第八章磁場能量

1、8.1 自感磁能自感磁能8.2 互感磁能互感磁能8.3 磁能和磁能密度磁能和磁能密度*8.4 非線性介質(zhì)及磁滯損耗非線性介質(zhì)及磁滯損耗8.5 利用磁能求磁力利用磁能求磁力第八章、磁場能量第八章、磁場能量特斯拉特斯拉(Nikola Tesla(Nikola Tesla，185618561943)1943) 本章闡述的方式與第三章本章闡述的方式與第三章幾乎相同幾乎相同，讀者可以讀者可以通過對(duì)比通過對(duì)比去學(xué)習(xí)和掌握本章去學(xué)習(xí)和掌握本章的內(nèi)容。的內(nèi)容。電流從電流從0I的過程中，的過程中，電源克服自感電動(dòng)勢所做的總功：電源克服自感電動(dòng)勢所做的總功：tILLdd 在回路系統(tǒng)中通以在回路系統(tǒng)中通以電流電流時(shí)

2、，由于各回路時(shí)，由于各回路自感自感和和互感互感作用，作用，電源電源必須提供能量用以克服必須提供能量用以克服自感電動(dòng)勢自感電動(dòng)勢和和互感電動(dòng)勢互感電動(dòng)勢而而作功作功。這這功功最后轉(zhuǎn)化為最后轉(zhuǎn)化為載流回路載流回路的的能量能量和和回路電流間回路電流間的的相互作用能相互作用能，也就是也就是磁場的能量磁場的能量。電源電源克服自感電動(dòng)勢克服自感電動(dòng)勢所做的所做的元功元功：自感電動(dòng)勢：自感電動(dòng)勢：8.1 8.1 自感磁能自感磁能IR KL由能量守恒：由能量守恒：自感儲(chǔ)能公式自感儲(chǔ)能公式圖圖8.1 R8.1 R、L L串聯(lián)串聯(lián)2LL0001dAd2ILdIAIdtLIdtLI ILIdtdAdLLI t221

3、WLIL1W2LmI 如圖，在建立電流過程中，電如圖，在建立電流過程中，電源除了供給線圈中產(chǎn)生源除了供給線圈中產(chǎn)生焦耳熱的能焦耳熱的能量量和和抵抗自感電動(dòng)勢抵抗自感電動(dòng)勢作功作功外，還要外，還要抵抗抵抗互感電動(dòng)勢互感電動(dòng)勢作功作功為為 ，即，即MA1212 121 200MAAAi dti dt 1 2MWMI I故互感磁能為故互感磁能為1 12 2I1I22112 121 21 200dididM iM idtMiidtdtdtdt1 21 21 20I IMd iiMI I圖圖8.2 8.2 互感線圈互感線圈8.2 8.2 互感磁能互感磁能兩個(gè)相鄰的載流線圈所儲(chǔ)存的總磁能為兩個(gè)相鄰的載流線

4、圈所儲(chǔ)存的總磁能為12mLLMWWWW221 12 21 21122mWL IL IMI I 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，自感磁能自感磁能不可能是負(fù)值不可能是負(fù)值，但，但互感磁能互感磁能卻可卻可 是是負(fù)值負(fù)值。（為什么。（為什么? ?）211122kkmi iijijiijijWLIM I I，由此可推廣到由此可推廣到k k個(gè)線圈的個(gè)線圈的普遍情形普遍情形，即，即 將上述總磁能寫成對(duì)稱形式，即將上述總磁能寫成對(duì)稱形式，即221 12 212 1 221 1 211112222mWLIL IM I IM I I載流線圈在外磁場中磁能載流線圈在外磁場中磁能I IR R K KL L 例題例題8-18-1把

5、自感為把自感為2H，電阻為電阻為10的線圈，的線圈，連接到電動(dòng)勢連接到電動(dòng)勢=100V、內(nèi)阻可忽略不計(jì)的電池組內(nèi)阻可忽略不計(jì)的電池組上。求上。求電流達(dá)到最大值時(shí)電流達(dá)到最大值時(shí), ,線圈中所儲(chǔ)的磁能線圈中所儲(chǔ)的磁能Wm？從接通電路算起，經(jīng)過多長時(shí)間線圈中所從接通電路算起，經(jīng)過多長時(shí)間線圈中所儲(chǔ)磁能儲(chǔ)磁能 Wm達(dá)到的一半？達(dá)到的一半？在接通在接通0.1s時(shí)，磁場中時(shí)，磁場中儲(chǔ)存能量的增加率、線圈中的熱功率、電池組的儲(chǔ)存能量的增加率、線圈中的熱功率、電池組的輸出功率？輸出功率？解：解：電路中電流電路中電流1RtLIeR當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)max10010( )10tIIAR22112 10100( )22m

6、WLIJ 圖圖8.3 8.3 題題8-18-1用圖用圖設(shè)在設(shè)在 時(shí)，時(shí)，12mmttWW2211 1122 2RtLLeLRR100.120.1100111010 1 0.613.9( )RtLtIeeRA在接通在接通0.1s時(shí)時(shí)即即2110.247( )2RtLets在接通在接通0.1s時(shí)電流增加率時(shí)電流增加率10.1130.5()RRttLLtdIdeedtdtRLdIA sdt211238()2mdWddILILIJ sdtdtdt線圈中能量增加率則為線圈中能量增加率則為21152()152()RPI RJ sW線圈中熱功率則為線圈中熱功率則為電池組輸出功率則為電池組輸出功率則為1390

7、()390()PIJ sW證明證明 M12 = = M211)1) 先建立先建立 I1，這時(shí)，這時(shí)K 為斷開狀態(tài)為斷開狀態(tài); ;2)2) 再建立再建立 I2，此過程中調(diào)節(jié)，此過程中調(diào)節(jié)1, , 維持維持 I1 不變；不變；3)3) 在回路在回路 1 1 中中 產(chǎn)生互感電動(dòng)勢產(chǎn)生互感電動(dòng)勢則則4)4) 若與上述順序相反，先建立若與上述順序相反，先建立 I2，再建立，再建立 I1，且，且維持維持 I2 不變不變則則終態(tài)能量與建立順序無關(guān)，即終態(tài)能量與建立順序無關(guān)，即則得則得K1 12 21圖圖8.4 8.4 證明證明 M12 = M21NextNext2tIMdd22121212102121121

8、12ddIIMIIMtIAItIMdd1121212120121221221ddIIMIIMtIAI21mmWW1221MM2BnILn V以以通電螺繞環(huán)通電螺繞環(huán)為例，得到磁能與磁場的關(guān)系為例，得到磁能與磁場的關(guān)系對(duì)于通電螺繞環(huán)對(duì)于通電螺繞環(huán)21W2mLI用上式代入用上式代入得磁能：得磁能：2W2mBV上式表明：上式表明：磁能磁能與與磁感強(qiáng)度磁感強(qiáng)度B有關(guān)，還與磁場所有關(guān)，還與磁場所占體積占體積成正比成正比。即即磁能定域于磁場的整個(gè)體積磁能定域于磁場的整個(gè)體積。I I R圖圖8.5 8.5 通電螺繞環(huán)通電螺繞環(huán)8.3 8.3 磁能和磁能密度磁能和磁能密度磁能密度：磁能密度：磁場總能量磁場總能

9、量注意：注意：1.1.積分應(yīng)遍及積分應(yīng)遍及整個(gè)整個(gè)磁場分布的磁場分布的空間空間；2.2.磁能公式對(duì)于磁能公式對(duì)于鐵磁質(zhì)鐵磁質(zhì)不適用（為什么？）不適用（為什么？）; ;可證明，在普遍情況下，磁場中的可證明，在普遍情況下，磁場中的磁能密度磁能密度表達(dá)為表達(dá)為: :HBm212221212HBHBVWmm1dB Hd2mmVVWVV 4.4.對(duì)于對(duì)于兩個(gè)載流線圈兩個(gè)載流線圈同時(shí)存在時(shí)，不僅同時(shí)存在時(shí)，不僅要考慮要考慮自感磁能自感磁能，還要考慮，還要考慮互感磁能互感磁能。 3. 3. 對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)載流線圈載流線圈，利用，利用磁能關(guān)系式磁能關(guān)系式，提供了計(jì)算自，提供了計(jì)算自感感L L的另一種計(jì)算方法

10、的另一種計(jì)算方法式中前兩項(xiàng)分別為兩個(gè)線圈的式中前兩項(xiàng)分別為兩個(gè)線圈的自感磁能自感磁能，笫三項(xiàng)為，笫三項(xiàng)為互感磁能互感磁能。從式中還可知，系統(tǒng)的總磁能只與最后所達(dá)到的狀態(tài)有關(guān)，而從式中還可知，系統(tǒng)的總磁能只與最后所達(dá)到的狀態(tài)有關(guān)，而與與磁場建立的過程無關(guān)磁場建立的過程無關(guān)。1 12 2I I1 1I I2 2圖圖8.6 8.6 載流線圈載流線圈 dVHHBBdVHBWHHHBBBm212121212121dVHHHHr2122210221VdVHBLI21212【討論【討論】：】： 只與只與終態(tài)有關(guān)終態(tài)有關(guān)，與建立電流的，與建立電流的先后順序無關(guān)先后順序無關(guān)；mW前兩項(xiàng)對(duì)應(yīng)自感磁能，第三項(xiàng)對(duì)應(yīng)互

11、感磁能，前兩項(xiàng)對(duì)應(yīng)自感磁能，第三項(xiàng)對(duì)應(yīng)互感磁能，互感磁能互感磁能有正、有負(fù)有正、有負(fù)，視，視 與與 的夾角而定；的夾角而定；1H2H迅變電流時(shí)，只有后者適用，其迅變電流時(shí)，只有后者適用，其適用范圍廣適用范圍廣；212mWLI電流變化慢時(shí)電流變化慢時(shí)()1d2mVWB H V或或前者說明磁能存在于前者說明磁能存在于載流線圈載流線圈中，中，后者說明磁能存在于后者說明磁能存在于場不為零的空間場不為零的空間，更具普遍意義；，更具普遍意義； 可作為自感系數(shù)可作為自感系數(shù)L 的更具普遍意義的定義式，的更具普遍意義的定義式，212WLI自可作為互感系數(shù)可作為互感系數(shù)M 的更具普遍意義的定義式。的更具普遍意義

12、的定義式。1 2WMII互例題例題8-2用磁場能量的方法，證明兩個(gè)線圈的用磁場能量的方法，證明兩個(gè)線圈的互感系數(shù)互感系數(shù) （設(shè)沒有鐵磁物質(zhì)存在）。（設(shè)沒有鐵磁物質(zhì)存在）。M12=M21 然后接通線圈然后接通線圈2，電流，電流 i2從零增加到從零增加到 I2，同時(shí)，同時(shí)維持線圈維持線圈1內(nèi)的電流內(nèi)的電流 I1不變，故線圈不變，故線圈2內(nèi)電源做功內(nèi)電源做功證設(shè)兩個(gè)線圈在開始時(shí)都斷路。先接通證設(shè)兩個(gè)線圈在開始時(shí)都斷路。先接通線圈線圈1，電流，電流i1從零增加到從零增加到I1，電源做功，電源做功線圈線圈1內(nèi)要維持電流內(nèi)要維持電流 I1不變，需要克服互感電動(dòng)勢作功不變，需要克服互感電動(dòng)勢作功12I1I2

13、圖圖8.7 題題8-2用圖用圖2112210121201210122IIMdiIMdtIdtdiMdtII22221W2LL I21111W2LL I因此兩載流線圈系統(tǒng)的磁能應(yīng)等于因此兩載流線圈系統(tǒng)的磁能應(yīng)等于 同樣，如果先建立線圈同樣，如果先建立線圈2 2內(nèi)的電流內(nèi)的電流 I I2 2 ，然后維持，然后維持 I I2 2不變，建不變，建立線圈立線圈1 1中的電流中的電流 I I1 1 ，則得則得因?yàn)橄到y(tǒng)的能量與電流形成的過程無關(guān)，故結(jié)論是因?yàn)橄到y(tǒng)的能量與電流形成的過程無關(guān)，故結(jié)論是M12=M21=M問題：運(yùn)用磁能的方法求解線圈串連的自感問題：運(yùn)用磁能的方法求解線圈串連的自感? ?211222

14、221112212121IIMILILWWWWMLLm21212222112121IIMILILWm【例【例8-38-3】：計(jì)算長直同軸電纜單位長度內(nèi)的電感】：計(jì)算長直同軸電纜單位長度內(nèi)的電感L0 ，設(shè)電流均勻分布于內(nèi)導(dǎo)線橫截面上。設(shè)電流均勻分布于內(nèi)導(dǎo)線橫截面上?！窘饨狻?：內(nèi)外導(dǎo)體間的磁場內(nèi)外導(dǎo)體間的磁場rIH222022HB內(nèi)導(dǎo)線中的磁場內(nèi)導(dǎo)線中的磁場2112 RIrH 1011HB12()RrR1(0)rRR1R2圖圖8.8 同軸電纜截面同軸電纜截面磁能密度磁能密度211d28d282220204122201RRRmrrlrIrrlRrIW所以所以412220118RrIwmlIRRlI

15、21202201ln416由由lILWm2021得得1020201ln82RLR 2220228rIwm 例例8.48.4 一同軸電纜，中心是半徑為一同軸電纜，中心是半徑為a的圓柱形的導(dǎo)線，的圓柱形的導(dǎo)線，外部是內(nèi)半徑為外部是內(nèi)半徑為b、外半徑為、外半徑為c的導(dǎo)體圓筒，在內(nèi)、外導(dǎo)的導(dǎo)體圓筒，在內(nèi)、外導(dǎo)體之間充滿磁導(dǎo)率為體之間充滿磁導(dǎo)率為 的介質(zhì)，電流的介質(zhì)，電流I在內(nèi)、外導(dǎo)體中在內(nèi)、外導(dǎo)體中的方向如右下圖所示。設(shè)電流沿截面均勻分布，求這電的方向如右下圖所示。設(shè)電流沿截面均勻分布，求這電纜單位長度的纜單位長度的自感系數(shù)自感系數(shù)L L0 0。 解解 原來原來我們從計(jì)算磁場我們從計(jì)算磁場和磁通量出發(fā)

16、求自感和磁通量出發(fā)求自感，這這種方法在此處不便使用。種方法在此處不便使用。 下面下面換一種方法換一種方法，即，即先先求求 ，再根據(jù)，再根據(jù) 計(jì)算自感計(jì)算自感L L。為計(jì)算。為計(jì)算 ，考慮長度為考慮長度為l的一段電纜，的一段電纜，mW2/ 2mWLImW將其按圖將其按圖劃分為為四個(gè)區(qū)域劃分為為四個(gè)區(qū)域，分別計(jì)算各區(qū)的磁場、磁能密度和磁能。分別計(jì)算各區(qū)的磁場、磁能密度和磁能。1 1區(qū)：區(qū)： ， （對(duì)一般導(dǎo)體成立）。由環(huán)路（對(duì)一般導(dǎo)體成立）。由環(huán)路定理可得：定理可得：0ra04222012010122218,2,221arIwaIrHBaIrraIrHm 22011000 16almmlIWw rd

17、rd dz arb2 2區(qū)：區(qū)： ，磁導(dǎo)率為，磁導(dǎo)率為，可求得：，可求得：2222228,2,2rIwrIBrIHm 222200 ln4blmmalIbWw rdrd dza brc03 3區(qū)：區(qū)： ，。穿過半徑為穿過半徑為r環(huán)路的總電流為環(huán)路的總電流為22222222()(),()IrbI crIIcbcb 故有故有:2330322,2 ()IcHrBHrcb2422032222228()mIcwcrcbr233002422220222 1 ln()(3) .4 ()4clmmbWw rdrd dzlIcccbcbcbb rc0,III 0, 0, 0444 mwBH 04 mW4 4區(qū)：

18、區(qū)：，穿過半徑為，穿過半徑為r的環(huán)路的總電流為的環(huán)路的總電流為 于是于是有有和和由上述結(jié)果計(jì)算長度為由上述結(jié)果計(jì)算長度為l的電纜的總磁能：的電纜的總磁能：4321mmmmmWWWWW2/2IWLmlLL/00L然后由然后由和和求得電纜單位長度的自感求得電纜單位長度的自感00242222022221ln241 ln()(3).()4mWLbLllIacccbcbcbb* *8.4 8.4 非線性介質(zhì)及磁滯損耗非線性介質(zhì)及磁滯損耗 前面限于前面限于線性無損耗介質(zhì)線性無損耗介質(zhì)，本節(jié)討論，本節(jié)討論非線非線性介質(zhì)的性介質(zhì)的磁能磁能及及磁滯損耗磁滯損耗問題問題。 簡化為簡化為螺繞環(huán)螺繞環(huán)情況：設(shè)螺繞環(huán)的

19、截面積為情況：設(shè)螺繞環(huán)的截面積為S，線圈匝數(shù)為線圈匝數(shù)為N，電流為，電流為I，內(nèi)部填滿磁化強(qiáng)度為，內(nèi)部填滿磁化強(qiáng)度為M的磁介質(zhì)。設(shè)在的磁介質(zhì)。設(shè)在dt時(shí)間內(nèi)螺繞環(huán)內(nèi)的磁感應(yīng)時(shí)間內(nèi)螺繞環(huán)內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度由強(qiáng)度由B增至增至B+dB，則穿過線圈的，則穿過線圈的總磁通變化總磁通變化為：為：.dNdNSdB (8.4.1) (8.4.1) 電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢所作的元功為：電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢所作的元功為： ddAIdtIdtIdNSIdBdt (8.4.2)(8.4.2) 由安培環(huán)路定理，可推得：由安培環(huán)路定理，可推得： ,.LHldHlNIIN或Hl(8.4.3)(8.4.3) 將上式代入可得：將上式代入

20、可得：.dAV HdB (8.4.4)(8.4.4)對(duì)對(duì)單位體積螺繞環(huán)介質(zhì)單位體積螺繞環(huán)介質(zhì)，電源所作的元功為：，電源所作的元功為：.dAdaHdBdV HB(8.4.5)(8.4.5) 進(jìn)一步可將上式改寫為進(jìn)一步可將上式改寫為 ：200HM2Hdadd (8.4.6) (8.4.6) 在磁荷觀點(diǎn)下，一般將上式右邊第一項(xiàng)稱為在磁荷觀點(diǎn)下，一般將上式右邊第一項(xiàng)稱為宏宏觀磁能密度的變化觀磁能密度的變化。該式的。該式的物理意義物理意義：電源所：電源所作的功作的功一部分一部分用來增加用來增加宏觀磁能宏觀磁能，另一部分另一部分為為對(duì)介質(zhì)作的對(duì)介質(zhì)作的磁化功磁化功。要要分析磁化功分析磁化功的具體形式及其后

21、果，必須考慮的具體形式及其后果，必須考慮介質(zhì)的磁化規(guī)律，即介質(zhì)的磁化規(guī)律，即M和和H的函數(shù)關(guān)系。的函數(shù)關(guān)系。 對(duì)對(duì)線性無損耗介質(zhì)線性無損耗介質(zhì)，可將磁化規(guī)律寫成：，可將磁化規(guī)律寫成：jiijjjijiHM ,31 對(duì)對(duì)各向同性介質(zhì)各向同性介質(zhì)有有 ， 。m3322110231312可證可證 ，于是得：，于是得：ddHMMH00.2ddHMM H (8.4.7)(8.4.7) 式式 中稱中稱磁化能密度磁化能密度。上式表明：磁化功全部轉(zhuǎn)換為介質(zhì)的磁化能。上式表明：磁化功全部轉(zhuǎn)換為介質(zhì)的磁化能。將上式代入式將上式代入式（8.4.6）得：得：0M H/22001M HB H222mdadHddw (8

22、.4.8) (8.4.8) 2/20H0M H / 2即電源作功全部轉(zhuǎn)化為螺繞環(huán)的磁能。即電源作功全部轉(zhuǎn)化為螺繞環(huán)的磁能。注意：注意：這里的磁能密度等于這里的磁能密度等于宏觀磁能密度宏觀磁能密度之和。之和。和和磁化磁化能密度能密度 對(duì)對(duì)非線性磁介質(zhì)非線性磁介質(zhì)不再有上述簡單結(jié)論。下面以不再有上述簡單結(jié)論。下面以鐵磁體鐵磁體為例為例進(jìn)行討論。當(dāng)從某點(diǎn)進(jìn)行討論。當(dāng)從某點(diǎn)A出發(fā)沿著磁滯回線循環(huán)一周出發(fā)沿著磁滯回線循環(huán)一周回到回到A A時(shí)，電流對(duì)單位體積鐵磁體所作的功可由式時(shí)，電流對(duì)單位體積鐵磁體所作的功可由式（.6）求得：）求得：0adaH dM(8.4.9)(8.4.9) 式中右邊

23、沿磁滯回線的閉路積分正式中右邊沿磁滯回線的閉路積分正好等于磁滯回線所圍的好等于磁滯回線所圍的“面積面積”。這部分功不改變磁場強(qiáng)度和介質(zhì)的這部分功不改變磁場強(qiáng)度和介質(zhì)的磁化狀態(tài)磁化狀態(tài)，它所傳遞的能量將轉(zhuǎn)化它所傳遞的能量將轉(zhuǎn)化為熱量為熱量。這部分因磁滯現(xiàn)象而消耗。這部分因磁滯現(xiàn)象而消耗的能量稱為的能量稱為磁滯損耗磁滯損耗。在交流電路中，在交流電路中，電感元件鐵芯的電感元件鐵芯的磁滯損耗是有害的磁滯損耗是有害的，應(yīng)當(dāng)盡量使之，應(yīng)當(dāng)盡量使之減少，并采取措施防止鐵芯過熱。減少，并采取措施防止鐵芯過熱。8.5 8.5 利用磁能求磁力利用磁能求磁力（自學(xué)）自學(xué)） 在已知外磁場和電流的分布之后，可通過安培公

24、式來在已知外磁場和電流的分布之后，可通過安培公式來計(jì)算磁力，該內(nèi)容已在第六章計(jì)算磁力，該內(nèi)容已在第六章6.16.1節(jié)作過討論。節(jié)作過討論。 在有些情況下，在有些情況下，系統(tǒng)的磁能易于求得，通過它求磁力系統(tǒng)的磁能易于求得，通過它求磁力更方便更方便，本節(jié)將介紹這一方法。，本節(jié)將介紹這一方法。 先來分析由先來分析由N N個(gè)載流線圈構(gòu)成的電流系統(tǒng)，考慮其中個(gè)載流線圈構(gòu)成的電流系統(tǒng)，考慮其中一個(gè)載流線圈所受的磁力一個(gè)載流線圈所受的磁力F F。設(shè)想該載流線圈有一虛。設(shè)想該載流線圈有一虛位移位移 ，在該虛位移下各線圈的在該虛位移下各線圈的電流電流維持不變維持不變。此時(shí)，磁力作功為：此時(shí)，磁力作功為：rzFy

25、FxFAzyxrF (8.5.1) (8.5.1) 與此同時(shí)，維持各線圈與此同時(shí)，維持各線圈電流不變電流不變需要外部電源需要外部電源反抗感反抗感應(yīng)電動(dòng)勢作功，設(shè)這部分功為應(yīng)電動(dòng)勢作功，設(shè)這部分功為 。A電源作功使系統(tǒng)磁能增加，而電源作功使系統(tǒng)磁能增加，而磁力作功則使系統(tǒng)磁能磁力作功則使系統(tǒng)磁能減少減少，故系統(tǒng)磁能的變化，故系統(tǒng)磁能的變化 應(yīng)為：應(yīng)為：()mIW().mIWAA(8.5.2)(8.5.2) 為弄清為弄清 和和 的具體關(guān)系，需要求出的具體關(guān)系，需要求出 和和 的關(guān)系。為此，設(shè)因受力載流線圈作虛位移的關(guān)系。為此，設(shè)因受力載流線圈作虛位移 導(dǎo)致導(dǎo)致第第i i個(gè)線圈的磁通量變化個(gè)線圈的磁

26、通量變化 ，則該線圈中的電源反抗，則該線圈中的電源反抗感應(yīng)電動(dòng)勢作功應(yīng)為：感應(yīng)電動(dòng)勢作功應(yīng)為：AmWAmWriiiiiiiidIdtdtdIdtIA 于是電源作的總功為：于是電源作的總功為：11.NNiiiiiAAI d (8.5.3) (8.5.3) 相應(yīng)系統(tǒng)磁能的變化可導(dǎo)出：相應(yīng)系統(tǒng)磁能的變化可導(dǎo)出： 11().2NmIiiiWI d (8.5.4) (8.5.4) 比較式（比較式（.3）和式（）和式（.4），可以看出：），可以看出： 2() .mIAW (8.5.5)(8.5.5) 將式將式（.5）代入式（）代入式（.2）右

27、邊得：）右邊得：(),mIWA(8.5.6)(8.5.6) 由式（由式（.1）和式（）和式（.6）可得：）可得：() .mxmIIWFFWx 或 (8.5.7) (8.5.7)下標(biāo)下標(biāo)I I表示求表示求 的偏導(dǎo)數(shù)或梯度時(shí)，的偏導(dǎo)數(shù)或梯度時(shí)， 中中I應(yīng)視為常數(shù)。應(yīng)視為常數(shù)。mWmW再介紹另一個(gè)與式（再介紹另一個(gè)與式（.7）等效的由磁能求力的公等效的由磁能求力的公式式。為此，我們。為此，我們假定在受力線圈虛位移過程中假定在受力線圈虛位移過程中，維持各維持各線圈的線圈的磁通不變磁通不變，從而線圈中不會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢。在，從而線圈中不會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢。在

28、這種方案下，這種方案下，電源將不參與作功電源將不參與作功，故磁力作功，故磁力作功 正正好等于系統(tǒng)磁能的減少好等于系統(tǒng)磁能的減少 ，即：，即：A()mW()mWA (8.5.8)(8.5.8)由式（由式（.1）和式（）和式（.8）可得：）可得：,() .mxmWFWx F(8.5.9)(8.5.9) 下標(biāo)下標(biāo)表示在求表示在求 的偏導(dǎo)數(shù)或梯度時(shí)，的偏導(dǎo)數(shù)或梯度時(shí)， 中的中的應(yīng)視為常數(shù)。應(yīng)視為常數(shù)。 mWmW當(dāng)有線性無損耗磁介質(zhì)存在時(shí)，式（當(dāng)有線性無損耗磁介質(zhì)存在時(shí)，式（.7）或式）或式（.9）也成立，只是系統(tǒng)的磁能）也成立，只是系統(tǒng)的

29、磁能 中包括了介質(zhì)中包括了介質(zhì)的磁化能。的磁化能。當(dāng)研究載流線圈在外磁場中受的磁力時(shí)，可用載流線當(dāng)研究載流線圈在外磁場中受的磁力時(shí)，可用載流線圈在外磁場中的磁能圈在外磁場中的磁能 代替，而不必計(jì)入載流線圈和代替，而不必計(jì)入載流線圈和外磁場本身的自能。外磁場本身的自能。當(dāng)位移用角位移代替時(shí)，可求得力矩公式：當(dāng)位移用角位移代替時(shí)，可求得力矩公式：mWmW,mIWL.mWL (8.5.10)(8.5.10) (8.5.11)(8.5.11) 現(xiàn)在我們從磁能出發(fā)來現(xiàn)在我們從磁能出發(fā)來重新分析外磁場作用在載流線重新分析外磁場作用在載流線圈上的圈上的力力和和力矩力矩。設(shè)。設(shè)線圈尺寸很小線圈尺寸很小，其磁矩

30、為，其磁矩為m，外磁，外磁場為場為B，則由式（，則由式（.4）可知，其）可知，其磁能磁能為：為：cosmBWmBm從式（從式（.7）出發(fā)，固定）出發(fā)，固定I不變相當(dāng)于固定不變相當(dāng)于固定m的大小的大小不變，且不變，且 為平動(dòng)位移，故為平動(dòng)位移，故m的方向也不變。于是有：的方向也不變。于是有：rmBmF)( (8.5.12) (8.5.12) 根據(jù)矢量微分公式：根據(jù)矢量微分公式：)()()(BmBmBmm考慮到考慮到B B為外場，在線圈所在處有為外場，在線圈所在處有 成立，故：成立，故：0B()FmB.有用的實(shí)例有用的實(shí)例根據(jù)式（根據(jù)式（.10），

31、可算得磁場作用在），可算得磁場作用在磁矩上的磁矩上的力矩力矩Bme eLmsinmBWm (8.5.13)(8.5.13) 注意注意 是從是從B B開始計(jì)算，故開始計(jì)算，故 與與 反向。反向。 emB在第六章在第六章6 .46 .4節(jié)討論順磁效應(yīng)的微觀機(jī)制時(shí)，曾把磁節(jié)討論順磁效應(yīng)的微觀機(jī)制時(shí)，曾把磁矩為矩為 的分子在磁場的分子在磁場B B中的能量定為中的能量定為 ；在量子力學(xué)中，具有固有磁矩在量子力學(xué)中，具有固有磁矩mm的基本粒子在外磁場中的基本粒子在外磁場中的能量也定義為的能量也定義為 。二者均與磁能的定義式。二者均與磁能的定義式（.4）差一負(fù)號(hào)。）差一負(fù)號(hào)。這一差別在于這一

32、差別在于：由：由 定定義的是磁矩為義的是磁矩為mm的粒子在外磁場的粒子在外磁場B B中的中的“勢能勢能”，即固，即固定定mm不變（不考慮這樣做是否需要付出代價(jià)或額外作不變（不考慮這樣做是否需要付出代價(jià)或額外作功），由粒子在外磁場中的位置和取向所決定的勢能，功），由粒子在外磁場中的位置和取向所決定的勢能，它的變化等于磁力作功的值反號(hào)它的變化等于磁力作功的值反號(hào)。0m0p mBmW m BmW m B于是，于是，磁力的公式磁力的公式為：為：mF)(mW (8.5.14)(8.5.14)式（式（.14）在形式上與式（）在形式上與式（.7）差一負(fù)號(hào)，而實(shí)）差一負(fù)號(hào)，而

33、實(shí)際上，如將際上，如將 代入式（代入式（.14），則兩式完全一致。），則兩式完全一致。相應(yīng)，磁場作用在磁矩上的相應(yīng)，磁場作用在磁矩上的力矩表達(dá)式力矩表達(dá)式應(yīng)變成：應(yīng)變成：mmWL (8.5.15)(8.5.15)它與式（它與式（.10）實(shí)際上是一致的。在討論某種固有）實(shí)際上是一致的。在討論某種固有磁矩的基本粒子問題時(shí)常取其磁矩的基本粒子問題時(shí)常取其勢能勢能 ，則相應(yīng)地求，則相應(yīng)地求磁力和磁力矩的公式用式（磁力和磁力矩的公式用式（.14）和式（）和式（.15）。）。 mWmW 例例8.58.5求相距求相距r r、磁矩為、磁矩為 和和 的兩磁偶極子相的兩磁偶極子相互作用力（見右下圖）?；プ饔昧Γㄒ娪蚁聢D）。1m2m 解解 由第五章