第十一章馬氏鏈模型-清華大學(xué)數(shù)學(xué)模型電子教案

1、第十一章第十一章 馬氏鏈模型馬氏鏈模型11.1 健康與疾病健康與疾病11.2 鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售的存貯策略11.3 基因遺傳基因遺傳11.4 等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)馬氏鏈模型馬氏鏈模型 系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的 從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移 下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率 已知現(xiàn)在，將來(lái)與過(guò)去無(wú)關(guān)（無(wú)后效性）已知現(xiàn)在，將來(lái)與過(guò)去無(wú)關(guān)（無(wú)后效性）描述一類重要的描述一類重要的隨機(jī)動(dòng)態(tài)隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（過(guò)程）的模型系統(tǒng)（過(guò)程）的模型馬氏鏈馬氏鏈 (Markov Chain)

2、時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程通過(guò)有實(shí)際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)通過(guò)有實(shí)際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)例例1. 人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對(duì)特人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對(duì)特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為為0.8, 而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，11.1 健康與疾病健康與疾病 人的健康狀態(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變?nèi)说慕】禒顟B(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變 保險(xiǎn)公司要對(duì)投保人未來(lái)的健康狀態(tài)作出估計(jì)保險(xiǎn)公

3、司要對(duì)投保人未來(lái)的健康狀態(tài)作出估計(jì), 以制以制訂保險(xiǎn)金和理賠金的數(shù)額訂保險(xiǎn)金和理賠金的數(shù)額 若某人投保時(shí)健康若某人投保時(shí)健康, 問(wèn)問(wèn)10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率年后他仍處于健康狀態(tài)的概率, 1 , 0, 2 , 1,),(1njiiXjXPpnnij轉(zhuǎn)移概率Xn+1只取決于只取決于Xn和和pij, 與與Xn-1, 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)8 . 011p2 . 011112pp7 . 021p3 . 012122pp年疾病第年健康第狀態(tài)nnXn, 2, 1, 1 , 0, 2 , 1),()(niiXPnani狀態(tài)概率狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性有無(wú)后效性 2121111)()

4、() 1(pnapnana0.72221212)()() 1(pnapnana n 0a2(n) 0 a1(n) 1設(shè)投保設(shè)投保時(shí)健康時(shí)健康給定給定a(0), 預(yù)測(cè)預(yù)測(cè) a(n), n=1,2設(shè)投保設(shè)投保時(shí)疾病時(shí)疾病a2(n) 1 a1(n) 0 n時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)22212122121111)()()1()()()1(pnapnanapnapnana3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.33 0.333 7/9 2/9 狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移120.

5、80.221230.10.080.65例例2. 健康和疾病狀態(tài)同上，健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1 健康健康, Xn=2 疾病疾病333232131332322212123132121111)()()()1()()()()1()()()()1(pnapnapnanapnapnapnanapnapnapnanap11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡為第死亡為第3種狀態(tài)，記種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病健康與疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 n 0

6、 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài)，預(yù)測(cè)設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài)，預(yù)測(cè) a(n), n=1,2 不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3 ； 一旦一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 則對(duì)于則對(duì)于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即從狀態(tài)即從狀態(tài)3不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移001 50 0.1293 0.0326 0.8381 ,

7、1 , 0, 2 , 1),()(nkiiXPnani狀態(tài)概率)(1iXjXPpnnij轉(zhuǎn)移概率), 1 , 0(, 2 , 1nkXn狀態(tài)馬氏鏈的基本方程馬氏鏈的基本方程1)(1nakiikippkjijij, 2 , 1, 1, 01）（非負(fù)，行和為轉(zhuǎn)移概率矩陣1kkijpPPnana)()1(kipnanakjjiji,2, 1,)()1(1基本方程基本方程狀態(tài)概率向量)(,),(),()(21nanananaknPana)0()(wwPw滿足馬氏鏈的兩個(gè)重要類型馬氏鏈的兩個(gè)重要類型 1. 正則鏈正則鏈 從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)（如例

8、能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)（如例1）。）。0,NPN正則鏈Pnana)() 1()()(,nwnaw正則鏈3 . 07 . 02 . 08 . 0. 1 P例)9/2 , 9/7(w2211213 . 02 . 07 . 08 . 0wwwwww11kiiww滿足121ww217 . 02 . 0ww w 穩(wěn)態(tài)概率穩(wěn)態(tài)概率QRIPrr0馬氏鏈的兩個(gè)重要類型馬氏鏈的兩個(gè)重要類型 2. 吸收鏈吸收鏈 存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離開(kāi)的狀態(tài)開(kāi)的狀態(tài)i, pii=1）,且且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)（如例限次轉(zhuǎn)移能以正概

9、率到達(dá)吸收狀態(tài)（如例2）。）。有有r個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非有非零元素零元素01)(ssQQIMTe)1 , 1 , 1 (Meyyyyrk),(21yi 從第從第 i 個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個(gè)個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個(gè)吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。11.2 鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售的存貯策略 鋼琴銷售量很小，商店的庫(kù)存量不大以免積壓資金鋼琴銷售量很小，商店的庫(kù)存量不大以免積壓資金 一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，平均每周的鋼琴需求為一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，平均每周的鋼琴需求為1架架存貯策略存貯策略：每周末檢查庫(kù)存量，

10、僅當(dāng)庫(kù)存量為零時(shí)，：每周末檢查庫(kù)存量，僅當(dāng)庫(kù)存量為零時(shí)，才訂購(gòu)才訂購(gòu)3架供下周銷售；否則，不訂購(gòu)。架供下周銷售；否則，不訂購(gòu)。 估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大，估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。以及每周的平均銷售量是多少。 背景與問(wèn)題背景與問(wèn)題問(wèn)題分析問(wèn)題分析 顧客的到來(lái)相互獨(dú)立，需求量近似服從波松分布，其顧客的到來(lái)相互獨(dú)立，需求量近似服從波松分布，其參數(shù)由需求均值為每周參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計(jì)算需求概率架確定，由此計(jì)算需求概率 存貯策略是周末庫(kù)存量為零時(shí)訂購(gòu)存貯策略是周末庫(kù)存量為零時(shí)訂購(gòu)3架架 周末的庫(kù)存周末的庫(kù)存量可能是量可能是

11、0, 1, 2, 3，周初的庫(kù)存量可能是，周初的庫(kù)存量可能是1, 2, 3。用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫(kù)存狀態(tài)的變化。用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫(kù)存狀態(tài)的變化。動(dòng)態(tài)過(guò)程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會(huì)（需求動(dòng)態(tài)過(guò)程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會(huì)（需求超過(guò)庫(kù)存）的概率不同。超過(guò)庫(kù)存）的概率不同。 可按穩(wěn)態(tài)情況（時(shí)間充分長(zhǎng)以后）計(jì)算失去銷售機(jī)可按穩(wěn)態(tài)情況（時(shí)間充分長(zhǎng)以后）計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量。會(huì)的概率和每周的平均銷售量。 模型假設(shè)模型假設(shè) 鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周1架架 存貯策略存貯策略：當(dāng)周末庫(kù)存量為零時(shí)，訂購(gòu)：當(dāng)周末

12、庫(kù)存量為零時(shí)，訂購(gòu)3架，周架，周初到貨；否則，不訂購(gòu)。初到貨；否則，不訂購(gòu)。 以每周初的庫(kù)存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有以每周初的庫(kù)存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性。無(wú)后效性。 在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算該存貯策略失去銷售機(jī)會(huì)的概在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算該存貯策略失去銷售機(jī)會(huì)的概率，和每周的平均銷售量。率，和每周的平均銷售量。 模型建立模型建立 Dn第第n周需求量，均值為周需求量，均值為1的波松分布的波松分布 )2 , 1 , 0(!/)(1kkekDPnSn第第n周初庫(kù)存量周初庫(kù)存量(狀態(tài)變量狀態(tài)變量 )狀態(tài)轉(zhuǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律移規(guī)律 nnnnnnnSDSDDSS, 3,1368. 0)0() 11(111n

13、nnDPSSPp0) 12(112nnSSPp632. 0) 1() 13(113nnnDPSSPp3 , 2 , 1nSDn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0333231232221131211pppppppppP狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣 448. 0) 3() 0() 33(133nnnnDPDPSSPp 模型建立模型建立 Pnana)()1(3 , 2 , 1),()(iiSPnani狀態(tài)概率狀態(tài)概率 )452. 0 ,263. 0 ,285. 0

14、(),(321wwww馬氏鏈的基本方程馬氏鏈的基本方程448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0P正則鏈正則鏈 穩(wěn)態(tài)概率分布穩(wěn)態(tài)概率分布 w 滿足滿足 wP=w已知初始狀態(tài)，可預(yù)測(cè)第已知初始狀態(tài)，可預(yù)測(cè)第n周初庫(kù)存量周初庫(kù)存量Sn=i 的概率的概率0,NPN正則鏈02Pn , 狀態(tài)概率狀態(tài)概率 )452. 0 ,263. 0 ,285. 0()(na第第n周失去銷售機(jī)會(huì)的概率周失去銷售機(jī)會(huì)的概率 )(nnSDPn充分大時(shí)充分大時(shí) inwiSP )(模型求解模型求解 105. 0452. 0019. 0263. 0080. 0285. 02

15、64. 0從長(zhǎng)期看，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性大約從長(zhǎng)期看，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性大約 10%。1. 估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性)()(31iSPiSiDPninnD 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019321) 3() 2() 1(wDPwDPwDP)452. 0 ,263. 0 ,285. 0(w模型求解模型求解 第第n周平周平均售量均售量),(311innijniSjDPjR857. 0452. 0977. 0263. 0896. 0285. 0632. 0)( )()(311iSPiSiDiPiSjDPj

16、ninnnnij 從長(zhǎng)期看，每周的平均銷售量為從長(zhǎng)期看，每周的平均銷售量為 0.857(架架) n充分大時(shí)充分大時(shí) inwiSP )(需求不超過(guò)存量需求不超過(guò)存量,銷售需求銷售需求需求超過(guò)存量需求超過(guò)存量,銷售存量銷售存量 思考：為什么這個(gè)數(shù)值略小于每周平均需求量思考：為什么這個(gè)數(shù)值略小于每周平均需求量1(架架) ?2. 估計(jì)這種策略下每周的平均銷售量估計(jì)這種策略下每周的平均銷售量),(iSiDiPnn敏感性分析敏感性分析 當(dāng)平均需求在每周當(dāng)平均需求在每周1 (架架) 附近波附近波動(dòng)時(shí)，最終結(jié)果有多大變化。動(dòng)時(shí)，最終結(jié)果有多大變化。 設(shè)設(shè)Dn服從均值為服從均值為 的波松分布的波松分布 )2 ,

17、 1 , 0(, !/)(kkekDPkneeeeeeeeP) 2/(12/)1 (11022狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣 1.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第第n周周(n充分大充分大)失去銷售機(jī)會(huì)的概率失去銷售機(jī)會(huì)的概率 )(nnSDPP當(dāng)平均需求增長(zhǎng)（或減少）當(dāng)平均需求增長(zhǎng)（或減少）10%時(shí)，失去銷售時(shí)，失去銷售機(jī)會(huì)的概率將增長(zhǎng)（或減少）約機(jī)會(huì)的概率將增長(zhǎng)（或減少）約12% 。11.3 基因遺傳基因遺傳背景背景 生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定。生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定。 基因分優(yōu)勢(shì)基因基因分優(yōu)勢(shì)基因d 和劣勢(shì)基因和劣勢(shì)基因r 兩種。兩種

18、。 每種外部表征由兩個(gè)基因決定，每個(gè)基因可以是每種外部表征由兩個(gè)基因決定，每個(gè)基因可以是d, r 中的任一個(gè)。形成中的任一個(gè)。形成3種基因類型：種基因類型：dd 優(yōu)種優(yōu)種D, dr 混種混種H, rr 劣種劣種R。 基因類型為優(yōu)種和混種基因類型為優(yōu)種和混種, 外部表征呈優(yōu)勢(shì)；基因外部表征呈優(yōu)勢(shì)；基因類型為劣種類型為劣種, 外部表征呈劣勢(shì)外部表征呈劣勢(shì)。生物繁殖時(shí)后代隨機(jī)地（等概率地）繼承父、母的生物繁殖時(shí)后代隨機(jī)地（等概率地）繼承父、母的各一個(gè)基因，形成它的兩個(gè)基因。父母的基因類型各一個(gè)基因，形成它的兩個(gè)基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率。決定后代基因類型的概率。完全完全優(yōu)勢(shì)優(yōu)勢(shì)基因基

19、因遺傳遺傳父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合父母基因類型組合后代各種后代各種基因類型基因類型 的概率的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011 / 21 / 200101 / 41 / 21 / 401 / 21 / 23種基因類型：種基因類型：dd優(yōu)種優(yōu)種D, dr混種混種H, rr劣種劣種R完全優(yōu)勢(shì)基因遺傳完全優(yōu)勢(shì)基因遺傳P(D DH)=P(dd dd,dr)=P(d dd)P(d dr)P(R HH)=P(rr dr,dr)=P(r dr)P(r dr)=1 1/2=1/2=1/2 1/2=1/4隨機(jī)繁殖隨機(jī)繁殖 設(shè)群體中

20、雄性、雌性的比例相等，基因類設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作型的分布相同（記作D:H:R） 每一雄性個(gè)體以每一雄性個(gè)體以D:H:R的概率與一雌性個(gè)體交配，的概率與一雌性個(gè)體交配，其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個(gè)基因其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個(gè)基因 設(shè)初始一代基因類型比例設(shè)初始一代基因類型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 記記p=a+b, q=b+c, 則群體中優(yōu)勢(shì)基因和則群體中優(yōu)勢(shì)基因和劣勢(shì)基因比例劣勢(shì)基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。假設(shè)假設(shè)建模建模狀態(tài)狀態(tài)Xn=1,2,3 第第n代的一個(gè)體屬于代的一個(gè)體屬于D, H, R狀態(tài)概率狀態(tài)概率 ai

21、(n) 第第n代的一個(gè)體屬于狀態(tài)代的一個(gè)體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。的概率。討論基因類型的演變情況討論基因類型的演變情況)()(1父基因類型后代基因類型iXjXPpnnijpddXddXPpnn)1)( 1(111）（父為后代為基因比例基因比例 d:r=p:qqddXdrXPpnn)1)(2(112）（父為后代為0)1)(3(113）（父為后代為ddXrrXPpnn2/2/ 1)2)( 1(121ppdrXddXPpnn）（父為后代為2/12/12/1)2)(2(122qpdrXdrXPpnn）（父為后代為qpqpqpP02/2/ 12/0轉(zhuǎn)移概率矩陣轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概

22、率隨機(jī)繁殖隨機(jī)繁殖),2 ,()1 ()2(),2 ,()0()1 (2222qpqpPaaqpqpPaa12,cbacbqbap馬氏鏈模型馬氏鏈模型, 1 , 0,)() 1(nPnana),2 ,()0(cbaaqpqpqpP02/2/ 12/0),2 ,()0(22qpqpwPwa任意，穩(wěn)態(tài)分布自然界中通常自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為基因類型為D和和H, 優(yōu)勢(shì)表征優(yōu)勢(shì)表征綠色，綠色，基因類型為基因類型為R, 劣勢(shì)表征劣勢(shì)表征黃色。黃色。解釋解釋“豆科植物的莖，綠色豆科植物的莖，綠色:黃色黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機(jī)繁殖

23、隨機(jī)繁殖近親近親繁殖繁殖在一對(duì)父母的大量后代中在一對(duì)父母的大量后代中, 雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖，雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過(guò)程。討論一系列后代的基因類型的演變過(guò)程。狀態(tài)定義為配對(duì)的基因類型組合狀態(tài)定義為配對(duì)的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6配對(duì)基因組合為配對(duì)基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率1) (111DDXDDXPpnn4/12/12/1) (131DHXDDXPpnn2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 1000010000001P馬氏鏈模型馬氏鏈

24、模型TMey654,325,326,6543/ 83/ 46/ 13/ 23/ 43/ 83/ 13/ 43/ 43/ 83/ 43/ 43/ 23/ 46/ 13/ 8)(1QIM2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 1000010000001PI0RQ狀態(tài)狀態(tài)1(DD), 2(RR)是吸收態(tài)，是吸收態(tài)，馬氏鏈?zhǔn)俏真滖R氏鏈?zhǔn)俏真湶徽摮醪徽摮跏既绾危?jīng)若干代近親繁殖，始如何，經(jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計(jì)算從任一非吸收態(tài)計(jì)算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過(guò)幾代出發(fā)，平均經(jīng)過(guò)幾代被吸收

25、態(tài)吸收。被吸收態(tài)吸收。純種純種(優(yōu)種和劣種優(yōu)種和劣種)的的某些品質(zhì)不如混種，某些品質(zhì)不如混種，近親繁殖下大約近親繁殖下大約56代就需重新選種代就需重新選種.近親繁殖近親繁殖11.4 等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)社會(huì)系統(tǒng)中的等級(jí)結(jié)構(gòu)，適當(dāng)、穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的意義社會(huì)系統(tǒng)中的等級(jí)結(jié)構(gòu)，適當(dāng)、穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的意義描述等級(jí)結(jié)構(gòu)的演變過(guò)程，預(yù)測(cè)未來(lái)的結(jié)構(gòu)；描述等級(jí)結(jié)構(gòu)的演變過(guò)程，預(yù)測(cè)未來(lái)的結(jié)構(gòu)；確定為達(dá)到某個(gè)理想結(jié)構(gòu)應(yīng)采取的策略。確定為達(dá)到某個(gè)理想結(jié)構(gòu)應(yīng)采取的策略。引起等級(jí)結(jié)構(gòu)變化的因素：引起等級(jí)結(jié)構(gòu)變化的因素： 系統(tǒng)內(nèi)部等級(jí)間的轉(zhuǎn)移：提升和降級(jí)；系統(tǒng)內(nèi)部等級(jí)間的轉(zhuǎn)移：提升和降級(jí)； 系統(tǒng)內(nèi)外的交流：調(diào)入和退出系統(tǒng)內(nèi)外的交流：調(diào)入

26、和退出(退休、調(diào)離等退休、調(diào)離等).用馬氏鏈模型描述確定性轉(zhuǎn)移問(wèn)題用馬氏鏈模型描述確定性轉(zhuǎn)移問(wèn)題 轉(zhuǎn)移比例視為概率轉(zhuǎn)移比例視為概率年總?cè)藬?shù)ttntNkii1)()()()()(tNtntaii基本模型基本模型1)(, 0)(1tatakiiia(t)等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)等級(jí) i=1,2,k（如助教、講師、教授）（如助教、講師、教授）數(shù)量分布數(shù)量分布 n(t)=(n1(t), n2(t), nk(t)ni(t) t 年屬于等級(jí)年屬于等級(jí)i 的人數(shù)，的人數(shù)， t =0,1, 比例分布比例分布 a(t)=(a1(t), a2(t), ak(t)轉(zhuǎn)移矩陣轉(zhuǎn)移矩陣 Q=pijk k, pij 是每年從是

27、每年從i 轉(zhuǎn)至轉(zhuǎn)至j 的比例的比例的比例每年調(diào)入調(diào)入比例irrrrrik),(21年退出總?cè)藬?shù)twtntnwtWkiTii)()()(1退出的比例每年從，退出比例iwwwwwik),(21基本模型基本模型kiwprrwpkjiijkiiiiij, 1, 11,0,11的人數(shù)年調(diào)入年調(diào)入總?cè)藬?shù)，ittRrttRi)()()()()() 1(tWtRtNtN總?cè)藬?shù))()() 1(1tRrtnptnjkijiijj人數(shù)等級(jí)基本模型基本模型1111kjiijkiiwpr)(tnwjjrtRQtntn)()() 1()()()()()(tMwtntMtWtRT)() 1()(tNtNtM總?cè)藬?shù)增量rtM

28、rwQtntnT)()()1()(,)(,)()(tRrtWwpQtNtnij調(diào)入退出轉(zhuǎn)移總?cè)藬?shù)分布 基本模型基本模型)(),0(),(,tnntMrwQ可預(yù)測(cè)已知 rwQPTrtMPtntn)()()1(基本模型基本模型rtMrwQtntnT)()()1(1, 1,11kiikjiijijrwppQ（隨機(jī)矩陣）的行和為1P0)() 1()(tNtNtM若總?cè)藬?shù)不變)()() 1(rwQtaPtataT等級(jí)結(jié)構(gòu)一致與馬氏鏈基本方程Pnana)()1(等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)a(t) 狀態(tài)概率狀態(tài)概率P轉(zhuǎn)移概率矩陣轉(zhuǎn)移概率矩陣.),()(1為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)稱，使若存在kTaaarwQaarkiiirrr11,

29、 0應(yīng)滿足用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制rwQPTPtata)()1(1,1kjiijijwppQ問(wèn)題：給定問(wèn)題：給定Q, 哪些等級(jí)結(jié)構(gòu)可哪些等級(jí)結(jié)構(gòu)可以用合適的調(diào)入比例保持不變以用合適的調(diào)入比例保持不變)(rwQaaTkiir11可驗(yàn)證0raQaTawaQara為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)aaQa8 . 0003 . 06 . 0004 . 05 . 0Q用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制323212118 . 03 . 06 . 04 . 05 . 0aaaaaaaaaQa求穩(wěn)定結(jié)構(gòu)求穩(wěn)定結(jié)構(gòu) a=(a1,a2,a3) (a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0

30、)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)5 . 1:1:1:5 . 13212312aaaaaaa交點(diǎn)與a*穩(wěn)定域穩(wěn)定域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行域可行域A例例 大學(xué)教師大學(xué)教師(助教、講師、教授助教、講師、教授)等級(jí)等級(jí) i=1,2,3，已知每年轉(zhuǎn)移比例，已知每年轉(zhuǎn)移比例)428. 0 ,286. 0 ,286. 0(*a23125 . 1 aaaa)0, 1,0(1iikiieerr記kjijiikiiimiMmmmmiM121),(行元素和的第記行的第記ikikiiiimrMerrM11用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制研究穩(wěn)定域研究穩(wěn)定域B

31、的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)rMawaT)(為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)aaQa尋求尋求a aQ 的另一種形式的另一種形式)(rwQaaTTawaQar1)(QIM對(duì)行求和rMawaT)(11)(kiiiTrawkiiikiiirmra11用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制kiiisba100iibr.1, 01是穩(wěn)定結(jié)構(gòu)時(shí)且的線性組合，為系數(shù)的能表為以當(dāng)abbsbakiiiii穩(wěn)定域是穩(wěn)定域是k維空間中以維空間中以 si 為頂點(diǎn)的凸多面體為頂點(diǎn)的凸多面體研究穩(wěn)定域研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)kjjjiiirrb1iiimskiib11可驗(yàn)證kiiikiiirmra11用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制8 . 0003 . 06 . 0004 . 05 . 0Q例例50075. 35 . 20322)(1QIMiiijijiiiiimsmimmm