又因?yàn)閍N*，所以a1.因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)取到等號(hào)所以f(x)的最小值為3.26（2013遼寧高考理）已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求

15、不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解：本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法以及逆向求參數(shù)問題，也考查了逆向思維能力的應(yīng)用以及分類討論思想(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2<x<4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.27（2013新課標(biāo)全國高考

16、理）已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍解：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法和含參數(shù)的不等式恒成立問題，意在考查考生運(yùn)用分類討論思想解決問題的能力(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí)，y<0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對(duì)x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.28（2013新課標(biāo)全

17、國高考理）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1) abbcac；(2) 1.證明：本題考查不等式的基本知識(shí)以及運(yùn)用基本不等式進(jìn)行簡單的不等式證明等知識(shí)，旨在考查考生靈活運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.29（2012遼寧高考文）已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(

18、2)若|f(x)2f()|k恒成立，求k的取值范圍解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當(dāng)a0時(shí)，不合題意當(dāng)a>0時(shí)，x，得a2.(2)法一：記h(x)f(x)2f()，則h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范圍是k1.法二：|f(x)2f()|21，由|f(x)2f()|k恒成立，可知k1所以k的取值范圍是k1.30（2012新課標(biāo)高考文）已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2<

19、;x<3時(shí)，f(x)3無解；當(dāng)x3時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集為x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當(dāng)x1,2時(shí)，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0. 故滿足條件的a的取值范圍為3,031（2012遼寧高考理）已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1|(1)求a的值；(2)若|f(x)2f()|k恒成立，求k的取值范圍解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當(dāng)a0時(shí)，不合題意當(dāng)a>0時(shí)，x，得a2.(2)記h(x)f(x)2f

20、()，則h(x)所以|h(x)|1，因此k1.32（2012江蘇高考）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|xy|，|2xy|，求證：|y|.解：因?yàn)?|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由題設(shè)知|xy|，|2xy|，從而3|y|，所以|y|.33（2012福建高考理）已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.解：(1)因?yàn)閒(x2)m|x|，所以f(x2)0等價(jià)于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()(···)29.34（2012新課標(biāo)高考理）已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2x3時(shí)，f(x)3無解；當(dāng)x3時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集為x|x1或x4(2)f(x)