培優(yōu)提升立體幾何1

1、第五講立體幾何、長方體和正方體如右圖，長方體共有六個面 （每個面都是長方形），八個頂點，十二條棱. 在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等.（疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形.） 長方體的表面積和體積的計算公式是：長方體的表面積：S長方體=2（ab bc ' ca）;長方體的體積：V長方體二abc . 正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形.23如果它的棱長為a，那么：S正方體=6a , V正方體=a .、圓柱與圓錐立體圖形1表面積體積廠f、h圓柱二-:S圓柱=側(cè)面積+2個底面積 =2nh+2n2V圓柱=n h圓錐.一-_S圓錐=側(cè)面積+

2、底面積=n2 + n2360注：1是母線，即從頂點到底面圓上的線段 長1 2V圓錐體=一 n h3【例1】 如右圖，在一個棱長為 10的立方體上截取一個長為 8,寬為3，高為2的小長方 體，那么新的幾何體的表面積是多少？【解析】我們從三個方向（前后、左右、上下）考慮，新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：10 10 6=600.【例2】右圖是一個邊長為 4厘米的正方體，分別在前后、左右、上 下各面的中心位置挖去一個邊長I厘米的正方體，做成一種玩具.它的表面積是多少平方厘米 ？（圖中只畫出了前面、 右 面、上面挖去的正方體）【解析】原正方體的表面積是 4 4 6 =96（平方厘米）.每一個面被挖

3、去一個邊長是1厘米的正方形，同時又增加了 5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分總的來看，每一個面都增加了4個邊長是1厘米的正方形.從而，它的表面積是：96 4 6 =120平方厘米.【鞏固】在一個棱長為 50厘米的正方體木塊，在它的八個角上各挖去一個棱長為5厘米的小正方體，問剩下的立體圖形的表面積是多少？【解析】對于和長方體相關(guān)的立體圖形表面積，一般從上下、左右、前后3個方向考慮.變化前后的表面積不變：50 50 6 = 15000（平方厘米）.【例3】下圖是一個棱長為 2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長為 1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長

4、 為丄厘米的正方形小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個相2同為1厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘4 米？【解析】我們?nèi)匀粡?個方向考慮.平行于上下表面的各面面積之和：2 2 2 =8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2 2 4=16（平1 1方厘米），1 1 4=4（平方厘米），4=1（平方厘米），2 211111- -4 = 1 （平方厘米），這個立體圖形的表面積為：8 16 4 V - = 29-（平4 4444方厘米）【例4】一個正方體木塊， 棱長是1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?2片，每片又鋸成3長條， 每條又鋸成4小塊，共得到大大小小的長方體24塊，那么這24塊長方體的表

5、面積之和是多少？【解析】鋸一次增加兩個面，鋸的總次數(shù)轉(zhuǎn)化為增加的面數(shù)的公式為：鋸的總次數(shù)2二增加的面數(shù).原正方體表面積：1 1 6=6（平方米），一共鋸了（2-1） * （3-1廠（4-1） =6次， 6 112 6=18（平方米）.【鞏固】（2008年走美六年級初賽）一個表面積為56cm2的長方體如圖切成 27個小長方體， 這27個小長方體表面積的和是 cm2 .【解析】每一刀增加兩個切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個表面積，所以每個方向2 切兩刀后，表面積增加到原來的3倍，即表面積的和為 56 3 = 168(cm ).25塊積木【例5】如圖，25塊邊長為1的正方體積木拼成一個幾何體，

6、表面積最小是多少?【解析】當小積木互相重合的面最多時表面積最小設(shè)想27塊邊長為1的正方形積木，當拼成一個 3 3 3的正方體時，表面積最小， 現(xiàn)在要去掉2塊小積木，只有在兩個角上各去掉一塊小積木，或在同一個角去掉兩塊相鄰的積木時，表面積不會增加，該幾何體表面積為54.【例6】要把12件同樣的長a、寬b、高h的長方體物品拼裝成一件大的長方體，使打包 后表面積最小，該如何打包？當b =2h時，如何打包？當b：2h時，如何打包？當b 2h時，如何打包？【解析】圖2和圖3正面的面積相同，側(cè)面面積=正面周長長方體長，所以正面的周長愈大表面積越大，圖 2的正面周長是 8h 6b，圖3的周長是12h 4b兩者的周長之 差為 2 ( b -2h).當b =2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包；當 b - 2h時，按圖2打包；當 b 2h時，按圖3打包【鞏固】要把 6件同樣的長17、寬7、高3的長方體物品拼裝成一件大的長方體，表面積 最小是多少？【解析】考慮所有的包裝方法，因為 6=1 2 3,所以一共有兩種拼接方式：第一種按長寬高1 1 6拼接，重疊面有