高三數(shù)學(xué)解題方法談：數(shù)學(xué)結(jié)合思想應(yīng)用指南

1、數(shù)學(xué)結(jié)合思想應(yīng)用指南數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式綜合起來加以考察的思想恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的對象，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，可以啟發(fā)思維，找到解題之路；在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀那么，如何能更好的

2、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想呢？我們要注意做到以下幾點一、善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，是掌握數(shù)形結(jié)合思想的重要步驟例1函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是（）（A）（B）（C）（D）解析：對函數(shù)的圖象做深入的觀察，可知，若直線通過這一曲線的一個最高點或最低點，則它必為曲線的一條對稱軸因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，易得時，故選（C）注意：要善于觀察圖形，發(fā)現(xiàn)基本性質(zhì)如本題若不能很好的掌握函數(shù)的圖象性質(zhì)，而機械的畫出函數(shù)的圖象及其對稱軸，雖然也可以做對，但卻浪費了寶貴的時

3、間二、正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系觀察圖形，借助圖形來解決某些問題時，既要定性也要定量，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系例2問：圓上到直線的距離為的點共有（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個解析：到定直線的距離為的點的軌跡是平行于的兩條直線因此，問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數(shù)將圓的方程變形為：，知其圓心是，半徑，而圓心到定直線的距離為，由此判定平行于直線且距離為的兩條直線中，一條通過圓心，另一條與圓相切，所以這兩條直線與圓共有3個交點（如圖1）故選（C）注意：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結(jié)合起來，只有所畫示意圖準(zhǔn)確，才能充分發(fā)揮

4、圖形的判定作用三、以圖識性，切實把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，熟知這些對應(yīng)關(guān)系，溝通兩者之間的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的聯(lián)系，以求相輔相成，相互轉(zhuǎn)化例3如圖2，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，是圓錐形漏斗中液面下降的高度，則與下落時間（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）解析：由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以與的關(guān)系不是（B）中所示，下落時間越大，液面下降的高度應(yīng)越大，這種變化趨勢應(yīng)是越來越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）四、靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入不等式（或方程）的圖象，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結(jié)果在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的最充分的內(nèi)容是解析幾何此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想例4已知直線和雙曲線只有一個公共點，則k的不同取值有（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個解析：如圖3，的圖象是過定點的直線系，雙曲線的漸近線方程為故過點且和漸近線平