概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章習題及答案(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題第二章 隨機變量及其分布習題2-1 一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5.在袋中同時取3只，以表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量的分布律.解：X可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表X： 3， 4，5P：習題2-2 進行重復獨立試驗，設每次試驗成功的概率為，失敗的概率為.（1）將試驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以表示所需的試驗次數(shù)，求的分布律.（此時稱服從以為參數(shù)的幾何分布.）（2）將試驗進行到出現(xiàn)次成功為止，以表示所需的試驗次數(shù)，求的分布律.（此時稱服從以為參數(shù)的巴斯卡分布.）（3）一籃球運動員的投籃命中率為.以表示他首次投中時累計

2、已投籃的次數(shù)，寫出的分布律，并計算取偶數(shù)的概率.解：（1）P (X=k)=qk1pk=1,2, （2）Y=r+n=最后一次實驗前r+n1次有n次失敗，且最后一次成功其中 q=1p，或記r+n=k，則 PY=k= （3）P (X=k) = (0.55)k10.45k=1,2P (X取偶數(shù))=習題2-3 一房間有同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各窗子是隨機的。（1）以表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一

3、次。以表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求的分布律。解：（1）X的可能取值為1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去 =， n=1，2，（2）Y的可能取值為1，2，3 P Y=1=P 第1次飛了出去= P Y=2=P 第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去 = P Y=3=P 第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去 =習題2-4 設事件在每一次試驗中發(fā)生的概率為，當發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號.（1）進行了5次重復獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率；（2）進行了7次重復獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率.習題2-5 甲、乙

4、兩人投籃，投中的概率分別為.今各投3次. 求（1）兩人投中次數(shù)相等的概率；（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率.記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = (0.4)3× (0.3)3+ （2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2,

5、Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 習題2-6 有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次.（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗10次，成功3次.試推斷他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設各次試驗是相互獨立的

6、）.解：（1）P (一次成功)=（2）P (連續(xù)試驗10次，成功3次)= 。此概率太小，按實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。習題2-7 一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求：（1）某一分鐘恰有8次呼喚的概率；（2）某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的次數(shù)。（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率法一：（直接計算）法二：P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9)（查= 4泊松分布表）。 = 0.0.=0.（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。 P (X>10)=P (X 11)=0.（查表計算）習題2-8 以表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一個顧客到達等待的時間（以分計），的

7、分布函數(shù)是求下述概率：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）。解：（1）P至多3分鐘= P X3 = （2）P 至少4分鐘 P (X 4) = （3）P3分鐘至4分鐘之間= P 3<X4= （4）P至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘 = （5）P恰好2.5分鐘= P (X=2.5)=0習題2-9 某種型號的電子管的壽命（以小時計）具有以下的概率密度現(xiàn)有一大批此種管子（設各電子管損壞與否相互獨立），任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則，習題2-

8、10 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘，他就離開，他一個月要到銀行5次，以表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出的分布律，并求.解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為因此習題2-11 設，求（1），；（2） 確定，使得；（3）設滿足，問至多為多少？解：若XN（，2），則P (<X)=P (2<X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (4<X10) =(3.5)(3.5) =0.99980.0002=0.9996P (|X|>2)=1P (|X|<

9、2)= 1P (2< P<2 ) = =1(0.5) +(2.5) =10.3085+0.0062=0.6977P (X>3)=1P (X3)=1=10.5=0.5（2）決定C使得P (X > C )=P (XC)P (X > C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =3 習題2-12 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以計）服從.在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓.（1）求；（2） 確定最小的，使1） P (X105)，P (100<X 120). （2）確定最小的X使P (X>x) 0.05

10、.解:習題2-13 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命（以小時計）服從參數(shù)為的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？ P (120X200)=又對標準正態(tài)分布有(x)=1(x) 上式變?yōu)?解出 再查表，得習題2-14 設隨機變量的分布律為-2-1013求的分布律.解; Y=X 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2 P： 再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為： Y： 0 1 4 9 P： 習題2-15 設隨機變量在上服從均勻分布.（1）求的概率密度；（2）求的概率密度.（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度為：Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=lnY

11、，反函數(shù)存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度為：（2）求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度為：習題2-16 設，（1） 求的概率密度；（2） 求的概率密度；（3） 求的概率密度.（1）求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 = mi

12、ng (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+，)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設Y的分布函數(shù)是FY（y），則FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =當y<1時：FY ( y)=0當y1時：故Y的分布密度( y)是：當y1時：( y)= FY ( y)' = (0)' =0當y>1時，( y)= FY ( y)' = =（3）求Y=| X |的概率密度。Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)當y<0時，F(xiàn)Y ( y)=0當y0時，F(xiàn)Y ( y)=P (| X |y )=P (yXy)= Y的概率密度為：當y0時：( y)= FY ( y)' = (0)' =0當y>0時：( y)= FY ( y)' =習題2-17 設隨機變量的概率密度為求的概率密度.解：FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)當y<0時：FY ( y)=0