特征值與特征向量優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

1、特征值與特征向量教學(xué)目標(biāo)】1親歷矩陣特征值與特征向量意義的探索過程，體驗(yàn)分析歸納得出矩陣特征值與特征向 量的存在與性質(zhì)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力。2掌握矩陣特征值與特征向量的定義及其性質(zhì)。3能從幾何直觀上，利用線性變換求特征值與特征向量。教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：掌握陣特征值與特征向量的定義及其性質(zhì)。難點(diǎn)：從幾何直觀上，利用線性變換求特征值與特征向量。教學(xué)過程】一、新課引入 教師：對(duì)于線性變換，是否存在平面內(nèi)的直線，使得該直線在這個(gè)線性變換作用下保持不 變？是否存在向量， 使得該向量在這個(gè)線性變換的作用下具有某種 “不變性 ”？為了解決我們的 問題，我們今天將學(xué)習(xí)矩陣特征值與特征向量。二、講授新

2、課 教師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，我們?cè)谇懊娴恼n程里面，學(xué)過哪些基本的變換？ 學(xué)生：伸縮變換，反射變換等等。 教師：那下面我們來研究一下伸縮變換，反射變換一些不變的性質(zhì)，我一起來看例題。x 1 0 x例 1：對(duì)于相關(guān) x 軸的反射變換 ： x 1 0 x ，從幾何直觀上可以發(fā)現(xiàn)，只有 x 軸 y 0 1 y和平行于 y 軸的直線在反射變換 的作用下保持不動(dòng)，其他的直線都發(fā)生了變化。因此，反射 k0變換 只把形如 1 和的向量（其中 k1， k2是任意常數(shù)），分別變成與自身共線的0k2向量。可以發(fā)現(xiàn)，反射變換 分別把向量01k2變成k100k2特別的，1反射變換 把向量 1 10 變成 1把向量變成用

3、矩形的形式可表示為101 1 100100110110 ， 010110例 2：對(duì)于伸縮變換 ：1002，從幾何直觀上可以發(fā)現(xiàn)，只有 x 軸和平行于 y 軸的直線在伸縮變換 的作用下保持不動(dòng)，其他的直線都發(fā)生了變化。因此，伸縮變換 只把形k0如k1 和 0 的向量（其中 k1 ，k2是任意常數(shù)）分別變成與自身共線的向量。 可以發(fā)現(xiàn)，0k2伸縮變換 把向量k10k2 變成k1，202k2特別地，伸縮變換把向量變成，把向量00 1 0 1 11 變成 2 2 2 1 。用矩形的形式可表示為 0 2 0 1 0101020教師：讓學(xué)生結(jié)合引入的問題，探討出“不變形” 。教師：總結(jié)并引入課題的主內(nèi)容矩

4、陣特征值與特征向量的定義。 接下來，我們先來學(xué)習(xí)陣特征值與特征向量的定義與相關(guān)性質(zhì) ，它的具體內(nèi)容是：ab，則稱 是矩陣 A定義：設(shè)矩陣 A ca db ，如果存在數(shù)以及非零向量 ，使得 A的一個(gè)特征值， 是矩陣 A 的屬于特征值 的一個(gè)特征向量。 注意：特征向量必須是非零向量。特征值與特征向量是相伴出現(xiàn)的。性質(zhì)：一般地，設(shè) 是矩形 的屬性特征值 的一個(gè)特征向量， 則對(duì)任意的非零常數(shù) k， k 也是矩陣 A 的屬性特征值 的特征向量。一般地，屬性矩陣的不同特征值的特征向量不共線。 它是如何在題目中應(yīng)用的呢？我們通過一道例題來具體說明。31例 1試從幾何直觀上，利用線性變換求矩陣 A 2 2 的

5、特征值與特征向量。1322教師板書展示解析。根據(jù)例題的解題方法，讓學(xué)生自己動(dòng)手練習(xí)練習(xí)：試從幾何直觀上，利用線性變換求矩陣 A312 2 的特征值與特征向量。1322三、課堂總結(jié)（1）這節(jié)課我們主要講了ab定義：設(shè)矩陣 A a b ，如果存在數(shù) 以及非零向量 ，使得 A ，則稱 是矩陣 A cd的一個(gè)特征值， 是矩陣 A 的屬于特征值 的一個(gè)特征向量。性質(zhì)：一般地，設(shè) 是矩形 的屬性特征值 的一個(gè)特征向量， 則對(duì)任意的非零常數(shù) k，k 也是矩陣 A 的屬性特征值 的特征向量一般地，屬性矩陣的不同特征值的特征向量不共線。 （2）它們?cè)诮忸}中具體怎么應(yīng)用？四、習(xí)題檢測(cè) 1從幾何直觀上，找出下列線性變換的所有特征值和特征向量： （1）旋轉(zhuǎn)變換 R；2）恒等變換；3）零變換 0（把平面上的每個(gè)向量都變?yōu)?）關(guān)于 x 軸的正投影變換0 向量）；xy5）關(guān)于 y 軸的反射變換6）平行于 y 軸的切變