求導(dǎo)及其應(yīng)用專題綜合類教師版

1、 專題 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(一)、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則（1）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（求導(dǎo)公式）公式1 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （c為常數(shù)），即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。 公式2 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 。 公式3 正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 。 公式4 余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 公式5 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（） ； （） 公式6 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（） ； （） 。（2）可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù)，則有法則1 法則2 ； 法則3 。 （3）利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的對應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽?(二)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性（1）導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

2、，則若 為增函數(shù)；若 為減函數(shù)；若在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)。（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟（）確定函數(shù) 的定義域； （）求導(dǎo)數(shù) ；（）令 ，解出相應(yīng)的x的范圍當(dāng) 時， 在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng) 時 在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù)。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域，然后解不等式（)0（不要帶等號），最后求二者的交集，把它寫成區(qū)間。已知函數(shù)的增（減）區(qū)間，應(yīng)得到（）0，必須要帶上等號。求函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間，要解不等式0，此處不能帶上等號。單調(diào)區(qū)間一定要寫成區(qū)間，不能寫成集合或不等式；單調(diào)區(qū)間一般都寫成開區(qū)間，不要寫成閉區(qū)間；如果一種區(qū)間有多個，中間不能用“”連接。 2 函數(shù)

3、的極值的判定4、求函數(shù)的極值（1）設(shè)函數(shù)在及其附近有定義，如果的值比附近所有各點(diǎn)的值都大（?。?，則稱是函數(shù)的一個極大（?。┲?。（2）求函數(shù)的極值的一般步驟先求定義域,再求導(dǎo)，再解方程（注意和求交集），最后列表確定極值。一般地，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)時，如果附近左側(cè)>0，右側(cè)<0，那么是極大值。一般地，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)時，如果附近左側(cè)<0，右側(cè)>0，那么是極小值。（3）極值是一個局部概念。由定義，極值只是某個點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小。并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而使函數(shù)取得最大值、最

4、小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。（5）一般地，連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處有極值 是=0的充分非必要條件。（6）求函數(shù)的極值一定要列表。注意：導(dǎo)數(shù)為0的不一定是極值點(diǎn)，我們不難從函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)研究中悟出這一點(diǎn)。（3）探求函數(shù)極值的步驟：（）求導(dǎo)數(shù) ；（）求方程 的實(shí)根及 不存在的點(diǎn)；考察 在上述方程的根以及 不存在的點(diǎn)左右兩側(cè)的符號：若左正右負(fù)，則 在這一點(diǎn)取得極大值，若左負(fù)右正，則 在這一點(diǎn)取得極小值。3、函數(shù)的最大值與最小值（1）定理若函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)，則 在 上必有最大值和最小值；在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) 不一定有最大值與最小值。（）函數(shù)的最值（最大值與最小值）是函數(shù)的整體性概念：最大值

5、是函數(shù)在整個定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（）函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的（具有相對性），極值只能在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)取得；函數(shù)的最大值與最小值是比較整個定義區(qū)間上的函數(shù)值得出的（具有絕對性），最大（?。┲悼赡苁悄硞€極大（?。┲?，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值。（）若 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?。步驟：設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則探求函數(shù) 在 上的最大值與最小值的步驟如下：（ I ）求 在 內(nèi)的極值；（ II ）求 在定義區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值 ， ；（ III ）將 的各極值與 ，

6、 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。4 求出導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下, 求得切線方程為解決切線的相關(guān)問題，需抓住以下關(guān)鍵點(diǎn)：其一，切點(diǎn)是交點(diǎn)；其二，在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率，因此解決此類問題，一般要設(shè)出切點(diǎn)，建立關(guān)系方程（組）；其三，求切線時要注意“過P點(diǎn)的切線”與“在P點(diǎn)出的切線”的差異；過P點(diǎn)的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，也不一定在曲線上；在P點(diǎn)的切線，點(diǎn)P就是切點(diǎn). (一)、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 解：（1） （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） 當(dāng)

7、時， ；當(dāng) 時， 即 。(1)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(B)A(x+ B(log2x= C(3x=3xlog3e D(x2cosx=2xsinx(2)若f(x)=sincosx,則f()等于（ A ）A、sin B、cos C、sin+cosD、2sin(3) 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ B ） A、 B、C、=-2x sinx D、點(diǎn)評：為避免直接運(yùn)用求導(dǎo)法則帶來的不必要的繁雜運(yùn)算，首先對函數(shù)式進(jìn)行化簡或化整為零，而后再實(shí)施求導(dǎo)運(yùn)算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)化為方冪的形式時，“先變后求”的手法顯然更為靈巧。(二) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義1 曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為(A)A

8、B C D 2 曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為 3 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（A ）A1 B2 C3 D44 曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（A） 5 曲線在點(diǎn)P（1，12）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 (C) A-9 B-3 C9 D156已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則37 、已知曲線（A） （B） （C） （D） 【答案】D8曲線在點(diǎn)M（，0）處的切線的斜率為(B)A B C D 9 曲線在點(diǎn)處的切線方程為(A)（A） （B） （C） （D）10 曲線在點(diǎn)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為(A)（A） （B） （C） （D）11 已知點(diǎn)P在曲線y=

9、上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是(D) （A）0,) （B） （C） （D）12若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，則 13以正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是(A)AB CD14、曲線在點(diǎn)M(e,1)處的切線的斜率是_，切線的方程為_，15 .已知直線y=x+1與曲線相切，則的值為( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-216. 若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于 A或 B或 C或 D或17 、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，15）18 曲線在點(diǎn)（0,1

10、）處的切線方程為 19 函數(shù)的圖像在處的切線在x軸上的截距為_ 20 若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ A ）A B C D21. 曲線在點(diǎn) 處的切線傾斜角為 22 .對正整數(shù)，設(shè)曲線在處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的公式 ，令，求出切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和.23 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線 在點(diǎn)處切線的斜率為( A ) A B C D24 曲線在點(diǎn)處的切線方程是 25 若曲線在P點(diǎn)處的切線平行于直線，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1，0） 26 若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 27 求下列直線的方程： （1）曲線在P(-1,1)處的切線； （2

11、）曲線過點(diǎn)P(3,5)的切線；解：（1） 所以切線方程為（2）顯然點(diǎn)P（3，5）不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為，則又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以過點(diǎn)的切線的斜率為，又切線過、P(3,5)點(diǎn)，所以有，由聯(lián)立方程組得，即切點(diǎn)為（1，1）時，切線斜率為；當(dāng)切點(diǎn)為（5，25）時，切線斜率為；所以所求的切線有兩條，方程分別為9.17 若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解析 解析 由題意該函數(shù)的定義域，由。因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切 線，故此時斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)。解法1 （圖像法）再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點(diǎn)。當(dāng)不符合題意，當(dāng)時，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點(diǎn)，當(dāng)如圖2，此時正好有一個交點(diǎn)，故有

12、應(yīng)填或是。28 設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，則的值為 答案 -2 .29 、.設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為 ，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（A） A BCD30 函數(shù)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,其中，若，則的值是_21 _(二)求單調(diào)區(qū)間問題1 .函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (D)A. B.(0,3) C.(1,4) D. 2 . 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 .，由得單調(diào)減區(qū)間為。3 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（A）（1,1 （B）（0,1 （C.）1，+） （D）（0，+）【解析】故選B4 若函數(shù)f(x)x2ax在是增函數(shù)，則a的

13、取值范圍是()A1，0 B1，) C0，3 D3，)D解析 f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，由于y2x在上單調(diào)遞減，所以y<3，故只要a3.5 下列函數(shù)中,在上為增函數(shù)的是 (B) ABCD6 (C)A在（，）單調(diào)增加B在（，）單調(diào)減少C在（1，1）單調(diào)減少，其余區(qū)間單調(diào)增加D在（1，1）單調(diào)增加，其余區(qū)間單調(diào)減少7 ,分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時,，且，則不等式的解集是(D)A(3，0)(3，+)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，+)D(，3)(0，3)8 、 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是 增區(qū)間：減區(qū)間： _；. 10 若f(x)=上是減函數(shù)，則b的取值范圍是A.-1

14、，+ B.（-1，+） C.（-，-1） D.（-，-1） 11 若在增函數(shù)，則的關(guān)系式為是 恒成立， 則12 函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意，則的解集為(B)A（，1） B（，+） C（，）D（，+） (三)求極值問題(1) 已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(0，) C(0,1) D(0，) 答案B解析f(x)(ln xax)x(a) ln x12ax(x>0)令f(x)0得2a， 設(shè)(x)， 則(x)易知(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減，大致圖象如下若f(x)有兩個極值點(diǎn)，則y2a和y(x)圖象有兩個交點(diǎn)， 0<2a<

15、;1，0<a<.2函數(shù)在x=_ 2_處取得極小值。3 . 設(shè)函數(shù)，則（ ） A為的極大值點(diǎn) B為的極小值點(diǎn) C為的極大值點(diǎn) D為的極小值點(diǎn)【解析】，恒成立，令，則 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)增， 則為的極小值點(diǎn)，故選D4 設(shè)函數(shù)f(x)滿足x2f(x)2xf(x)，f(2)，則x0時，f(x)()A有極大值，無極小值B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值答案D解析由x2f(x)2xf(x)，得f(x)，令g(x)ex2x2f(x)，x0，則g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2·.令g(x)0，得x2.當(dāng)x2時，g(x)0；0x2時，

16、g(x)0，g(x)在x2時有最小值g(2)e28f(2)0，從而當(dāng)x0時，f(x)0，則f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極大值，也無極小值5 設(shè)函數(shù)，則（ ） A為的極大值點(diǎn) B為的極小值點(diǎn)C為的極大值點(diǎn) D為 的極小值點(diǎn)【解析】，令，則 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 即當(dāng)時，是單調(diào)遞減的；當(dāng)時，是單調(diào)遞增的 所以是的極小值點(diǎn)故選D6已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=(ex1)(x1)k(k=1，2)，則A當(dāng)k=1時，f(x)在x=1處取到極小值B當(dāng)k=1時，f(x)在x=1處取到極大值C當(dāng)k=2時，f(x)在x=1處取到極小值D當(dāng)k=2時，f(x)在x=1處取到極大值【答案解析】

17、C 當(dāng)k=1時，方程f(x)=0有兩個解，x1=0，x2=1，由標(biāo)根法可得f(x)的大致圖象，于是選項(xiàng)A，B錯誤；當(dāng)k=2時，方程f(x)=0有三個解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由標(biāo)根法可得f(x)的大致圖象，易知選項(xiàng)C正確。0101k=1k=2（7） 若函數(shù)在處取極值，則 3 (8) 若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有惟一的極大值和極小值，則(D)A極大值一定是最大值，極小值一定是最小值B極大值必大于極小值C極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值D極大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值(四) 圖像問題以下四圖，都是同一坐標(biāo)系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號是(C)

18、A、B、C、D、（2）設(shè)函數(shù)若為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為的圖象是3 已知x=1是的一個極值點(diǎn)（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（3）若對時，f(x)>恒成立，求c的取值范圍解：(1) 因x=1是的一個極值點(diǎn) 即 2+b-1=0b= -1，經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，所以b= -1（5分）(2) >0 >0x>函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（10分）（3）對時，f(x)>c-4x恒成立即對時，f(x) +4x >c恒成立令=0或（舍）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。在x=時取最小值5- C<5-（16分）4 . 設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)（）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單

19、調(diào)性；（）時，求的極值點(diǎn)；（）求證對任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立解：（）由題意知，的定義域?yàn)椋?(1分) (2分)當(dāng)時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增 (4分)（）令，得， (6分)時，而，此時：，隨在定義域上的變化情況如下表：減極小值增由此表可知：時，有惟一極小值點(diǎn)， (8分)（）由()可知當(dāng)時，函數(shù)， （10分）此時有惟一極小值點(diǎn)：，且 （13分）， （16分）5 . 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；（3）若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）由題意，的定義域?yàn)?，且?dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時，令，得，的單調(diào)增區(qū)間為4分（2）由（1）可知，若，則

20、，即在上恒成立，在上為增函數(shù)，（舍去）若，則，即在上恒成立，在上為減函數(shù)，（舍去）若，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，綜上所述，10分（3），在上恒成立，令，則.，在上恒成立，在上是減函數(shù)，即，在上也是減函數(shù)，當(dāng)在恒成立時，16分6 （本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為（I）求a，b的值；（II）證明：當(dāng)x>0，且時，解：（）由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，。（）由（）知，所以考慮函數(shù)，則所以當(dāng)時，故當(dāng)時，當(dāng)時，從而當(dāng)7 若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。已知是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（3）

21、設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)【答案】解：（1）由，得。 1和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 當(dāng)時，；當(dāng)時， 是的極值點(diǎn)。 當(dāng)或時， 不是的極值點(diǎn)。 的極值點(diǎn)是2。（3）令，則。 先討論關(guān)于 的方程 根的情況：當(dāng)時，由（2 ）可知，的兩個不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，的兩個不同的根為一和2。當(dāng)時， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當(dāng)時， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時在無實(shí)根。 當(dāng)時，于是是單調(diào)增函數(shù)。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。同理，在（一2 ，一I ）內(nèi)有唯一實(shí)根。 當(dāng)時，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又， ，的圖象

22、不間斷，在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。因此，當(dāng)時，有兩個不同的根滿足；當(dāng) 時有三個不同的根，滿足?，F(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：( i ）當(dāng)時，有兩個根，滿足。而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5 個零點(diǎn)。( 11 ）當(dāng)時，有三個不同的根，滿足。而有三個不同的根，故有9 個零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有5 個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有9 個零點(diǎn)。8 設(shè)aR，函數(shù)（），其中是自然對數(shù)的底數(shù)（） 判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性；（） 當(dāng)時，求函數(shù)在1，2上的最小值解： （） 2分由于, 只需討論函數(shù)的符號:當(dāng)a = 0時, ，即，函數(shù)在R上是減函數(shù)； 4分當(dāng)a>0時, 由于，可知，函數(shù)在R上是減函數(shù)； 6分當(dāng)a<

23、;0時, 解得，且在區(qū)間和區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)綜上可知：當(dāng)a0時，函數(shù)在R上是減函數(shù)；當(dāng)a<0時, 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)（） 當(dāng)時，,所以, 函數(shù)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，其最小值是9 已知函數(shù)（1）設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，求的值（2）若對任意實(shí)數(shù)恒成立，確定實(shí)數(shù)的取值范圍（3）當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直？若存在，求出的值，若不存在，說明理由解：（1）， 因此在處的切線的斜率為，又直線的斜率為， （）1， 1.（2）當(dāng)0時，恒成立， 先考慮0，此時，可為任意實(shí)數(shù)； 又當(dāng)0時，恒成立，則恒成立， 設(shè)，則，

24、當(dāng)(0,1)時，0，在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)(1,)時，0，在(1,)上單調(diào)遞減，故當(dāng)1時，取得極大值， 實(shí)數(shù)的取值范圍為 （3）依題意，曲線C的方程為，令，則設(shè)，則，當(dāng)，故在上的最小值為， 所以0，又，0，而若曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直，則0，矛盾。所以，不存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直.10 . 已知函數(shù)f(x)=x2xalnx (1)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍； (2)討論在定義域上的單調(diào)性； 解：由 恒成立,得:在時恒成立 當(dāng)時 -2分 當(dāng)時即，令 , -4分 時 ,在時為增函數(shù)， 在時為減函數(shù) -7分(2)解：f(x)=x2xalnx，f(x)=2x1=，x0（1）當(dāng)=

25、18a0，a時，f(x)0恒成立，f(x)在（0，+）上為增函數(shù)-9分（2）當(dāng)a時當(dāng)0a時， f(x)在上為減函數(shù)，f(x)在上為增函數(shù) -11分當(dāng)a=0時，f(x)在（0，1上為減函數(shù)，f(x)在1，）上為增函數(shù) -13分當(dāng)a0時，故f(x)在（0，上為減函數(shù)， f(x)在，）上為增函數(shù) - 11 . 已知函數(shù)，其中，且函數(shù)在上是減函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)（1）求函數(shù)，的表達(dá)式；（2）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 （3）求函數(shù)的最小值，并證明當(dāng)，時解：（1）對任意的恒成立，所以，所以；同理可得；（4分）（2），且函數(shù)在上是減函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)所以時， （6分）有條件得，；（8分）（3

26、），當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，在遞減，在遞增（12分）當(dāng)時，；，所以，時成立；（16分）12 已知是實(shí)數(shù)，函數(shù). 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 設(shè)g(x)為f(x)在區(qū)間上的最小值.（i）寫出g(a)的表達(dá)式；（ii）求的取值范圍，使得.解：函數(shù)的定義域?yàn)?，（?（2分）若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間 （3分）若，令，得，當(dāng)時，當(dāng)時， （5分）有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間 （6分）解:(i)若，在上單調(diào)遞增，所以 （7分）若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以 （9分）若，在上單調(diào)遞減，所以 （10分）綜上所述， （12分）（ii）令若，無解 （13分）若，解得 （14分）若，解得 （15分）故的取值范圍為 （1

27、6分）13 . 設(shè)常數(shù)，函數(shù).（1） 令，求的最小值，并比較的最小值與零的大??；（2） 求證：在上是增函數(shù)；（3）求證：當(dāng)時，恒有解（）， ， 2分，令，得， 4分列表如下：20極小值在處取得極小值，即的最小值為 6分，又， 8分證明（）由（）知，的最小值是正數(shù)，對一切，恒有， 10分從而當(dāng)時，恒有， 11分故在上是增函數(shù) 12分證明（）由（）知：在上是增函數(shù)， 當(dāng)時， 13分 又， 14分，即， 15分故當(dāng)時，恒有 1614 已知函數(shù)，若曲線和曲線都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線（）求，的值（）若2時，求的取值范圍?！窘馕觥浚ǎ┯梢阎?，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分（）由

28、（）知，設(shè)函數(shù)=（），=，有題設(shè)可得0，即，令=0得，=，=2，（1）若，則20，當(dāng)時，0，當(dāng)時，0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而=0，當(dāng)2時，0，即恒成立，(2)若，則=，當(dāng)2時，0，在(2,+)單調(diào)遞增，而=0，當(dāng)2時，0，即恒成立，(3)若，則=0，當(dāng)2時，不可能恒成立 綜上所述，的取值范圍為1,.15 已知函數(shù)f (x ) = - ln(x + m)（）設(shè)x = 0是f (x )的極值點(diǎn)，求m，并討論f (x )的單調(diào)性；（）當(dāng)m 2時，證明f (x ) > 0 .【解】（）f '(x ) = - x = 0是f (x )的極值點(diǎn) f '(0) =

29、 0 m = 1.此時，f '(x ) = - 在(-1, +)上是增函數(shù)，又知f '(0) = 0，所以x (-1, 0)時, f '(x ) < 0；x (0, +)時, f '(x ) > 0.所以f (x )在(-1, 0)上是減函數(shù)，在(0, +) 上是增函數(shù).（）如圖所示，當(dāng)m 2時，x + 1x + m - 1只需證明x + 1，且ln(x + m) x + m - 1再指出“=”不能成立即可.設(shè)g (x ) = - (x +1)，g '(x ) = - 1x1 = 0是g (x )的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即g (x ) g

30、(0) = 0 x + 1設(shè)h (x ) = ln(x + m) - (x + m - 1)h '(x ) = - 1x2 = 1- m是h (x )的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即g (x ) h (1- m) = 0 ln(x + m) x + m - 1ln(x + m) f (x ) 0，“=”成立的條件是：x1 = x2 且x + 1 = x + m - 1即m =1且m =2（矛盾） 所以f (x ) > 016. 已知函數(shù)（）若在處取得極值，求的值；（）求函數(shù)在上的最大值解：（）， 函數(shù)的定義域?yàn)?在處取得極值，即， 當(dāng)時，在內(nèi)，在內(nèi)，是函數(shù)的極小值點(diǎn) （2） ， x，

31、 ，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時， 在單調(diào)遞增， ； 當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，； 當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減， 綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值是； 當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值是；當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值是17 . 已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）為何值時，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).解：（1） -2分令若，則，的遞增區(qū)間是；-3分若，則方程的兩根，當(dāng)時，的遞增區(qū)間是 -5分若且，即時，方程的兩根，此時的遞增區(qū)間為和若且即時此時的遞增區(qū)間為 -8分綜上略（2）問題等價于方程=0在上有實(shí)根，而=0，令， -10分再令，則當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時，取得唯一的極大值也是的最大值當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減當(dāng)時

32、，故當(dāng)時，函數(shù)在上有零點(diǎn). -14分18 已知函數(shù)的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是（）求函數(shù)的解析式； （）設(shè)函數(shù)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量x的值 解：（）由已知，切點(diǎn)為（2，0）故有=0，即4b+c+3=0 .，由已知.得 . 聯(lián)立、，解得c=1,b=1于是函數(shù)解析式為 .4分（） ，令當(dāng)函數(shù)有極值時，0，方程有實(shí)根，由=4（1m）0，得m 1當(dāng)m=1時，有實(shí)根，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值。m 1時，有兩個實(shí)根，當(dāng)x變化時，、的變化情況如下表：故在m時，函數(shù)有極值：當(dāng)時有極大值；當(dāng)時有極大值。12分19 . 已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實(shí)常數(shù)).(1) 若a=2，求證：函數(shù)f(x)在(1，+)上是增函數(shù)； (2) 求函數(shù)f(x)在1，e上的最小值及相應(yīng)的x值；